河南省安阳市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省安阳市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 990.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-18 11:20:31 | ||
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文档简介
安阳市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段考试
数学试题卷
一、单选题：共8小题，每题5分，共40分．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为，瓶高等于双曲线的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与平行，则两直线之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积为（ ）
A．21 B．24 C． D．
5．圆关于直线对称圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若椭圆与双曲线有共同的焦点，，是两曲线的一个交点，则的面积是（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上第二象限内一点，若渐近线与线段交于，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：共4小题，每题5分，共20分．
9．在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知曲线，则（ ）
A．若，，则是以为半径的圆
B．若，，则是焦点在轴上的椭圆
C．若是双曲线，则
D．若是两条直线，则
11．已知直线与圆有两个不同的公共点，，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，线段长的最小值为
C．半径的取值范围是
D．当时，有最小值为
12．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当时，的最大值为
C．存在点，使得
D．点到椭圆的上顶点的距离最大值为
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分．
13．如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，则__________．
14．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为__________．
15．已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为__________．
16．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线（，）．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有__________．
①曲线头于轴和轴对称
②曲线所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线上的点到原点的距离的最大值为
④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8．
四、解答题：共6小题，共70分．
17．设直线与圆相交于，两点，若，求圆的面积．
18．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．
（1）证明：平面；
（2）求到面的距离．
19．已知点，，曲线上任意一点均满足．
（1）求的轨迹方程；
（2）过点的直线与交于，两点，证明：．
20．如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，，．
（1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
（2）设点在线段上，，，求二面角的余弦值．
21．已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点的直线与坐标轴不垂直，且交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得，，三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设，是线段（为坐标原点）上的一个动点，且，求的取值范围．
22．已知椭圆过点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值．
安阳市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段考试
数学参考答案
一、单选题
1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D
二、多选题
9．BD 10．BC 11．ABD 12．AB
三、填空题
13． 14． 15．11 16．①②③
四、解答题
17．解：圆，即，圆心为，半径，
到直线的距离为．
又由，得，解得，所以圆的面积为．
18．解（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
如图所示：则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以，
又因为，所以，所以平面．
（2）由（1）知平面的法向量为，又因为，
所以到面的距离为．
19．解（1）设的坐标，由，得，
化简，得，即．故C的轨迹方程为．
（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以，
当与轴不垂直时，设的方程为，，，
将代入得．
所以，，．
则直线，的斜率之和为，
由，得．
则．
从而，故，的倾斜角互补，所以．
综上，．
20．解（1）因为与是底面圆弧所对的圆周角，所以，
因为，所以在等腰中，，所以，
因为是圆柱的底面直径，所以，则，
所以，则，即，
所以在等腰，，平分，则，
所以，则，
故在中，，，则，
在中，，
因为是圆柱的母线，所以面，
所以，
，所以．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，
则，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，故，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，故，
设二面角的平面角为，易知，
所以，
因此二面角的余弦值为．
21．解（1）由椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为，
椭圆的一个顶点为，即由，解得：，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由得，设，，
设直线的方程为，
代入椭圆方程，消去可得，
则，，
点与点关于轴对称，
假设存在，使得、、三点共线，
则，，
、、三点共线，，
，即，
．
存在定点，使得、、三点共线．
（3）由，，，
，，
，
，，，
解得：，当时，符合题意故的范围为．
22．解：（1）设椭圆方程为：，
由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：．
（2）设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，则：，．
直线的方程为：，
令可得：，
同理可得：，很明显，且：，
注意到：，
而：，
故，．从而．
数学试题卷
一、单选题：共8小题，每题5分，共40分．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为，瓶高等于双曲线的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与平行，则两直线之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积为（ ）
A．21 B．24 C． D．
5．圆关于直线对称圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若椭圆与双曲线有共同的焦点，，是两曲线的一个交点，则的面积是（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上第二象限内一点，若渐近线与线段交于，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：共4小题，每题5分，共20分．
9．在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知曲线，则（ ）
A．若，，则是以为半径的圆
B．若，，则是焦点在轴上的椭圆
C．若是双曲线，则
D．若是两条直线，则
11．已知直线与圆有两个不同的公共点，，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，线段长的最小值为
C．半径的取值范围是
D．当时，有最小值为
12．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当时，的最大值为
C．存在点，使得
D．点到椭圆的上顶点的距离最大值为
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分．
13．如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，则__________．
14．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为__________．
15．已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为__________．
16．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线（，）．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有__________．
①曲线头于轴和轴对称
②曲线所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线上的点到原点的距离的最大值为
④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8．
四、解答题：共6小题，共70分．
17．设直线与圆相交于，两点，若，求圆的面积．
18．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．
（1）证明：平面；
（2）求到面的距离．
19．已知点，，曲线上任意一点均满足．
（1）求的轨迹方程；
（2）过点的直线与交于，两点，证明：．
20．如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，，．
（1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
（2）设点在线段上，，，求二面角的余弦值．
21．已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点的直线与坐标轴不垂直，且交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得，，三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设，是线段（为坐标原点）上的一个动点，且，求的取值范围．
22．已知椭圆过点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值．
安阳市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段考试
数学参考答案
一、单选题
1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D
二、多选题
9．BD 10．BC 11．ABD 12．AB
三、填空题
13． 14． 15．11 16．①②③
四、解答题
17．解：圆，即，圆心为，半径，
到直线的距离为．
又由，得，解得，所以圆的面积为．
18．解（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
如图所示：则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以，
又因为，所以，所以平面．
（2）由（1）知平面的法向量为，又因为，
所以到面的距离为．
19．解（1）设的坐标，由，得，
化简，得，即．故C的轨迹方程为．
（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以，
当与轴不垂直时，设的方程为，，，
将代入得．
所以，，．
则直线，的斜率之和为，
由，得．
则．
从而，故，的倾斜角互补，所以．
综上，．
20．解（1）因为与是底面圆弧所对的圆周角，所以，
因为，所以在等腰中，，所以，
因为是圆柱的底面直径，所以，则，
所以，则，即，
所以在等腰，，平分，则，
所以，则，
故在中，，，则，
在中，，
因为是圆柱的母线，所以面，
所以，
，所以．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，
则，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，故，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，故，
设二面角的平面角为，易知，
所以，
因此二面角的余弦值为．
21．解（1）由椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为，
椭圆的一个顶点为，即由，解得：，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由得，设，，
设直线的方程为，
代入椭圆方程，消去可得，
则，，
点与点关于轴对称，
假设存在，使得、、三点共线，
则，，
、、三点共线，，
，即，
．
存在定点，使得、、三点共线．
（3）由，，，
，，
，
，，，
解得：，当时，符合题意故的范围为．
22．解：（1）设椭圆方程为：，
由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：．
（2）设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，则：，．
直线的方程为：，
令可得：，
同理可得：，很明显，且：，
注意到：，
而：，
故，．从而．
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