泉州市名校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷 答案解析
（考试时间：120分钟 满分：150分）
20231116
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的斜率为，故倾斜角满足，又，故倾斜角为．
2．已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】注意到，所以点的轨迹是线段．
3．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】在四面体中，是的中点，是的中点
．
4．如图，某个圆拱桥的水面跨度是米，拱顶离水面米；当水面下降米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上，设该圆的圆心为，，
则该圆的方程为，
记水面下降前与圆的两交点为；记水面下降米后与圆的两交点为，
由题意可得，，则，解得，
所以圆的方程为，水面位下降米后，可知点纵坐标为，
所以，解得，则此时的桥在水面的跨度为米．
5．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，即圆心，又，，则，
所以弦所在的直线的方程为，即．
6．已知分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
设关于直线的对称点为，则，解得，
则，因为分别在圆和圆上，所以，，
则，
因为，所以．
7．若直线与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】曲线即，
即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分，
直线即恒过定点，
作出直线与半圆的图象，如图，考查临界情况：
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有个交点，
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有个交点，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，
即，解得：，舍去）．所以实数的取值范围是．
8．已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图象上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
令，则，该方程表示以为圆心，以为半径的半圆，
则分别表示
该半圆上的点到直线和的距离之和，
设半圆上点，则到与的距离之和
所以，所以的最小值为．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为 B．面积的最大值为
C．直线的斜率之积为 D．椭圆的焦距为
【答案】AB
【详解】∵椭圆方程为：，，
的周长为，∴A正确；
面积的最大值为，此时位于短轴的端点，∴B正确；
设在椭圆上，且异于，则，
所以，∴C错误；
椭圆的焦距为，∴D错误．
10．下列选项正确的是（ ）
A．空间向量与向量共线
B．已知向量，，，若共面，则
C．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是
【答案】ABC
【详解】对A，，，，与共线，故A正确；
对B，设，即，则，得，故B正确；
对C，在方向上的投影向量为，故C正确；
对D，，是直线的一个单位方向向量，
点到直线的距离为，故D错误．
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（ ）
A．直线过定点
B．动点的轨迹方程为
C．动点到直线的距离的最大值为
D．若点的坐标为，则的最小值为
【答案】ABD
【详解】对A,，直线，，所以直线l过定点，A正确；
对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得，
即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
动点的轨迹方程为，B正确；
对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大，且最大值为，C错误；
对于D，由，得，所以，
又因为点在圆内，点在圆外，
所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号．
12．已知正方体棱长为，如图，为上的动点，
平面.下面说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．己知为中点，当的和最小时，为的中点
C．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
D．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
【答案】AD
【详解】对A，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系，
则点、、设点，
平面，则为的一个法向量，且，，
，
所以直线与平面所成角的正弦值范围为，A正确；
对B，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：
若最短，则、、三点共线，
，，，点不是的中点，B错误；
对C，当与重合时，连接、、、，
由平面，平面，，
四边形是正方形，则，，
平面，平面，，
同理可证，，平面，
易知是边长为的正三角形，其面积为，周长为，
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，C错误；
对D，设平面交棱于点，点，，
平面，平面，，即，得，，
所以点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，
则，，而，，且，
空间中两点间的距离公式可得，，
，所以，四边形为等腰梯形，D正确．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，若有两空，则第一空2分，第二空3分.）
13．已知空间向量，，若，则________．
【答案】
【详解】因为，，且，则，解得．
14．若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为____________．
【答案】
【详解】法1：因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆，
因为椭圆过点，所以，即，解得或（舍去），
所以椭圆的方程为．
法2：因为椭圆的焦点为，椭圆过点，
所以，
所以，而，所以，所以椭圆的方程为．
15．写出与圆和都相切的一条直线方程____________．
【答案】或或
【详解】和相切，且斜率不存在的直线只有或，
显然这两条线都不和相切，故两圆的公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为，即，该直线和两圆相切，
所以，两式相除，得到，
故或，整理得或；
当时，结合，即，，符合，
此时，于是是其中一条公切线；
当时，，结合可解得，故，即；
当时，结合可知，，整理可得，
故，此时，故，即；
综上所述有三条公切线：，，．
16．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，为的外心，为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】不妨设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由题意得G为的中点，所以，
设，，得，
则，
因，所以，
当时，；
当时，，得；
综上，，由得．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．第17小题满分10分，其他小题满分12分.）
17．（10分）挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，，，能通过文考关的概率分别是，，，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．
