2023-2024学年度人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元作业设计（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年度人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元作业设计（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-18 20:48:07 | ||
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文档简介
第二十二章作业设计
目录
一、单元信息 4
二、单元分析 4
三、教材分析 6
( 一) 知识网络 6
(二) 内容分析 7
四、单元学习目标 9
五、单元作业目标 01
六、单元作业整体设计思路 01
七、课时作业设计 21
八、课时作业 21
第 1 课时 22.1.1 二次函数 21
作业 1 基础性作业 (必做) 21
作业 2 发展性作业 (必做) 31
作业 3 探究性作业 (选做) 41
作业 4 自主帮扶性作业 (选做) 51
第 2 课时 22.1.2 二次函数y= ax2 的图形和性质 61
作业 1 基础性作业 (必做) 61
作业 2 发展性作业 (必做) 61
作业 3 探究性作业 (选做) 71
作业 4 自主帮扶性作业 (选做) 81
第 3 课时 22.1.3 二次函数y= ax2 + k 的图象和性质 02
作业 1 基础性作业 (必做) 02
作业 2 发展性作业 (必做) 02
作业 3 帮扶性作业 (选做) 12
第 4 课时 22.1.3 二次函数y= a(x - h)2 的图象和性质 32
作业 1 基础性作业 (必做) 32
作业 2 发展性作业 (必做) 42
作业 3 帮扶性作业 (选做) 52
第 5 课时 22.1.3 二次函数y= a(x - h)2 + k 的图象和性质 72
作业 1 基础性作业 (必做) 72
作业 2 发展性作业 (必做) 82
作业 3 帮扶性作业 (选做) 03
第 6 课时 22.1.4 二次函数y= ax2 + bx + c 的图象和性质 13
作业 1 基础性作业 (必做) 13
作业 2 发展性作业 (必做) 23
作业 3 帮扶性作业 (选做) 43
第 7 课时 22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式 53
作业 1 基础性作业 (必做) 53
作业 2 发展性作业 (必做) 63
作业 3 帮扶性作业 (选做) 83
第 8 课时 22.2 二次函数和一元二次方程之间的关系 04
作业 1 基础性作业 (必做) 04
作业 2 发展性作业 (必做) 14
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作业 3 探究性作业 (选做) 24
作业 4 帮扶性作业 (选做) 34
第 9 课时 22.2 用二次函数的图像解一元二次方程 (不等式) 54
作业 1 基础性作业 (必做) 54
作业 2 发展性作业 (必做) 64
作业 3 探究性作业 (选做) 74
作业 4 帮扶性作业 (选做) 94
第 10 课时 22.3 用二次函数求图形面积的最值问题 25
作业 1 基础性作业 (必做) 25
作业 2 发展性作业 (必做) 35
作业 3 探究性作业 (选做) 55
作业 4 帮扶性作业 (选做) 85
第 11 课时 22.3 用二次函数求实际应用中的最值问题 06
作业 1 基础性作业 (必做) 06
作业 2 发展性作业 (必做) 26
作业 3 帮扶性作业 (选做) 56
第 12 课时 22.3 用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题 86
作业 1 基础性作业 (必做) 86
作业 2 发展性作业 (必做) 07
作业 3 探究性作业 (选做) 17
第 13 课时 二次函数数学活动 37
作业 1 基础性作业 (必做) 37
作业 2 发展性作业 (必做) 47
九、单元质量检测作业 77
单元质量检测作业内容 77
单元质量检测作业答案和解析 08
单元质量检测作业属性表 28
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一、单元信息
基本 信息 学科 年级 学期 教材 版本 单元名称
数学 九年级 第一学期 人教 版 二次函数
单元 组织 方式 团 自然单元 □重组单元
课 时 信 息 序号 课时名称 对应教材内容
1 二次函数 第 22.1 (P28-29)
2 二次函数y= ax2 的图象和性质 第 22.1 (P29-32)
3 二次函数y= ax2 + k 的图像和性 质 第 22.1 (P32-33)
4 二次函数y = a(x - h)2 的图象和 性质 第 22.1 (P33-35)
