德化县2023-2024 学年高二（上）第二次质量检测卷
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1．两平行直线 l1 : 3x 4y 2 0, l2 : 6x 8y 5 0 的距离等于
A．3 B． 0 1 C．0 5 D．7
2．当点 P在圆 x2 + y2 =1上运动时，它与定点Q(3,0)的线段 PQ的中点的轨迹方程是
A (x+3)2 + y2 = 4 B (2x-3)2 +4y2 =1 C (x-3)2 + y2 =1 D (2x+3)2 +4y2． ． ． ． =1
2 2
3．已知双曲线C y x的焦点与椭圆 E： 1的上、下顶点相同，且经过 E的焦点，则C的方程为
16 7
2 2 2 2 2 2 2 2
A x y． 1 B y x 1 C y x x y． ． 1 D． 1
9 7 9 16 9 7 9 16
4．已知向量 a ( 1,2,1),b (3, x, y) ，且a//b，那么 | b |
A． 6 B．3 6 C．9 D．18
5．若直线 y 3x m与圆 x2 y2 2y 0相切，则实数m的值为
A． 3 2或 3 2 B．1或 3 C． 1或 3 D． 3 1或 3 1
6．两直线 l1 : 3x-2y-6= 0， l2 : 3x-2y+8= 0 ，则直线 l1关于直线 l2对称的直线方程为
A．3x-2y+24= 0 B．3x-2y-10= 0 C．3x-2y-20= 0 D．3x-2y+22= 0
3 1 2
7．已知 ABCD-A1B1C1D1是棱长为 1的正方体，若 P在正方体内部且满足 AP AB AD AA ，则 到4 2 3 1 P AB的距
离为
3 5 4 3
A． B． C． D．
4 6 5 5
2 2
8．已知 F F x y1， 2是椭圆 1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过 F1引 F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，25 16
则Q与短轴端点的最近距离为
A．1 B．2 C．4 D．5
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对
的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是
A．直线 3x y 1 0的倾斜角为 120°
B．经过点 P(2,1)，且在 x, y轴上截距互为相反数的直线方程为 x y 1 0
C．直线 l :mx y 2 m 0 恒过定点 (1, 2)
D．直线 l1 : ax 2ay 1 0, l2 : (a 1)x (a 1)y 4 0， l1 l2，则 a 3或 0
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10．已知实数 x，y满足方程 x2 y2 4x 2y 4 0，则下列说法正确的是
y 4 y
A． 的最大值为 B． 的最小值为 0
x 3 x
C． x2 y2的最大值为 5 1 D． x y的最大值为3 2
11．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是 60°，
下列说法中不．正．确．的是
A． AC1 12 6
B．BD 平面 ACC1
C．向量B1C与 AA1 的夹角是 60°
D．直线 BD1与 AC
6
所成角的余弦值为
6
12 2．已知抛物线 x 2py p 0 的焦点为F ， A， B是抛物线上两动点，且 AF 的最小值为 1，M 是线段 AB的
中点， P 2,3 是平面内一定点，则
A． p=2
B．若 AF BF 8，则M 到 x轴距离为 3
C．若 AF 2FB，则 AB 3
D． AP AF 的最小值为 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．
13．设 e1,e2 是空间两个不共线的非零向量，已知 AB 2e1 ke2 ， BC e1 3e2 ，DC 2e1 e2 ，且 A,B,D三点共
线，则实数 k的值为 ．
2 2
14 x y．设双曲线 - =1的左、右焦点分别为 F1，F2，过F1的直线 l交双曲线左支于 A，B两点，则 BF
4 2 2
+ AF2
的最小值为 ．
15．已知点M ( 1, 2)，则点 M关于直线 l : 2x y 5 0的对称点Q的坐标是 ．
16．若方程 x b 3 4x x 2 有两个不等的实根，则实数 b的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（满分 10分）
若直线 l的方程为 ax 2y a 2 0(a R)．
（1）若直线 l与直线m : 2x y 0垂直，求a的值；
（2）若直线 l在两坐标轴上的截距相等，求该直线的方程．
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18.（满分 12分）
已知圆M 经过点 A(-1,2)， B(6,3)且 圆心在直线 x y 2 0上。
（1）求圆M 的方程；
（2）已知直线 l经过点 (-2,2)，直线 l与圆M 相交所得的弦长为 8，求直线 l的方程．
19.（满分 12分）
M r C : (x+ 3)2 + y 2 =1 C : (x- 3)2 2设动圆 的半径为 ，它与圆 1 外切，且与圆 2 + y =1内切．
（1）求圆心M 的轨迹方程 E；
（2）问：曲线 E上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
20.（满分 12分）
如图，在多面体 ABCDE中，BE 平面 ABC，平面 ACD 平面 ABC，AD AC CD 4，AB BC 2 2，BE 3 .
