第二十二章《二次函数》实际问题与二次函数专题练习（含解析）

22.3 实际问题与二次函数专题练习
专题一 几何图形问题
用二次函数解决几何图形面积的最值问题
1如图，若用长10 m的铁丝利用墙AB围成一个斜边为ED 的直角三角形ECD，则所围成的△ECD的最大面积为 ( )
B.7.5 m
D.12.5 m
2如图，小明想用长为12 米的栅栏(虚线部分)，借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( )平方米.
A.16 B.18 C.20 D.24
3如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点 P 从点 A开始沿边AB 向点 B 以1 cm/s的速度移动(不与点 B重合)，动点Q 从点 B开始沿边 BC 向点 C 以2cm /s的速度移动(不与点 C 重合).如果点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发，那么经过( )s，四边形APQC的面积最小.
A.1 B.2 C.3 D.4
4如图，某兴趣小组想借助如图的直角墙角(两边足够长)，用20 m长的篱笆围成一个矩形 ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.
(1)若花园的面积为96 m ,求x 的值;
(2)若在 P 处有一棵树与墙 CD,AD 的距离分别是11 m和5m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值.
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5已知:如图,正方形ABCD的边长为1,E,F,G,H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形 EFGH的面积为S，AE 的长为x，则S关于x的函数图像大致是 ( )
6如图，工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求当长方体底面面积为32 平方分米时，裁掉的正方形边长是多少.
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5 元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元.
专题二 销售利润问题
01 利用二次函数解决商品利润问题
1便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足 由于某种原因，每件销售价只能满足15≤x≤19，那么一周可获得的最大利润是( )
A.1 554 元 B.1 556 元
C.1 558 元 D.1 560 元
2某文具店出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出(6-x)个.当一天出售该种文具盒的总利润y(元)最大时，x的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售 200 件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售量将减少 10 件.
(1)当每件的销售价为52 元时，该纪念品每天的销售量为 件.
(2)当每件的销售价x(元)为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y(元)最大 求出最大利润.
4某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件. A 城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系 当x=10时,y=400;当x=20时,y=1000. B城生产产品的每件成本为70万元.
(1)求 a,b的值.
(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，A，B两城各生产多少件
(3)从 A 城把该产品运往 C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.已知 C 地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值.(用含有m的式子表示)
5某服装厂生产 A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发 A 品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图的函数关系，其中批发件数 x为 10 的正整数倍.
(1)当 100≤x≤300 时,y与 x之间的函数关系式为 .
(2)某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200 件，需要支付多少元
(3)零售商到此服装厂一次性批发 A 品牌服装x(100≤x≤400)件，服装厂的利润为w元.问：当x为何值时，w的值最大 最大值是多少
专题 抛物线形的实际问题
01 拱桥问题
1有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是 16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的解析式为 ( )
2如图是抛物线形拱桥的剖面图，拱底宽 12 m，拱高8m，设计警戒水位为6m，当拱桥内水位达到警戒水位时，拱桥内的水面宽度是( )
A. 3m B. 6m
3如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 m，跨度是40 m，在线段AB上离中心 M 处5m 的地方，桥的高度是 ( )
A.14 m B.15 m C.13 m D.12 m
4如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的.正常水位时，大孔水面宽度为20 m，顶点距水面6m ，小孔顶点距水面3m .当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 m.
02运动中的抛物线问题
5在今年的校运动会中，小明参加了跳远比赛，重心高度h(m)与时间t(s)的函数解析式为h=3.5t-4.9t ,其可以描述小明在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，则他起跳后到重心最高时所用的时间的是 (( )
A.0.36 s B.0.63 s C.0.70 s D.0.71 s
6 如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y= 由此可知铅球被推出的距离是 ( )
A.10 m B. 3m
C.4m D.2m 或10 m
7小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分，如图，若球命中篮筐中心，则小明与篮筐中心的正下方的距离l是 m.
8如图，一位跳水运动员在进行某次10 米跳台跳水训练时，测得身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线 的一部分(图中标出的数据为已知条件).
(1)运动员在空中运动的最大高度离水面为多少米
(2)如果运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.在这次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，测得距池边的水平距离为3 米，问：此次跳水会不会失误 通过计算说明理由.
9如图(1),排球场长为 18 m,宽为9 m,网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的点C发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时,高度为2.88 m,即BA=2.88 m,这时水平距离 OB=7 m,以直线OB 为x轴,直线 OC 为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2).
(1)若球向正前方运动(即 x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式(不必写出 x取值范围)，并判断这次发球能否过网、是否出界.说明理由.
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P〔如图(1),点P 距底线1m、边线0.5m〕,发球点O 在底线上的哪个位置 (参考数据： 取1.4)
10如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m、宽是4m.按照图中的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示，且抛物线上的点C 到墙面 OB 的水平距离为3m ，到地面OA的距离为 m.
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面 OA 的距离。
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m 、宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米
22.3 实际问题与二次函数
几何图形问题
1. D 解析设 CE=xm,则 该函数图像的开口向下.∴当x=5时,面积最大,为12.5 m .故选 D.
2. B 解析 设AB=x米,则BC=(12-2x)米,则矩形ABCD的面积S= 即矩形 ABCD 的最大面积为18 平方米.故选 B.
3. C 解析设点P，Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为S cm ,.则有 当t=3时,S取得最小值.故选 C.
4.解(1)设AB=xm,则 BC=(20-x)m.根据题意,得x(20-x)=96,解得
故x的值是 12 或8.
