2023年秋期高二年级第三次月考
数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.用一个平面截正方体，截面图形可能是()
A.钝角三角形
B.直角梯形
C.有两个内角相等的五边形
D.正七边形
2.若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，y=
x是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为(
3
A月
B号
c.写
D或
3,在空间直角坐标系0-z中，点A(1,3,0),B(0,3,-1),则()
A.直线AB∥坐标平面xOy
B.直线AB⊥坐标平面xOy
C.直线AB∥坐标平面xOz
D.直线AB⊥坐标平面xOz
4.已知m=(2,4,6)是平面α的一个法向量，n=(（L,4,b)是平面B的一个法向量，且平面x/1平
面B,则向量a=(（1,0,-)在方上的投影向量为（)
A.开
B.
C.
D.
5.设ab,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边，则直线
sinA●x+a●y-c-0与bx-sinB●y叶sinC=0的位置关系是()
A.平行
B.重合
C,垂直
D.相交但不垂直
6,如图，在三棱柱ABC~AB1C中，E、F分别是BC、CC,的中点，G为△ABC的重心，则G示
=()
A丽号c+号还
B.丽号C号
c.号+c号d
D.寻西号C号a
7.已知向量d=(1,0,3),单位向量满足d+2=23,则d,的夹角为
()
B
c月
D
3
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D中，E为棱B1C1的中点，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，
对于下列四个结论：
①存在点P,使得PA1=PE:
②存在点P,使得BD1⊥平面PA1E:
③△PA1E的面积越来越小：
④四面体A1PB1E的体积不变，
其中，所有正确的结论的个数是（)
A.1
B.2
C.3
高二数学
二、多选题（每题5分，共20分）
9.已知，6，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是()
D
A.若x aty btz c=0,则x=y=z=0
B.,b,c两两共面，但a,。c不共面
C.一定存在实数x,y,使得a=xbyc
D.,日-。，c+2名一定能构成空间的一个基底
10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1CD中，E为AC的中点，则(
A.
=120
B.BD1⊥AC
C.BD1⊥EB1
D.∠BB1E=45°
1.在平面直角坐标系0中，椭圆号+卡=1e>b>0)上布在点P,使餐P网=2Pg引小
其中、F,分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为()
A方
1
0
1
12,有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形
围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体如图，这是
一个棱数为24，棱长为V2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成
是由一个正方体截去八个一样的四面体所得若点E为线段BC上的动
点，则下列结论正确的是()
A.存在点E、使得A、F、D、E四点共面；
B.存在点E,使DE⊥DF:
C.存在点E,使得直线DE与平面CDF所成角为：
D.存在点E,使得直线DE与直线AF所成角的余弦值
10
三、填空题（每题5分，共20分）
13.已知a=(-2,13),五=(-1,2,1)，若a⊥(a-16,则元=
14.若方程V16一子-x一m=0有实数解，则实数m的取值范围
15,二面角a-1-B的棱上有两个点A、B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且
垂直于棱1，若AB=4,4C=6,BD=8,CD=2√17，则平面a与平面B的夹角为一
6.已知双曲线衫-片=1(@>0，b>0)的左、右焦点分别为，5，过耳作直线1与双曲线的
左、右两支分别交于么B两点，设P为线段的中点，若0叫=Pg-品，则双甜线
的离心率为
高二数学高二第三次月考数学答案 19.
1--8.C DCBCACC 9. ABD 10. ABC 11. AB 12. ABD
2 3
13. 2 14. －4≤m≤4 2 15. 60°16.
3
17. 解 ： (1) 由 图 形 知 ＝ ＝
．
（Ⅱ）由题设条件
∵ ＝
，
∴ ， ．
18..（1）证明：过点 作 ⊥ 于点 ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = , 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ,∴ ⊥ .
∵ ⊥平面 , 平面 ,∴ ⊥ .
∴ ∩ = , , 平面 ,∴ ⊥平面 .
（2）由（1）知 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，设 = 1，
则 = 2 2, = 1.
1 1
∵ 为 中点，∴ = + = + + ，
2 2
1 1 10
= + + = 1 + 8 + 1 =
2 2 2
1
∴ = + 2 + = 4
2
2 5
cos = =
5
∴ 与
2 5
夹角的余弦值为 .
5
1 2
{#{QQABIQYQggiAAhAAARgCQQUYCgCQkBGCACoOAEAEsAIAgANABAA=}#}
所以 AG＝ AC，λ＝ 时，AF＝ AP，所以 ＝ ，所以 FG∥PC，
又因为 PC 平面 BEF，FG 平面 BEF，所以 PC∥平面 BEF；
（Ⅱ）解：平行四边形 ABCD 中，∠ADC＝ ，所以∠BAD＝ ，
又DC＝2BC＝4，所以BD＝ ＝2 ，
2 2 2
所以 BD +AD ＝AB ，所以 BD⊥AD，
又因为 PD⊥面 ABCD，BD、AD 平面 ABCD，所以 PD⊥AD，PD⊥BD；
分别以 DA、DB、DP 为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则平面 PBD 的一个法向量为 ＝（1，0，0），
A（2，0，0），B（0，2 ，0），E（1，0，0），P（0，0，4）， ＝（﹣2，0，4）， ＝
λ ＝（﹣2λ，0，4λ），λ∈（0，1），
＝（﹣1，0，0）， ＝ ﹣ ＝（﹣2λ+1，0，4λ）， ＝（1，﹣2 ，0），
设平面 BFE 的一个法向量为 ＝（x，y，z），则 ，
令 y＝1，得 x＝2 ，z＝ ﹣ ， ＝（2 ，1， ﹣ ），
则|cos＜ ， ＞|＝ ＝ ＝ ，
令 1﹣ ＝0，解得 λ＝ ，
所以 λ＝ 时，平面 BFE 与平面 PBD 所成的二面角的正弦值最小．
22.（Ⅰ）证明：取 BC 的中点 M，连接 DM，连接 AC，交 BE 于点 G，交 BM 于点 H，则 G、
H 是 AC 的三等分点，
3 4
{#{QQABIQYQggiAAhAAARgCQQUYCgCQkBGCACoOAEAEsAIAgANABAA=}#}