上海市宝山区名校2023-2024学年高一上学期第二次质量检测
数学学科试卷
考试时间：120分钟 满分：150分 2023.12
一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）
1. 已知集合，，则
2. 函数的零点为______________.
3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，则________.
4. 若，则是第_______象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”）
5. 函数，若,则实数的值为_______.
6. 函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是_____．
7. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________．
8．如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米. 则矩形的面积关于的函数解析式为 .
9. 已知函数在上存在最大值或最小值，则实数的取值范围是_____.
10. 函数，若当时，，则的最大值_____.
11.已知定义在上的奇函数在满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是______.
12. 设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为_______.
二、选择题（本题满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）
13. 已知，以下不等关系不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A. B. C. D.
15. 已知函数，给出以下三个命题正确的个数为（ ）
①存在实数a，函数无最小值；
②对任意实数a，函数都有零点；
③对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
16．已知函数，记集合，集合．若，且A、B都不是空集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）
17 .（满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知幂函数，且图像不过原点.
（1）求出的表达式，并写出它的单调区间；
（2）记，判断函数的奇偶性，并证明.
18 .（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数.
（1）若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；
（2）用定义法证明：函数在定义域上是严格增函数.
19. (满分14分，第1小题3分，第2小题5分，第3题6分）
“绿水青山就是金山银山”，为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理. 某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理. 根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为. 若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
（1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
（2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1）
（3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值.
20. (满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3题8分）
已知函数.
（1）若有零点，求实数的取值范围；
（2）若，函数的值域为，且，求的取值范围；
（3）当时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
21． (满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3题8分）
设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有．
（1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（不必说明理由）
①； ②；
（2）若是函数的“区间”，求m的取值范围；
（3）已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．上海市宝山区名校2023-2024学年高一上学期第二次质量检测
数学学科试卷 答案
考试时间：120分钟 满分：150分 2023.12
一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）
1. 已知集合，，则
【答案】
2. 函数的零点为______________.
【答案】2.
【解析】，故答案为2
3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，则________.
【答案】.
【解析】由任意角的正弦定义知，故答案为.
4. 若，则是第_______象限角.(填“一”、“二”、“三”或“四”）
【答案】三
5. 函数，若,则实数的值为_______.
【答案】1
6.已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是_____．
【答案】
7.已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________．
【答案】
8．如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米. 则矩形的面积关于的函数解析式为 .
【答案】
【详解】解：在直角中，
所以，
∴，
∴，
所以矩形的面积关于的函数解析式为.
9. 已知函数在上存在最大值或最小值，则实数的取值范围是________
【答案】
【详解】当时，在都是单调增函数，故无最值，不符合；
当时，在为严格减函数，为严格增函数，若满足在存在最大值或最小值，则，故，
10. 已知函数，若当时，，则的最大值是__________.
【答案】
11.已知定义在上的奇函数在满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】由函数图象可知函数在定义域上单调递增，若不等式对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，即恒成立，
当时，不恒成立，
当时，则，解得；
综上可得
12. 设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为_______.
【答案】6
【解析】解：由题意知，存在，，…，，
使得……成立，
即…成立．
而，
当且仅当时等号成立，
又…，
，而，即
仅需成立即可，有，故正整数的最大值为
故答案为：
二、选择题（本题满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）
13. 已知，以下不等关系不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
14. 在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
15．已知函数，给出以下三个命题正确的个数为（ ）
①存在实数a，函数无最小值；
②对任意实数a，函数都有零点；
③对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【详解】①，当时，，
的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.
②，由于，
当时，；当时，，
所以对任意实数a，函数都有零点，②正确.
③当时，，
当时，，
画出的图象如下图所示，
由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，③正确.
16．已知函数，记集合，集合．若，且A、B都不是空集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】都不是空集，设，则；，则.
当时：方程的解为 此时，满足；
当时：的解为或
，则或
，则无解，
综上所述：，
故选
三、解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）
17 .（满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知幂函数，且图像不过原点.
（1）求出的表达式，并写出它的单调区间；
（2）记，判断函数的奇偶性，并证明.
【详解】（1）解：由，解得或，
又图像不过原点，故，单调区间为.
（2）函数是定义域上的奇函数，
证明：，定义域为D=，任取，都有
又由
所以函数是定义域上的奇函数.
18 .（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数.
（1）若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；
（2）用定义法证明：函数在定义域上是严格增函数.
【答案】（1）设，则，而时，，又函数是偶函数，于是得
所以当时，.
（2）得，解得.所以定义域为；
设是区间上任意两个实数，且
则，
因，则，即，有，
所以函数在区间上是严格增函数.
19. (满分14分，第1小题3分，第2小题5分，第3题6分）
“绿水青山就是金山银山”，为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理. 某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理. 根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为. 若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
（1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
（2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1）
（3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值.
【答案】（1）当时，，
所以若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米；
（2）解：因为净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用，
当时，令，得恒成立，
所以当时，起到净化污水的作用，
当时，令，得，则，
所以，
综上所述当时，起到净化污水的作用，
所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达7.1小时；
（3）解：因为第一次投入1个单位的净化剂，3小时后再投入2个单位净化剂，要计算的是第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为，
所以，，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，，
当时，取最小值12毫克/立方米.
20. (满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3题8分）
已知函数.
（1）若有零点，求实数的取值范围；
（2）若，函数的值域为，且，求的取值范围；
（3）当时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）当满足；
当，故；
综上，；
（2）的值域为，可得： ；
，故 ，.
；故
，
（3）当时，函数，在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递减，
所以当时在区间上单调递减，
令单调递增．
原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点，当且仅当即时原命题成立，解得．
又，所以．
（用函数单调递减解答比照给分）
21． (满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3题8分）
设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有．
（1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（不必说明理由）
①； ②；
（2）若是函数的“区间”，求m的取值范围；
（3）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．
【答案】
（1）①是，②不是
（对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”，
对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2，
不是函数的“区间”.）
（2）记， ，注意到，
因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即.
当时，在上单调递增，且，
所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（3）对于任意区间，记，
依题意，在上单调递减，则.
因为，所以，
即S的长度大于的长度，故不满足性质①.
因此，如果为的“区间”，只能满足性质②，即，
即只需存在使得，或存在使得.
因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间" .
记，先证明函数有唯一零点；
因为在上单调递减，所以在上单调递减.
若，则为的唯一零点；
若，则，即，
由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；
若，则，即，
由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；
综上，函数有唯一零点，即，
已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以.
