地二十二章《二次函数》二次函数的图像和性质与几何图形综合的2 种常见类型专题练习（含解析）

二次函数的图像和性质与几何图形综合的2 种常见类型专题练习
01 二次函数与三角形综合
1 如图，抛物线 经过点 和点 B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为 C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AB,AC,BC,求△ABC 的面积.
2如图，抛物线 经过点(3,12),(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为点A,B，C，它的对称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)P是该抛物线上的点，过点 P 作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P，D，E 为顶点的三角形与△AOC 全等,求满足条件的点 P、点 E 的坐标.
3如图,直线y=-2x+10 分别与x轴、y轴交于A,B 两点,C 为 OB 的中点,抛物线 经过A,C 两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是直线AB 下方的抛物线上的一点，且△ABD 的面积为 ,求点 D 的坐标;
(3)P 为抛物线上一点,若△APB 是以 AB 为直角边的直角三角形，求点 P 到抛物线的对称轴的距离.
4 如图，抛物线 经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且OA=OC.
(1)求抛物线的对称轴.
(2)写出A，B，C三点的坐标，并求出抛物线的解析式.
(3)探究：若P 是抛物线的对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB 是等腰三角形 若存在，直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
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02 二次函数与四边形综合
5 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与y轴交于点A,与x轴交于点 B,点C的坐标为(-2,0).
(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
(2)如果 M 为抛物线的顶点，连接 AM，BM，求四边形AOBM 的面积.
6 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为4，顶点 A，C 分别在 x 轴、y轴的正半轴上，抛物线γ= 经过 B，C 两点，D为抛物线的顶点，连接AC,BD,CD.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求此抛物线的顶点 D 的坐标和四边形 ABDC 的面积.
7]如图(1)〔注:与图(2)完全相同〕,抛物线 经过B，D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点 C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为 M，求四边形ABMC 的面积；〔请在图(1)中探索〕
(3)设点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标.〔请在图(2)中探索〕
8如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 AB 相交于A,B 两点，其中A(-3,-4),B(0,-1).
(1)求该抛物线的解析式.
(2)P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB,求△PAB 面积的最大值.
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y= 平移后的抛物线与原抛物线相交于点 C，D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 E，使以B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
1.解(1)∵ 抛物线 经过点A(3 ,0),B(0,3),
解得
∴抛物线的解析式为
(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线
把 代入 得y=4.
∴点 C的坐标为( ,4)..
设线段AB 所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),则有 解得
∴线段AB所在直线的解析式为 如答图，抛物线的对称轴l与直线AB交于点 D.
∴设点 D的坐标为( ,m).
将点D( ，m)的坐标代入 得m=2,∴点D的坐标为( ,2),∴CD=CE-DE=2.
如答图,过点 B 作BF⊥l于点 F,∴
∵ BF+AE=OE+AE=OA=3 ,
2.解(1)将点(3,12),(-2,-3)的坐标分别代入
得
解得
∴ 抛物线的解析式为
(2)∵ 抛物线的解析式为 ∴ 抛物线的对称轴为直线x=-1.令y=0,则x=-3或x=1;令x=0,则y=-3.
∴A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),
∴OA=OC=3.
∵过点 P 作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，
∴∠PDE=∠AOC=90°,
∴当PD=DE=3时,以P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 全等.
设P(m,n).如答图.
当点 P 在抛物线的对称轴的右侧时,m-(-1)=3,解得 m=2.
此时点 E 的坐标为(-1,2)或(-1,8).
当点P 在抛物线的对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，P (-4,5),此时点 E 的坐标为(-1,2)或(-1,8).
综上可知,点 P 的坐标为(2,5)或(-4,5);点 E 的坐标为(-1,2)或(-1,8).
3. (1)在直线y=-2x+10 中,
令x=0,则y=10;令y=0,则x=5.∴A(5,0),B(0,10).
∵C是OB的中点,∴C(O,5).
将点A，C的坐标分别代入抛物线 得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)联立
解得 或
∴直线AB 与抛物线交于点(-1,12),(5,0).
∵D是直线AB 下方的抛物线上的一点，∴设) 其中-1如答图(1),过点 D作 DE⊥x轴,交直线AB于点 E,
∴E(m,-2m+10).
∵A(5,0),∴OA=5.
解得 m=2.
∴点D 的坐标为(2,-3).
(3)∵P 为抛物线上的一点，
∴设
∵A(5,0),B(0,10),
①如答图(2)，当点A为直角顶点时，
即 解得 ((不符合题意，舍去)；
②如答图(3)，当点 B为直角顶点时，
即 解得
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
综上可知，点 P 到抛物线的对称轴的距离为 或 或
4.解 抛物线的对称轴为直线x=2.
(2)当x=0时,y=2,即点C的坐标为(0,2).
由 OA=OC=2,得A(-2,0).
将点A 的坐标代入 得
4a+8a+2=0,解得
∴抛物线的解析式为
由 B，C 两点关于抛物线的对称轴对称，得点 B 的纵坐标是2，横坐标是4,
即点 B 的坐标为(4,2).
(3)存在. 点 P 的坐标为(2,-2 )或(2,-4)或(2,-2).
5.解(1)当x=0时 则A(0,4).
当y=0时, 解得x=8,则 B(8,0).
设抛物线的解析式为 分别把点 A(0,4),B(8,0),C(-2,0)的坐标代入,得 解得
(2)由(1)知,OA=4.
如答图,过点 M 作 MD ⊥x 轴于点D,则
∴四边形 AOBM 的面积为S梯形AODM+
6.解(1)由题意可得,A(4,0),B(4,4),C(0,4).
分别把 B，C两点的坐标代入 中，得
解得
故此抛物线的解析式为
∴抛物线的顶点 D 的坐标为(2,6).
7.解(1)由题图可得,B(3,0),D(-2,-
把点B(3,0), 的坐标分别代入抛物线的解析式，得 解得
∴ 抛物线的解析式为
(2)如答图(1),设抛物线的最高点为 M,连接OM,MB,MC,AC.
令x=0,则
令y=0,则
解得x =-1,x =3,∴A(-1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.
∴M(1,2).
(3)设(Q(0,n).∵A(-1,0),B(3,0),∴AB=4.
①当AB 为平行四边形的边时,AB∥PQ,AB=PQ.
当点 P 在点 Q 的左边时,P(-4,n)、
把点 P(-4,n)的坐标代入 得 ，解得
当点 P 在点 Q 的右边时,P(4,n).
把点 P(4,n)的坐标代入 得 解得
②当AB 为平行四边形的对角线时，如答图(2)，AB 与 PQ 交于点E,则E(1,0).
∵PE=QE,∴P(2,-n).
把点 P(2,-n)的坐标代入 得 解得n=- ,∴P(2, ).
综上可知，满足条件的点P的坐标为 或 或(2,
8.解(1)将点 A，B的坐标分别代入抛物线 得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+t(k≠0).将点 A,B的坐标分别代入，得 解得
∴直线AB 的解析式为y=x-1.
如答图，过点 P作y轴的平行线交AB 于点 H.
设 则H(x,x-1).
当 一时，S有最大值，为2 .
故△PAB 面积的最大值为2
.
(3)存在,点 E 的坐标为(-1,2)或(-3,-4+ )或(-3,-4 )或(1,-3).