（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率．
解：（1）设甲乙丙三位同学分别通过复检为事件，甲乙丙同学通过文考为事件，
可得， 2分
记事件“甲被录取成为空军飞行员”，则，且互相独立， 3分
所以； 5分
（2）记事件“甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检”，
则互斥，且互相独立，， 7分
所以 8分
． 10分
18．（12分）在中，角所对的边为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，为边的中点，求的长度．
解：（1）∵，由正弦定理可得，即， 2分
由余弦定理可得， 4分
∵，∴； 5分
（2）∵，的面积为，∴， 7分
法1：由余弦定理得，∴， 8分
∴， 9分
∴， 11分
∴的长度为． 12分
法2：因为为中点，所以， 9分
所以， 11分
∴的长度为． 12分
19．（12分）在轴截面为正方形的圆柱中，，分别为弧，弧的中点，
且在平面的两侧．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）如图，取弧另一侧的中点，连接，，，，
则与互相垂直且平分，所以四边形为正方形， 即，， 1分
因为是弧的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，， 2分
所以，， 3分
所以四边形是平行四边形，所以， 4分
又平面，平面，平面； 5分
（2）由（1），垂直圆柱底面，且，
以分别为轴正方向建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，
所以，，，， 6分
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得， 8分
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得， 10分
，
所以平面与平面夹角的余弦值为． 12分
20．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线．
（1）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值．
解：（1）当直线过原点时，设， 1分
因为点在上，所以，即，此时直线的方程为， 2分
当直线不过原点时，设直线的方程为， 3分
因为点在上，所以，即，此时直线的方程为， 5分
综上，直线的方程为或； 6分
（2）设，，，，则的方程为， 7分
∵因为点在上，∴， 8分
∴， 11分
当且仅当，即时等号成立， 12分
∴当时，取得最小值且最小值为． 12分
21．（12分）在直角梯形中，，，，如图①把沿翻折，使得平面平面（如图②）.
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）过作，垂足为，
因为，，，
所以， 1分
所以，，即，所以； 2分
因为平面平面且交线为，且平面，所以平面， 3分
又因为平面，所以； 4分
（2）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
由已知可得，，，， 5分
所以，，设平面的法向量为，
则，即，令，可得， 7分
假设在线段上存在点，使得与平面所成角为，设，，
因为，则，即， 8分
所以，
又因为平面的一个法向量为，且直线与平面所成的角为，
所以， 10分
整理得，解得或（舍去），
综上所述，在线段上存在点，使与平面所成角为，此时． 12分
22．（12分）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程；
（3）过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设圆心的坐标为，则圆的方程为， 1分
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离， 2分
因为，所以， 3分
所以圆的标准方程为； 4分
（2）法1：由条件可知四点共圆，且直径，记为圆， 5分
所以圆的方程为，即， 7分
因为圆的方程为，所以直线的方程为； 8分
法2：设，则切线的方程为：， 5分
因为在直线上，所以， 6分
同理， 7分
从而直线的方程为，即； 8分
（3）设存在点满足条件，由题可设直线，，
由，得，
∵点在圆内部，∴恒成立，则， 10分
因为，所以，即，
即是，整理得， 11分
从而，化简有，
因为对任意的都要成立，所以，
由此可得假设成立，存在满足条件的，且坐标为． 12分泉州市名校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，某个圆拱桥的水面跨度是米，拱顶离水面米；
当水面下降米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
5．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图象上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为 B．面积的最大值为
C．直线的斜率之积为 D．椭圆的焦距为
10．下列选项正确的是（ ）
A．空间向量与向量共线
B．已知向量，，，若共面，则
C．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D．已知点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（ ）
A．直线过定点
B．动点的轨迹方程为
C．动点到直线的距离的最大值为
D．若点的坐标为，则的最小值为
12．已知正方体棱长为，如图，为上的动点，
平面.下面说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．己知为中点，当的和最小时，为的中点
C．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
D．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．若有两空，则第一空2分，第二空3分．）
13．已知空间向量，，若，则________．
14．若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为____________．
15．写出与圆和都相切的一条直线方程____________．
16．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，为的外心，为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．第17小题满分10分，其他小题满分12分．）
17．（10分）挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，，，能通过文考关的概率分别是，，，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．
（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率．
18．（12分）在中，角所对的边为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，为边的中点，求的长度．
19．（12分）在轴截面为正方形的圆柱中，，分别为弧，弧的中点，
且在平面的两侧．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线．
（1）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值．
21．（12分）在直角梯形中，，，，如图①把沿翻折，使得平面平面（如图②）.
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程；
（3）过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