(1)若点 F 在 AC上，且 AF 3FC，求证： BF //平面CDE；
(2)求DC与平面 ADE所成角的正弦值.
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21.（满分 12分）
已知抛物线C： y2 8x及该抛物线上一点 A(2,4) .
(1) 过点 A作抛物线C的切线 l，求该切线 l的方程；
(2)过点 A分别作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．
22.（满分 12分）
x2 y2
在平面直角坐标系Oxy中，椭圆
2 2 1(a b 0)
2
的离心率 e ，且点 P(2,1)在椭圆C上．
a b 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为 1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求 AOB面积的最大值．
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{#{QQABDQQUggAgABBAARgCQQlKCEMQkBGCAIoOhFAIoAAAARNABAA=}#}2023-2024学年高二（上）数学第二次月考试卷 参考答案
一、二 单、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C B C D B A AC ABD AC ABD
8．【答案】A
x2 y2
【解析】因为 P是焦点为 F1， F2的椭圆 1上的一点，25 16
PQ为 F1PF2的外角平分线，QF1 PQ，
设 F1Q的延长线交 F2P的延长线于点 M，所以 | PM | | PF1 |，
PF1 PF2 2a 10, MF2 PF1 PF2 ，
所以由题意得OQ是△F1F2M的中位线，所以 |OQ | a 5，
所以 Q点的轨迹是以 O为圆心，以 5为半径的圆，
所以当点 Q与 y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离 d 5 4 1.故选：A．
12．【答案】ABD
2
【解析】抛物线 x 2py p 0 上的点 A到抛物线焦点 F距离的最小值为 1，
p
则有 1，解得 p=2，A正确；
2
抛物线的方程为 x2 4y，焦点 F (0,1)，准线 l : y 1，设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，
M ( x对于 B，点 1
x2 , y1 y2 )，由抛物线的定义知， | AF | | BF | y 1 y 1 8，
2 2 1 2
y y 6 y1 y有 1 2 ，所以 M到 x轴距离 2 3，B正确；
2
对于 C， AF ( x1 ,1 y1), FB (x2 , y2 1)，由 AF 2FB得：1 y1 2(y2 1)，即 y1 2y2 3，
又 | AF | 2 | FB |，即 y1 1 2(y 1) y 2y 1
1
2 ，则 1 2 ，解得 y1 2, y2 ，2
于是得 | AB | | AF | | BF | y
9
1 1 y 2 1 ，C不正确；2
对于 D，抛物线 x2 4y中，
当 x=2时， y 1 3，因此点 P 2,3 在抛物线 x2 4y上方，
过点 P作 PP l于 P ，交抛物线于点 Q，连 QF，
过 A作 AA l于 A ，连 AF，AP， PA ，如图，
显然 | AP | | AF | | AP | | AA | | PA | | PP | | PQ | |QP | | PQ | |QF |，当且仅当点 A与 Q重合时取等号，
所以 ( AP AF )min | PP | 4 ，D正确．故选：ABD
三 填空题
13． 8 14.10 15. (3, 4) 16. (1 2 2, 1]
【解析】令 y 3 4x x 2 ，即 y 3 4x x2 ，两边平方得到 (y 3)2 4x x 2 ，
即 (x 2)2 (y 3)2 4 ，又由 y 3 4x x2 ，易知， y 3，
所以曲线 y 3 4x x 2 表示以C(2,3)为圆心， r 2为半径的半圆，如图所示，
b 1
令 y1 x b， 当 y1 x b与圆相切时， 2，
2
得到b 2 2 1（舍去）或b 1 2 2，
当 y1 x b过点 A(4,3)时，b = -1，
又因为方程 x b 3 4x x2 有两个不等的实根，由图知1 2 2 b 1，故答案为：1 2 2 b 1．
四、解答题：
17．【详解】（1） 直线 l与直线m : 2x y 0垂直， 2a 2 0，解得 a 1．--------------4分
（2）当 a 0时，直线 l化为： y 1．不满足题意．--------------6分
a 0 l (0, a 2
a 2
当
时，可得直线 与坐标轴的交点 )，
2
,0
a
．--------------8 分
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a 2 a 2直线 l在两轴上的截距相等， ，解得： a 2．--------------9 分
2 a
