2023-2024学年人教版九年级数学上册第21章一元二次方程期末综合复习题（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》
期末综合复习题（附答案）
一、单选题
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把方程化为的形式，则，的值分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知是一元二次方程的解，则的值为（）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．若实数满足方程，那么的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2或
5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．12或13 C．14 D．12或14
7．已知a，b是一元二次方程的两根，则值是（ ）
A． B． C． D．
8．我们在学习一元二次方程应用时，课后习题有这样一问题，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若关于的一元二次方程的常数项为0，则 ．
10．一元二次方程．的一个实数根为，则的值是 ．
11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
12．已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ．
13．一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为 ．
14．如图，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，且a、b恰为一元二次方程的两个实数根，则斜边c的长为 ．

15．某中学篮球比赛，比赛赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），因有只球队临时有任务导致少进行了一场比赛，最后总共进行了14场比赛，请问这个中学有 支球队参加比赛．
16．某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行甬道，如右图所示，阴影部分为甬道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，则甬道的宽为 米．

三、解答题
17．用适当的方法解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值．
19．已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值．
(1)； (2)；
20．已知关于的方程．
求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根．
设方程的两实数根为，，且满足，求的值和相应的，．
21．今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销售“抱竹熊猫”平均每天可销售60个，每个盈利30元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降3元，则每天可多售12件．如果每天要盈利2000元，则每个“抱竹熊猫”应降价多少元？
22．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元；
②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为元；
④这批苹果最多保存天．
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售．
(1)多少天后这批苹果的市场价为每千克元
(2)求天后一次性全部售出所得的利润为多少元
(3)若天后一次性出售所得利润为元，求的值．
23．如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F，G，H分别在边AE，BC，CD上．
(1)求五边形ABCDE的面积；
(2)若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．
(3)若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．
参考答案
1．解：A．，该方程不是整式方程，故本选项不合题意；
B．，该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C．，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．，当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意．
故选：C．
2．解：，
，
，
，，
故选：C．
3．解：把代入得 ，
解得．
故选：B．
4．解：设，
原方程变形为，
整理得：，
解得：，
当时，，
即，
此时；
当时，，
即，
此时；
此时方程无解；
∴．
故选：B
5．解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，．
∴的取值范围是且，
故选：．
6．解：由一元二次方程，得
∴，
∴或，
解得，或；
∴等腰三角形的两腰长是3或4；
①当等腰三角形的腰长是3时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去；
②当等腰三角形的腰长是4时，，所以能构成三角形，
所以该等腰三角形的周长；
故选：C．
7．解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴，
∴，
∴，
故选B．
8．解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为个，
那么根据题意可列出方程为：．
故选：C．
9．解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴，
解得，
故答案为：．
10．解：∵的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
的值为．
故答案为：．
12．解：∵关于的方程的解是 ，，
∴方程变形为，
即此方程中或，
解得或，
故答案为：，．
13．解：方程可化为：，
解得：，，
当第三边长为7时，由，得到三边不能构成三角形，舍去；
所以第三边长为3，
故答案为：3
14．解：解方程得：
，，
∴斜边c的长为，
故答案为：．
15．解：设这个中学有支球队参加比赛，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
这个中学有6支球队参加比赛，
故答案为：6．
16．解：设甬道的宽为米，
根据题意可列方程：
，
整理得：，
解得，（不合题意，舍去），
．
故答案为
17．（1）解：，
∴，
∴，
∴，
所以，
（2）解：，
，
，
或，
所以．
18．（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围为；
（2）∵方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，
∴，
∴，
解得：，，
由（1）知：，
∴，
∴的值为．
19．（1）解：∵、是方程的两个实数根，
∴，．
（2）解：
20．解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
∵，
∴，异号，设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴原方程可化为．
解得：，．
21．解：设每个“抱竹熊猫”应降价元，则每个盈利元，平均每天可售出（个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每个“抱竹熊猫”应降价5元．
22．（1）解：设存放天后按当天价格一次性出售，
根据题意，天后这批苹果的市场价为每千克元，
，
解得：，
答：天后这批苹果的市场价为每千克元；
（2）天后的价格为：（元），
天要损坏的苹果有（千克），
天的冷藏费用为（元），
天后一次性全部售出所得的利润：
（元），
答：天后一次性全部售出所得的利润为元；
（3）天后的价格为：（元），
天要损坏的苹果有（千克），
天的冷藏费用为（元），
，
整理得：，
，
，，
批苹果最多保存天，
．
23．解：（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，

则∠EAN=∠AEN=45°，
∴AN=EN，
∵MN=AB，EM=CD，
∴EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6(m)，
∴AN=6(m)，
∴
（2）设BG=x m， CG=(8-x)m，设AN、FG交于点P
由（1）得∠EAN =45°，∠APF=90°，AB=PG
是等腰直角三角形
则FG=(4+x)m，
根据题意得，(4+x)(8-x)=35，
解得：x1=1，x2=3，
答：BG的长为1m或3m；
（3）设BG=ym，且0由题意得，200(4+y)(8-y)+100[62-(4+y)(8-y)]=7300，
化简，得，y2-4y-21=0，
解得：y1=7，y2=-3均不符合题意，
∴投资7300元不能完成地面铺设．