5 二次函数y = a(x - h)2 + k 的图 象和性质 第 22.1 (P35-37)
6 二次函数y = ax2 + bx + c 的图象 和性质 第 22.1 (P37-39)
7 用待定系数法求二次函数的解 析式 第 22.1 (P39-40)
8 二次函数与一元二次方程之间 的关系 第 22.2 (P43-45)
9 用二次函数的图像解一元二次 方程 (不等式) 第 22.2 (P46)
10 用二次函数求图形面积的最值 问题 第 22.3 (P49)
11 用二次函数求实际应用中的最 值问题 第 22.3 (P50)
12 用二次函数求实际中“抛物线” 型的最值问题 第 22.3 (P51)
13 二次函数数学活动 P54
14 单元自测
二、单元分析
本章共分三节。首先介绍二次函数及其图象，并从图象得出二次函数的有关性质。 然后探讨二次函数与一元二次方程的联系。最后通过设置探究栏目展现二次函数的应 用。
在第一节中，首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义。关于二次
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函数的图象和性质的讨论分为以下几部分。
( 一) 从最简单的二次函数y= x2 出发，通过描点画出它的图象，从而引出抛物 线的有关概念。
(二) 讲述二次函数y= ax2 的图象的画法，并归纳出这类抛物线的特征。
(三) 探究形如y= ax2 + k 和y= a(x - h)2 的函数的图象，然后讨论形如 y = a(x - h)2 + k 的函数的图象。
(四) 讨论函数y = ax2 + bx + c 的图象。
上述讨论过程如下图所示：
在第二节中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。 然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍 用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。
在第三节中，通过最大利润、磁盘存储量、水位变化等三个探究问题，展示二次 函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识 解决实际问题的能力。关于这三个问题进一步说明如下。
在探究 1 中，某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种 情况。一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销量会随之增加。 这两种情况都会导致利润的变化。教科书首先分析涨价的情况。在本题中，设涨价x 元，则可以确定销量随x 变化的函数式。由此得到销售额、成本随x 变化的函数式。 进而得出利润随x 变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。有了 上述讨论，降价的情况就让学生自己去研究了。最后，让学生综合涨价与降价两种情 况，得出本题的答案。
在探究 2 中，磁盘的存储量与每磁道的存储单元数与磁道数有关。在本题中设磁 盘最内磁道的半径为r mm，则可以确定每磁道的存储单元数、磁道数随r 变化的函数 式。由此得到磁盘的存储量随r 变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自 己完成。
在探究 3 中，首先要建立适当的坐标系。在本题中，以抛物线的顶点为原点，以 抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系。这样便于求出这条抛物线表示的二次函数。 当水面下降 1m 时，就可以根据上面的函数表达式求出下降后的水面宽度。
这样，学生通过探究并解决上述三个问题，对用二次函数解决实际问题会有更深 的体会。
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三、教材分析
( 一) 知识网络
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(二) 内容分析
学生已经学习了一次函数与反比例函数，对于函数已经有所认识。从一次函数与 反比例函数的学习来看，学习一种函数大致包括以下内容： (1) 通过具体实例认识 这种函数； (2) 探索这种函数的图象和性质； (3) 利用这种函数解决实际问题； (4) 探索这种函数与方程、不等式的关系。本章“二次函数”的学习也是从以上几 个方面展开的。首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图象和性质，然后让学生 探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的 根的方法，最后让学生运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题。