该直线的方程为： x y 0， x y 2 0．--------------10分
19．【详解】（1）连接 MC1，MC2（图略），
∵圆 M与圆 C1外切，且圆 M与圆 C2内切，
∴｜MC1｜＝r＋1，｜MC2｜＝r－1，
∴｜MC1｜－｜MC2｜＝2＜｜C1C2｜＝2 ，
∴点 M的轨迹是以 C1（－ ，0），C2（ ，0）为焦点的双曲线的右支，
y2
∴点M的轨迹方程是 x2 1(x 1)．……………………………………6分
2
（2）法一：设被点 B（1，1）平分的弦所在的直线方程为 y＝k（x－1）＋1，
y2
代入双曲线方 x2 1，得（k2－2）x2－2k（k－1）x＋k2－2k＋3＝0，
2
∴Δ＝[－2k（k－1）]2－4（k2－2）（k2－2k＋3）＞0，解得 k＜ ．
设弦的两端点为 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1＋x2＝ ．
∵点 B（1，1）是弦的中点，∴ ＝1，∴k＝2＞ ．
故双曲线上不存在被点 B（1，1）平分的弦．………………………………………………………12分
法二：设双曲线上存在被点 B平分的弦 MN，且点 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
且
由①－②得（x1＋x2）（x1－x2）－ （y1＋y2）·（y1－y2）＝0，
∴kMN＝ ＝2，
∴直线 MN的方程为 y－1＝2（x－1），即 y＝2x－1．
由 消去 y，得 2x2－4x＋3＝0．
又Δ＝－8＜0，∴直线 MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点 B平分的弦．
18．【详解】（1）设圆 M的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为圆 M经过点 A（－1，2），B（6，3），且圆心在直线 x＋y－2＝0上，
依题意有
解得 D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆 M的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝25．………………………………………………………6分
（2）设圆心到直线 l的距离为 d，
则弦长 L＝2 ＝8 ＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为 y－2＝k（x＋2），即 kx－y＋2k＋2＝0，
d＝ ＝3，解得 k＝0，k＝－ ，
所以所求直线 l的方程为 y＝2或 15x＋8y＋14＝0．………………………………………………………12分
20．【详解】（1）法一：取 AC,CD中点O,G，连接DO,BF ,EG,FG ，
AD AC CD， ACD为等边三角形， DO AC ，
平面 ACD 平面 ABC，平面 ACD 平面 ABC AC，DO 平面 ACD，
DO 平面 ABC，又 BE 平面 ABC， DO//BE，
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{#{QQABDQQUggAgABBAARgCQQlKCEMQkBGCAIoOhFAIoAAAARNABAA=}#}
1
AF 3FC， AO OC AC ， F为OC中点，又G为CD中点，
2
FG 1 //DO， FG DO，
2
DO CD2 CO2 42 22 2 3，∴FG 3，
FG//BE， FG BE， 四边形 BFGE为平行四边形， BF //EG，
EG 平面CDE，BF 平面CDE，
BF //平面CDE .…………………………………………………………………………………………………6分
（2）连接OB， AB BC ， OB AC，又 DO 平面 ABC，
DO, AC,OB两两互相垂直，则以O为坐标原点，OB,OC,OD正方向为 x, y, z轴正方
向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则C 0,2,0 ，D 0,0, 2 3 ， A 0, 2,0 ，E 2,0, 3 ，
CD 0, 2,2 3 ， AD 0,2,2 3 ，DE 2,0, 3 ，
设平面 ADE的法向量 n x, y, z ，
AD n
2 y 2 3z 0
则 ，令 z 2，解得： x 3， y 2 3， n 3, 2 3,2 ，
DE n
2x 3z 0
CD n
cos CD,n 8 3 2 57 ，
CD n 4 19 19
即DC与平面 ADE 2 57所成角的正弦值为 .…………………………………………………………………………12分
19
法二：题（1）也可以利用坐标法，如题（2）建系，得B 2,0,0 ，C 0,2,0 ，D 0,0, 2 3 ，F 0,1,0 ， E 2,0, 3 ，
所以 BF 2,1,0 ，CD 0, 2,2 3 ，CE 2, 2, 3 ，设平面CDE的法向量 n0 x0 , y0 , z0 ，
CD
n 2 y 2 3z 0 3 3
则 ，取 z 3，则 y 3， x ，得 n0 ( ,3, 3)
CE n 2x 2 y 3z 0 2 2
则BF n0 0，所以 BF n，所以 BF //平面CDE .