(2)设花园的面积为S m ,则
∵在 P 处有一棵树与墙 CD,AD的距离分别是11 m和5m ,
∵-1<0,∴当x=9时,S取得最大值,最大值为 故花园面积的最大值是99 m .
5. B 解析∵正方形的四条边都相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.设AE=x,则AH=1-x.根据勾股定理，得 即 所求函数的图像开口向上，对称轴是直线 自变量的取值范围是0方法解读判断函数图像时，通常先根据题意列出函数解析式，再根据自变量的取值范围和函数类型进行分析.
6.解(1)如答图.
设裁掉的正方形的边长为x分米.
由题意可得,(12-2x)(8-2x)=32,即 16=0,解得 (不符合题意，舍去).
答：当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的 (第6题答图)正方形的边长为2分米.
(2)设总费用为y元，则y=2(12-2x)(8-2x)+0.5x[2x(12-2x)+
又∵12-2x≤5(8-2x),∴x≤3.5.
∵4>0,
∴当x<7.5时,y随x的增大而减小,
∴当x=3.5时,y取得最小值,最小值为31.
答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元.
销售利润问题
1. B 解析∵-2<0,∴当x<20时,y随x的增大而增大.∵15≤x≤19,∴当x=19时,y取得最大值,最大值为 1.556.故选 B.
2. C 解析由题意可得函数的解析式为y=x(6-x)，即 当 时，y有最大值，即当x=3时，一天出售该种文具盒的总利润y最大.故选C.
3.解(1)180.
(2)由题意,得
y=(x-40)[200-10(x-50)]
∵-10<0,∴当x=55时,y取得最大值,为2 250.
故当每件的销售价x(元)为55 时，销售该纪念品每天获得的利润y(元)最大,最大利润为2 250 元.
4.解(1)由题意,得 解得 (2)由(1),得
设A，B两城生产这批产品的总成本的和为w万元，
则
∵ a=1>0,
∴由二次函数的性质可知，当x=20时，w取得最小值，最小值为6600,此时100-20=80(件).
答:A 城生产20件,B城生产80件.
(3)当0当m=2时，A，B两城总运费的和的最小值为130；
当m>2时,A,B 两城总运费的和的最小值为10m+110.
5.解
(2)当x=200 时,y=-20+110=90,
∴90×200=18 000(元).
故需要支付18 000 元.
(3)分两种情况：
①当100≤x≤300时
∵批发件数x为10 的正整数倍，
∴当x=190 或x=200时,w有最大值,最大值是3800.
②当300当x=400 时,w有最大值,最大值是9×400=3 600.
综上可知，当x的值为190或200时，w的值最大，最大值是3 800.
抛物线形的实际问题
1. B 解析 因为抛物线经过点(0,0),所以400a+16=0,解得 所以此抛物线的解析式为 16,即 故选 B.
2. B 解析 如答图，建立平面直角坐标系.设抛物线的解析式为y= 由题意，得 解得 当y=6|时 解得 (舍去)，∴拱桥内的水面宽度为6m .故选 B.
3. B 解析 如答图，建立平面直角坐标系，则点 A 的坐标是(-20，0)，点C 的坐标是(0，16).设抛物线的解析式为 把点 A，C 的 坐标分别代入函数 解析式，得 解 得 抛物线的解析式为 把x=5代入 16,得y=15,即在线段AB 上离中心 M 处5m 的地方,桥的高度是15 m.故选 B.
4.10 解析如答图. C 为抛物线的顶点，其坐标为(0，6)，则点 A 的坐标为(-10,0),点B 的坐标为(10,0).
设抛物线ACB的解析式为
∵点A 在此抛物线上,∴0=ax 解得 即抛物线ACB 的解析式为 当y=3时, 解得 或 当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为
5. A 解析> 当 t= 时,h最大.故选 A.
6. A 解析由题意可得，当y=0 时, 解得 10，x =-2(不符合题意，舍去).所以铅球被推出的距离是 10 m.故选 A.
7.4.5 解析 把 y=3.05 代入 中，得 3.05,解得 (不符合题意,舍去),∴l=3+1.5=4.5(m).
8.解(1)∵ 抛物线 的顶点坐标为 ∴运动员在空中运动的最大高度离水面为10 米.
(2)当运动员距池边的水平距离为3 米时，横坐标。 ,则
此时，运动员距水面的高度为 (米). 因此，此次跳水会出现失误.
9.解(1)设球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为 2.88(a≠0).
将x=0,y=1.9代入上式并解得a=-0.02.
∴球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为 当x=9时, 当x=18时,
∴这次发球能过网，但是出界了.
(2)如答图，分别过点O，P 作边线的平行线，交于点 Q.
由题意，得(OQ=18-1=17(m).
当y=0时, 解得x =19,x =-5(不符合题意,舍去),
∴OP=19(m).
在 Rt△OPQ中,由勾股定理,得
∵9-8.4-0.5=0.1(m),
∴发球点O 在底线上且距右边线约0.1m 处.
10.解(1)根据题意,得B(0,4),c(3,
把点B(0,4),(c(3, )的坐标分别代入 得 解得
所以抛物线的解析式为 即 所以D(6,10).
所以拱顶 D到地面 OA 的距离为 10 m.
(2)由题意，得当货运汽车靠近双向车道的分界线行驶时，其最外侧与地面 OA的交点的坐标为(2,0)或(10,0).
当x=2或x=10时,
所以这辆货车能安全通过.
(3)令y=8,则 解得 则
所以两排灯的水平距离最小是4 m.