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1 、本章知识结构框图
2 、本章教科书编写特点
(1) 注重探索结论
在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探 讨的。教科书通过设置观察、思考、讨论等栏目，引导学生探索相关的结论。
例如，让学生观察函数y= x2 , y = 2x2 的图象与函数y= x2 的图象的共同点与不 同点，探究函数y= -x2 , y = -x2 , y = -2x2 的图象的共同点与不同点，从而得出抛物
线y = ax2 的特征。
又如，让学生讨论抛物线y= x2 + 1, y = x2 - 1 与抛物线y= x2 的关系，探究二次函
数y = -(x + 1)2 , y = -(x - 1)2 的开口方向、对称轴和顶点，从而得出把抛物线y = ax2
向上 (下) 向左 (右) 平移，可以得抛物线y = a(x - h)2 + k 结论。
再如，让学生思考二次函数y= ax2 + bx + c 与函数y= a(x - h)2 + k 的关系，从而通 过配方法加以转化。
这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的有关知识，而且在知识的 学习过程中不断提高学习的能力。
(2) 注重知识之间的联系
学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 (组) 、二元一次方程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程 的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程 的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。
此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对 正方体表面积、多边形对角线数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如， 用关于y 轴对称的点的坐标的关系说明y 轴是抛物线y= x2 的对称轴。再如，用平移 描述函数y= ax2 与函数y= a(x - h)2 + k 的图象之间的关系。这样处理有利于学生认识 新内容，也使已学内容得到复习巩固。
(3) 注重联系实际
二次函数与实际生活联系紧密。本章引言选取正方体表面积、物体自由下落、喷 水等问题展示这种联系。在介绍二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题。 例如，在函数y= a(x - h)2 + k 的讨论之后，安排了一个修建喷水池时确定水管长度的 问题。又如，在函数y= ax2 + bx + c 的讨论之后，让学生探究用总长一定的篱笆围成 最大矩形场地的问题。这样做进一步加强了二次函数与实际生活的联系，使所学知识
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得到应用。
这样学生结合问题的实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的 体会。为了加强二次函数与实际生活的联系，本章在第三节进一步讨论用二次函数解 决实际问题。此外，本章中的选学栏目“实验与探究 推测植物的生长与温度的关系” 也是从实际问题出发，探讨二次函数的应用的。
3 、几个值得关注的问题
(1) 注意复习相关内容
二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。通过八年级下册“一次函数”的学
习，同学们已经初步了解了学习函数的过程。对于函数的概念，描点法画函数的图象 等在本章中仍然要用到，因此在二次函数的学习中，我们可以采用类比、归纳等方法 学习。要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数。
二次函数y= x2 的图象关于 y 轴对称，函数y= ax2 的图象与函数y= -ax2 的图象 关于 y 轴对称，函数y= ax2 + bx + c 的图象可以由函数y= ax2 的图象平移得到，这些 内容都涉及到已学的图形变换的内容。复习对称的坐标表示等内容，有助于学生学习 本章中的上述内容。
探究函数y= ax2 + bx + c ，关键是用配方法把它化为函数y= a(x - h)2 + k 。配方法 曾用来解一元二次方程，学生已经有所了解。在本章相关内容的学习中，学生通过运 用配方法，进一步熟悉这种方法。
总之，在本章的学习过程中，注意复习相关内容，是顺利完成本章学习的基础。
(2) 关于计算机的使用