21.【详解】（1）由题过点 A的切线方程为 y 4 k(x 2)，………………………………………1分
y 4 k(x 2) 2
法一: 联立 ，因为y2 8x x
y
，故消去 x得 ky2 8y 16k 32 0，……………2分
8
由 64 4 k ( 16k 32) 0，…………………………………………………………………3分
整理得： k 2 2k 1 0，解得 k 1，……………………………………………………………4分
所以切线 l的方程为： y x 2 .………………………………………………………………5分
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y k(x 2) 4
法二: ，
y
2 8x
消去 y得 k 2x2 (4k 2 8k 8)x 4(k 2)2 0，………………………………………2分
由 (4k 2 8k 8)2 4 k 2 4(k 2)2 0，得 (k 2 2k 2)2 [k(k 2)]2 0，
即 (k 2 2k 2)2 (k 2 2k) 0，再利用平方差公式得： 2(2k 2 4k 2) 0，即 k 2 2k 1 0，得 k 1，
………………………………………………………………………………………………………………4分
所以切线 l的方程为： y x 2 .…………………………………………………………………………5分
（提醒：利用法二运算的过程中需明确算理，不可盲目运算导致耗时过多。注意式子结构复杂、所含字母较多
时，要明确主元，并根据主元进行降幂排列；在求解方程时，切不可无视方程次数盲目展开，而应先约分化简，并观
察式子结构，利用平方差进行因式分解，以达到降次求解方程的目的。
对比两种直线方程假设的方式，会发现消去字母 x运算较为容易。这是抛物线与另两种圆锥曲线不同之处，因
为抛物线存在一次项。所以不能“惯性”地将直线代入抛物线。
运算是数学的“童子功”，学好解析几何，要过好运算关。而过好这个关，不只是大量题目的重复训练，而在于
面对问题时，注意分析，才能达到减少运算量，提升解题效率。）
y 2 y 2 k
y
2
y1 8
（2）设 B( 1 , y )，C( 21 , y2 )，故直线BC的斜率为
BC y 2 y 2 y y
8 8 2 1 2 18 8
法一：由题可知直线 AB与 AC的斜率均存在，设直线 AB的斜率为 k0，则直线 AC的斜率为 - k0，
设则直线 AB的方程为 y 4 k0 (x 2)，
y 4 k0 (x 2) y2
x x k y2联立 2 ，因为 ，故消去 得 0 8y 16k0 32 0，（类似第（1）的法一，无需重复运算）
y 8x 8
8 8
该方程有两个根为 y1与 4，由韦达定理 y1 4 y 4k ，得 1 k ；0 0
y 8同理可得 2 4k ，所以 y2 y1 8，0
8
所以直线BC的斜率为 kBC 1y y …………………………………………………………………12分2 1
法二：由题可设 AB：m y 4 x 2，即 x my 4m 2，
y2代入抛物线的方程得 8 my 4m 2 ，即 y2 8my 32m 16 0，
则 y1 4 8m，故 y1 8m 4，
所以 x1 my
2 2
1 4m 2 m 8m 4 4m 2 8m 8m 2，即 B 8m 8m 2,8m 4 ，
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设 AC： m y 4 x 2，即 x my 4m 2，
同理可得 y2 8m 4，则 x2 my2 4m 2 m 8m 4 4m 2 8m2 8m 2，即C 8m2 8m 2, 8m 4
BC k
y
1
y2 16m
直线 的斜率 BC 1x x ，1 2 16m
所以直线 BC的斜率为定值．……………………………………………………………………………………12分
e c 2＝ ＝ ，
a 2
a＝ 6，
22．（12分）解：(1)由题意得 4 1＋ ＝1， ∴
a2 b2 b＝ 3，
a2＝b2＋c2，
x2 y2
∴椭圆 C的方程为 ＋ ＝1．…………………………………………………………………………………4分
6 3
(2)设直线 AB的方程为 y＝－x＋m，
y＝－x＋m，
x2联立 y
2
＋ ＝1， 得 3x2－4mx＋2m2－6＝0，
6 3
Δ>0，
x1＋x 4m2＝ ，
∴ 3 ……………………………………………………………………………………………………6分
x 2m
2－6
1x2＝ ，
3
∴|AB|＝ 1 4＋（－1）2|x1－x2|＝ 9－m2，…………………………………………………………………………7分
3
|m|
原点到直线的距离 d＝ ．………………………………………………………………………………………………8分
2
S 1 4 |m|∴ △OAB＝ × 9－m2·2 3 2
2 2 9－m2＋m29 m2 m2≤ · 3 2＝ （ － ） ＝ ．…………………………………………………………………………10分
3 3 2 2
3 2
当且仅当 m＝± 时，等号成立，……………………………………………………………………………………11分
2
3 2
∴△AOB面积的最大值为 ．………………………………………………………………………………………12分
2
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