江门市名校2023-2024学年高一上学期12月第二次质量检测
数学科
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则等于（ ） A． B． C． D．
2．设命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点所在区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
7．下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A． B． C． D．
8．若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②；③；
④，其中被称为“理想函数”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，则的最小值为5
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最小值为
11．如图，某河塘浮萍面积与时间(月)的关系式为，则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第4个月时，浮萍面积会超过25m2
C．浮萍面积蔓延到100m2只需6个月
D．若浮萍面积蔓延到10，20，40所需时间分别为,,，则
12.对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 函数的最大值为1
C. 函数的最小值为0 D. 方程有无数个根
第Ⅱ卷（非选择题90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则 .
14．已知，用表示为_______________.
15．已知函数，则______________.
16．若函数有两个零点，则实数b的取值范围是____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
计算：(1)；
(2).
18.（本小题满分12分）
已知集合，全集．
(1)求 ；
(2)设，若，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
设，关于x的不等式的解集为.
(1)求的取值范围；
(2)求关于x的不等式的解集.
20．（本小题满分12分）
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时， (万元)．在年产量不小于8万件时， (万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)；
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
(1)用定义法证明函数在区间上单调递减；
(2)是否存在，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分12分）
若（，且）.
(1)当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.江门市名校2023-2024学年高一上学期12月第二次质量检测
数学科答案
1-4 CCBD 5-8 ADAB 9.AB 10.BD 11.BCD 12.ACD
13. 14. 15.1 16.
1．C 【详解】因为，，所以，
2.【详解】由命题：，，
则为：，；故选：C
3．B 【详解】解：由“”得，由“”解得，推不出，可推出，故“”是“”的必要不充分条件，
4．已知，则（ ）
D【详解】因为，，，
．
5.【答案】 A
【解析】∵∴，
∴，故选A.
6. [解析] D 由在R上单调递增，且f(3)＝22＋3－9＝－2<0，f(4)＝23＋4－9＝3>0，
所以f(x)的零点在(3,4)这一区间内．
7. [解析] 函数＝，在上单调递增，函数y＝2－x＝()x，，在上都是单调递减的，故选A．
8．B【详解】由（1）知：为定义域上的奇函数；
由（2）知：，可知单调递增.
即“理想函数”满足①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；
对于①，是偶函数，在定义域内不单调递增，①不是“理想函数”；
对于②，；满足函数是奇函数，在定义域内单调递增，②为“理想函数”；
对于③，，函数不是奇函数，③不是“理想函数”；
对于④，，当时，，则，又，可知为定义域上的奇函数；又当时，单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增，则在定义域内单调递增，④为“理想函数”.
9.【答案】AB
【分析】
利用不等式的性质即可求解.
【详解】对于A，由，所以，故A正确；
对于B，由，所以，故B正确；
对于C，由，则，故C错误；
对于D，当时，，故D错误；
故选：AB
10．BD【详解】A.，，令，，由对勾函数的性质得，故A错误；
B.因为，所以，当 且仅当时，即，时，取等号，故B正确；
C. 因为，，所以，即，
解得，所以，故C错误；
D. 因为，，所以
当且仅当，即时，取等号，故D正确；
故选：BD
11．BCD【详解】根据图象可知，函数图象过点，
所以.解得，所以.
对于A选项，有可知，函数为指数增长，所以A选项错误.
当时，，所以B选项正确.
时，；时，，所以C选项正确.
依题意，
所以，
所以，
，所以D选项正确.
12．【答案】ACD
【解析】
【分析】根据新的定义，研究函数的性质，对A选项直接计算进行判断．
【详解】
，，A正确；显然，因此，∴无最大值，但有最小值且最小值为0．B错，C正确；方程的解为，D正确．
故选ACD.
13.【答案】
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
当时，，则
.
14．【详解】由题意，，利用换底公式得：，，
所以.
15．【详解】.
16. [解析] ，即，由函数与图象得，017．【详解】(1)原式··············································································· ……………………5分
（第1和第2个等号各2分，第3个等号1分。
(2)原式……………………10分
（第1和第2个等号各2分，第3个等号1分。）
18.【答案】（1）或；（2）．
【详解】解：(1)根据题意,因为．…………2分
因为全集,
所以或, …………………5分
(2)根据题意,或, …………………6分
若,当或, ……………………8分
即或, ……………………10分
所以的取值范围为． ……………………12分
19．【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为，
所以关于x的不等式恒成立，……………………1分
所以，……………………3分
解得，……………………5分
所以m的取值范围为；……………………6分
（2）不等式等价于，……………………7分
当时，不等式可化为，解集为；……………………8分
当时，，
此时不等式的解集为或；……………………10分
当时，，此时不等式的解集为.………………12分
20．【详解】
(1)因为每件商品售价为5元，则万件商品销售收入为万元，
依题意得，当时，，……………………2分
当时， ，……………………4分
所以； ……………………6分
(2)当时，，
此时，当时，取得最大值万元，……………………8分
当时，，
……………………10分
此时，当且仅当，
即时，取得最大值15万元， ……………………11分
因为，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元. ……………………12分
21.
【详解】 (1)证明：，且,则……………………1分
，……………………3分
，，
，，，
，……………………5分
在上单调递减；……………………6分
(2)解：函数的定义域为，……………………7分
若为奇函数，则恒成立，
即恒成立， ……………………8分
，……………………10分
解得：. ……………………11分
存在，使得为奇函数. ……………………12分
22.【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）时， ，
函数的定义域为. ……………………1分
，，
即，
令 ……………………2分
，在上单调递增，
要使有解，则，……………………3分
； ……………………4分
（2）.
由题意知，，.
函数在区间上单调递增. ……………………5分
①若，则在上单调递减，
在上的最大值为.
……………………6分
在上恒成立， ， ……………………7分
解得或，. ……………………8分
②若，则在上单调递增，
在上的最大值为. ……………………9分
在上恒成立，
，，……………………10分
解得，
，此时，不存在满足题意，……………………11分
综上，的取值范围为. ……………………12分