用某些计算机画图软件 (如《几何画板》) ，可以方便地画出二次函数的图象， 进而从图象探索二次函数的性质。例如，用计算机软件画出函数y= ax2 + bx + c 的图 象，拖动图象上的一点 P, 让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现： 图象最低点或最高点的坐标，也就是说，当x 取这点的横坐标时，y 有最小值或最大 值；当x 小于这点的横坐标时，y 随x 的增大而减小 (增大) ，当x 大于这点的横坐 标时，y 随 x 的增大而增大 (减小) 。
利用计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数的图象解一元二次方程。要解 方程ax2 + bx + c = 0 ，只要用计算机软件画出相应抛物线y= ax2 + bx + c ，再让计算机 软件显示抛物线与 x 轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根。
上述内容安排在本章的选学栏目中，有条件的话，可以让学生加以尝试。
四、单元学习目标
1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3. 会用配方法将二次函数的解析式化为y= a (x - h)2 + k 的形式，并能由此得到
二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单 实际问题。
4. 掌握二次函数的几种解析式之间的联系，掌握二次函数图象的平移规律。
5. 理解一元二次方程跟的几何意义 (二次函数图象与x 轴的公共点的横坐标) ， 掌握二次函数与一元二次方程的关系。
6. 知道二次函数与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况， 会灵活应用一元二次方程根的判别式解决二次函数与x 轴的交点问题。
7. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
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8. 会分析实际问题中所包含的数量关系，并能用二次函数的解析式表示出来。
9. 会从实际问题中确定二次函数解析式及自变量的取值范围，由此确定实际问 题中的最值，进而解决相关的实际问题。
五、单元作业目标
1.经历描点法画函数图像的过程。
2.掌握观察、归纳、概括函数图像的特点。
3.经历二次函数图像平移的过程。
4. 了解y = a (x - x1)(x - x2 ) ，y = ax2 + bx + c ，y = a (x - h)2 + k 三类二次函数图像
之间的关系。
5.理解数学平移变换的特征并加以总结。
6.经历二次函数解析式恒等变形的过程。
7.会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。
8.理解运用配方法将y = ax2 + bx + c 变换成y = a (x - h)2 + k 的形式。
9. 了解二次函数与一元二次方程的相互关系。探索二次函数的变化规律，掌握函 数的最大值、最小值及函数的增减性的概念及方法。
10.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。经历数学建模的基本过程，发 展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
11.初步了解数形结合、用函数观点研究问题、数学建模的数学思想方法。
六、单元作业整体设计思路
1 、理论依据
义务教育段学校将中共中央办公厅、国务院办公厅和市教育局“双减”政策落到 实处的总要求是:落实立德树人的根本任务，充分发挥数学学科的育人功能，根据《义 务教育数学课程标准》(2021 修订版)的要求，依据核心素养理论、发展性理论，立 足初中数学课堂和学生实际，减少初中数学学科作业总量、提高初中数学作业设计质 量，让学生在校内学会学足学好。 基于学科特点，就要求教师优化作业设计与实施， 实行作业“三化”：作业当堂化、作业形式多元化、作业设计科学化。
同时，在检验学生是否完全掌握学习目标的同时，还能促进学生运用所学知识发 展思维的逻辑性和创新性，帮助他们建立学习的信心，培养他们学习的兴趣， 有助 于学生理解数学本质、掌握数学方法、体悟数学思想、赏析数学文化，促进学生核心 素养的全面发展，通过“双减”教育政策真正实现减负提质。为此要做到以下几点：
(1) 初中数学作业设计要注重基础
作业的首要功能是对学习内容的巩固， 义务制教育阶段的初中数学，首先要考虑以人 为本， 面向全体学生， 因此， 基础性是作业设计必须要遵循的要求。
(2) 初中数学作业设计要注重分层
学生学习上的差异是无法回避的事实，因此在作业设计中进行分层设计就显得很 有必要。初中数学作业分层设计是在面向全体学生的基础性作业外， 根据学生在课内理解 和掌握知识的情况，以及其学习能力的差异，有针对性地设计适合不同学生的作业练习，从 而让每一位学生都能根据自己的情况，达到自己和老师所期望的发展要求， 提升自己的数 学素养。
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(3) 初中数学作业设计要注重变式
变式是在初中数学作业设计中，对部分题目在保持题目本质要素不变的情况下， 对数学问题的内容和形式、条件和结论进行有目的有计划的合理转化。实践证明，变 式训练是提高学生作业效果的有效方法，富有探索性和启发性的变式训练，对于学生 掌握数学方法，探索数学问题的本质和规律，培养学生的数学思维有着积极的作用。
(4) 初中数学作业设计要注重形式的多样
分层作业不应仅仅局限于书面作业，其设计应当更加多样有趣，学生在学习过程 中往往拘泥于书本，不能很好的与生活实际相结合，可以包含一些自主探究型作业、 开放型作业、实践应用型作业等，以促进学生理解数学中较为抽象的概念和定理，学 会合理的运用到生活实际中。
2 、本单元作业设计体系
本单元作业可分成四类：基础性作业、发展性作业、探究性作业和帮扶性作业无 需每课时都体现。其中帮扶性作业是在学生完成课时作业错误率较高时使用。总体上 遵循循由浅入深、由易到难，从基础到变式到综合，再到实践、开放的原则。时间安 排上控制在 20 分钟左右，单元质量检测作业按照 40 分钟设计试题。
单元质量检测作业以安徽中考试题为蓝本，选用改编全国各省中考题为主。具体 设计体系如下：
3.批改评价要求
(1) 作业批改和讲评要及时、规范，要做到“新授与作业同步” 、“下一次作 业前完成上一次批改。 ”同时，要 及时关注学生解题思路，并适度引导，解题方法 的适当点拨，以及书写格式的规范指导，促使学生在掌握相应数学知识的同时，进一 步理解其所蕴含的数学思想方法，获得一定的数学学习经验。
(2) 无论考查作业还是家庭作业，必须做到有发必有收、有收必批、有批必评、 有评必改。注重及时批改与有效批注相结合，除纠正错误的批注外，还应从学生学习 态度、作业进步程度等多个方面采用引导、激励性评价。
(3) 批改可采用全收全批、重点评改、集体评改和面批等多种方式。 反馈的方 式采用集中讲评与个别辅导相结合，集中讲评主要针对共性的问题，通过展示作业法， 将学生作业中典型且有代表性的问题通过不同的方式展示出来，分析其存在的问题、 并讨论解决办法，使学生的知识得到进一步的巩固和加深；个别辅导则注重因人而异， 因材施教，充分发挥作业批改的教育功能。
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七、课时作业设计
根据实际教学，本章作业课时划分如下：
22. 1 二次函数的图象和性质 7 课时作业
22.2 二次函数与一元二次方程 2 课时作业
22.3 实际问题与二次函数 3 课时作业
二次函数数学活动 1 课时作业
单元自测 1 课时作业
八、课时作业
第 1 课时 22. 1. 1 二次函数
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1 ．下列函数关系式中，一定是二次函数的是 ( )
A ． y = 3x - 1 B ． y = ax2 + bx + c
C ．s = 2t 2 - 2t + 1 D ． y = x2 +
【选题意图】本题从二次函数定义出发，属简单了解层次，形如y= ax2 + bx + c ( a ， b ，c 是常数， a 0 ) 的函数叫做二次函数．备选答案中四个选项根据定义可以直 接判断，起点低，易上手．
【解】A ．未知数的最高次数不是 2 ，故本选项不符合题意；B ．当a = 0 时不是二次
函数，故本选项不合题意；C ．满足二次函数的定义，故本选项合题意；D ． 不是
整式，故本选项不合题意．故选 C．
2 ．已知函数y= (a + 2)x 2 + x - 3 是关于x 的二次函数，则实数a 的取值范围是 ( )
A ． a > -2 B ． a < -2 C ． a > 2 D ． a -2
【选题意图】本题从二次函数定义出发，属简单了解层次，二次函数的二次项系数不 为 0 ．备选答案中四个选项根据定义可以直接判断，起点低，易上手．
【解】 y = (a + 2)x 2 + x - 3 是二次函数，\ a + 2 0 ，解得a -2 ．故选 C．
3 ．下列函数关系中，不是二次函数的是 ( )
A ．边长为x 的正方形的面积y 与边长x 的函数关系．
B．一个直角三角形两条直角边张的和是 6，则这个直角三角形的面积y 与一条直 角边长x 的函数关系．
C ．在边长为 5 的正方形内挖去一个边长为t 的小正方形，剩余面积S 与t 的函数 关系．
D ．多边形的内角和与边数n 的函数关系．
【选题意图】本题考察简单实际问题中的二次函数，属简单理解层次，先根据实际问 题求出变量之间的函数关系式，再根据二次函数定义判断是否为二次函数．备选答案 中四个选项根据实际问题易得函数关系式，有一定难度．
【解】A．根据实际问题可得变量之间函数关系为y= x2 ，故本选项符不合题意；B．根
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据实际问题可得变量之间函数关系为y= x (6 - x) ，故本选项不合题意；C ．根据实
际问题可得变量之间函数关系为S= 25- t2 ，故本选项不合题意；D．根据实际问题可 得变量之间函数关系为m = 180° (n - 2) ，故本选项合题意．
故选 C.
4 ．把y = (2 - 3x)(6 + x) 化了一般形式_______________ ，二次项系数为________ ，一 次项系数为__________ ，常数项为_________．
【选题意图】本题考察二次函数的一般形式以及二次项系数，一次项系数，常数项的 概念，属简单了解层次，先根据多项式乘法法则把二次函数转变成一般形式，再根据 定义即可得出答案.起点低，易上手．
【解】 y = (2 - 3x)(6 + x) ，\ y = -3x2 - 16x+ 12 ．
故答案为y = -3x2 - 16x+ 12 ，-3 ，- 16 ，12 ．
作业 2 发展性作业
5 ．函数y = (m + n)x 2 + mx + n 是二次函数的条件是 ( )
A. m ，n 是常数，且m 0 B. m ，n 是常数，且n 0
C. m ，n 是常数，且m n D. m ，n 为任何实数
【选题意图】本题涉及的二次函数中含有字母系数m ，n ，属于理解层次，学生容易 把字母系数m ，n 与变量x 弄混淆，实质只要抓住二次函数中二次项系数不为 0 即 可．起点中等，学生理解后可做出．
【解】 函数y = (m + n)x 2 +mx + n 是二次函数，\ m ，n 是常数，且m + n 0 ， 解得m ，n 是常数，且m n 故本题选 B．
.
6 ．一台机器原价为 60 万元，如果每年价格的折旧率为x ，两年后这台机器的价格为 y 万元，则y 关于x 的函数关系为_____________________．
【选题意图】本题涉及的实际问题比较难，属于应用的应用层次，放在学生不熟悉的 商品折旧问题中，需要学生具有较强的处理实际问题的应用能力．很显然原价为 60
万元的商品，一年后的价格为60 (1- x) ，二两后的价格是
60 (1- x)(1- x) = 60 (1- x)2 ．
【解】 y = 60 (1- x) (1- x) = 60(1- x) 2 ，\ y = 60(1- x)2 ．
7．如下图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方 形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．
(1) 求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
(2) 若墙的最大可用长度为 9 米，求此时自变量x 的取值范围．
第 7 题图
【选题意图】本题涉及的实际问题是几何图形问题比较难，属于应用层次，本题需要 学生具有较强的处理实际问题的应用能力．根据长方形的面积公式我们很容易得出 S = BC× AB = (24- 3x)x = -3x2 + 24x ．
【解】 (1) S = BC× AB = (24- 3x)x = -3x 2 + 24x ，
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由题意得 解得0< x < 8 ；
(2) 24- 3x 9 ，\ x 5.结合①得5 x 8 ．
作业 3 探究性作业 (选做)
8 ．在一块矩形镜面玻璃的四周镶嵌上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子 的长与宽的比是 2:1． 已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，边框价格是每米
20 元.另外制作这面镜子还需要加工费 45 元，设制作这面镜子的总费用为y 元， 镜子的宽度是x 米．
(1) 求y 与x 之间的函数关系式；
(2) 当镜子的长为 1 米时，制作这面镜子需要多少钱？
【选题意图】本题设计的实际问题是几何问题，没有给出图形，需要学生根据题意自 行绘制图形，属于应用层次，需要较强的处理实际问题的能力.
【解】 (1) 镜子的长与宽的比是2 :1 ，镜子的宽度是x 米，\镜子的长是2x米． 边框费用是20 2(x + 2x) = 120x 元，镜面的费用是120 x 2x = 240x2 元．
总费用y = 240x2 + 120x+ 45 ；
(2) 当2x = 1时，x = ，把x = 代入y = 240x2 + 120x+ 45 中，
2
得y = 240 + 120 + 45= 165 元．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
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作业 4 帮扶性作业 (选做)
1 ．下列函数中是二次函数有几个 ( )
① y = ax2 + bx + c ， ② s = 3 – 2t 2 ，③ y = x2 ，④ y = ，⑤ y = x2 + x3 + 25 ，
⑥y = (x + 3)2 – x2 ．
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【选题意图】判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判 断. 除此之外，二次函数除有一般形式y= ax2 + bx + c (a 土 0) 外，还有其特殊形式如 y = ax2 ，y = ax2 + bx ，y = ax2 + c 等．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题.
【解】①缺少a 土 0 ，不对，②③符合二次函数定义，④等式右边是分式，不对，⑤
自变量最高次是 3 次，不对，⑥化简后自变量最高次是 1 次，不对． 故本题正确答案选 A．
2 ．n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，求比赛的场次数 m 与球队数 n 的关系式，并化为一般形式．
【选题意图】每个球队 n 要与其他(n – 1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 n(n – 1) ． 课时作业第 3-4 题
全部做错的同学请完成该题．
【解】 m = n(n – 1) = n 2 – n ．
3 ．若函数y = (m2 – 9)x2 + (m – 2)x + 4 是二次函数，那么m 的取值范围是什么？
【选题意图】本题考查含参函数的判别，考查二次函数的定义.课时作业第5 题做错 的同学请完成该题.
【解】有二次函数的定义可知m2 – 9 土 0 ，解得m 3 ．
4 ．矩形的周长为 16cm ，它的一边长为x (cm),面积为y ( cm2 ) ．求
(1) y 与x 之间的函数解析式及自变量x 的取值范围；
(2) 当x = 3 时矩形的面积．
【选题意图】本题考查二次函数的简单应用．课时作业第 6-7 题全部做错的同学请完 成该题.
【解】 (1) 根据矩形的周长与边长的关系可以得到邻边和为 8 ，一边长为x ，另一边
长为(8 – x) ，
：y = x(8 – x)
解得0 < x < 8
y 与x 之间的函数解析式是y= x(8 – x) ， 自变量x 的取值范围是0< x < 8 ；
(2) 把x = 3 代入y = x(8 – x) 中可得，y = 3．(8 – 3) = 15
：当x = 3 时矩形的面积为 15．
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第 2 课时 22. 1.2 二次函数y= ax2 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1 ．二次函数y = -x2 的图象是 ( )
A ．线段 B ．直线 C ．抛物线 D ．双曲线
【选题意图】本题从二次函数y= ax2 (a 0) 图形出发，属简单了解层次，二次函数 的图象是抛物线．备选答案中四个选项根据定义可以直接判断，起点低，易上手．
【解】 y = -x2 是二次函数，\ y = -x2 的图象是抛物线．
故本题选 C．
2 ．下列关于函数y= x2 的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴 是y 轴；④顶点(0, 0) ，期中正确的有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【选题意图】本题是从二次函数图象与性质的出发，属于简单了解层次，通过解析式 判断出二次函数y= ax2 (a 0) 的图象、开口方向、对称轴、顶点坐标．
【解】 y = x2 ，\此函数是二次函数，图象为一条抛物线，故①正确． a = > 0 ，
\抛物线的开口向上，故②不正确.根据y= ax2 (a 0) 的性质可知，③和④都正确.故
本题选 C．
3 ．抛物线y = ax2 (a < 0) 的图象一定经过 ( )
A ．第一、二象限 B ．第三、四象限
C ．第一、三象限 D ．第二、四象限
【选题意图】本题考察二次函数y= ax2 (a < 0) 的图象所经过的象限，属于理解层次．通 过a 值得范围就可以判断出正确答案．
【解】 a < 0 ，\抛物线经过第三、四象限，故本题选 B．
4．观察二次函数y = x2 的图象，当x < 0 时，随着x 值得增大，y 的值________；当x > 0 时，随着x 值得增大，y 的值___________．
【选题意图】本题考察二次函数y= x2 的增减性，属于理解层次.二次函数的增减性是 以对称轴为分界线的. ．当a > 0, x > 0 时，y 随着x 的增大而增大；当a > 0, x < 0 时，y 随着x 的增大而减小．
【解】 a = 1 > 0 ，\当x < 0 时，随着x 值得增大，y 的值减小；当x > 0 时，随着x 值 得增大，y 的值增大．故本题依次填减小，增大．
作业 2 发展性作业
5 ．二次函数y = 2x2 的图象上有三个点 (1 ，y1 ) ， (3 ，y2 ) ， ( -4 ，y3 ) ，则y1 ， y2 ，y 3 的大小关系是______________．
【选题意图】本题考察二次函数的增减性，属于掌握层次。因为本题所给的三个点不 对称轴的同一侧，所以直接应用函数的增减性并不能直接得出答案．这也是学生易错 的地方.本题解法不唯一，可以通过函数解析式直接求出y1 = 2 ，y2 = 18 ，y3 = 32 来比 较它们的大小，也可以通过函数开口方向和点离对称轴的距离长短得出y1 ，y2 ，y 3 的 大小．
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【解】解法一：把x = 1，3，-4 分别代入二次函数y = 2x2 中，得y1 = 2 ，y2 = 18 ，y3 = 32 ， 2 < 18 < 32 ，\ y1 < y2 < y3 ；
解法二： a = 2 > 0 ，\二次函数y = 2x2 的开口向上， (1 ，y1 ) ， (3 ，y2 ) ， ( -4 ，
y3 ) 离对称轴y 轴的距离分别是 1 ，3 ，4. 1 < 3 < 4 ，\ y1 < y2 < y3
故本题答案为y1 < y2 < y3 ．
6 ．已知抛物线y = ax2 经过 (1 ，3) ．
(1) 求a 的值；
(2) 当x = 3 时，求y 的值；
(3) 说出此二次函数的三条性质．
【选题意图】本题考察用待定系数法求二次函数的解析式，给定函数值求自变量值以 及二次函数y= ax2 (a 0) 的性质.本题属于掌握层次，对于第三题函数性质的表达有 一定的难度，性质表达要标准．
【解】 (1) 抛物线y = ax2 (a 0) 经过点 (1 ，3) ，\ a 12 = 3 ，\ a = 3 ；
(2) 把x = 3 代入y = 3x2 ，得y = 3 32 = 27 ；
(3) 抛物线的开口向上；当x > 0 时y 随着x 的增大而增大；抛物线有最低点，当x = 0 时，y 有最小值 0 等．
7 ．已知y = axa2 +1 是二次函数，且当x > 0 时，y 随x 的增大而减小，求a 的值．
【选题意图】本题考察的二次函数定义及性质，虽然考察的知识点很简单但是本题函 数解析式的形式比较复杂，需要学生对二次函数定义有一定的理解，本题属于理解层 次．
【解】 y = axa2 +1 是二次函数，且当x > 0 时，y 随x 的增大而减小，
\ 解得： a = -1 .故a 的值为-1 ．
作业 3 探究性作业 (选做)
8 ．已知直线y= -2x+ 3 与抛物线y= x2 相交与A ，B 两点 (点A 在点B 的左边) ，O 为坐标原点．
第 8 题图
(1) 求点A 和点B 的坐标；
(2) 连接OA ， OB ,求△OAB 的面积．
【选题意图】 (1) 考察的是一次函数与二次函数交点坐标问题，需要联立两个函数 得到方程组，通过方程组的解得到交点坐标，属于掌握层次； (2) 考察的是在平面 直角坐标系中三角形的面积，可采用割补法求得，属于应用层次．
【解】 (1) 直线y = -2x+ 3 与抛物线y = x2 相交与A ，B 两点，
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\ 解得：
又点A 在点B 的左边
\ A ( - 3 ，9) ，B (1 ，1) ；
(2)如右图，直线y = -2x+ 3 与y 轴交点为 C，点 C(0，3)，OC = 3 ，S OAB = S OAC + S OBC = xA OC + xB OC = 3 3 1 3 =6．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 4 帮扶性作业 (选做)
1 ．函数y = 2x2 的图象是_________ ，开口方向__________ ，对称轴__________ ，顶 点是__________；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_________，在对称轴的右侧， y 随x 的增大而_________．
【选题意图】本题考查二次函数的图象和基本性质.课时作业第 1-2 题全部做错的同学 请完成该题.
【解】函数y= 2x2 是二次函数，图象是一条抛物线，a = 2 > 0 ，开口向上.对称轴为y 轴，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧， y 随x 的增大而增大． 故本题正确答案依次为，抛物线，向上，y 轴，减小，增大．
2．已知二次函数y = -3x2 若点(－2，y1 )与(3，y2 )在此二次函数的图象上，则 y1 _____ y2 ；(填“> ”“＝”或“< ”) ，抛物线经过_________象限．
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【选题意图】本题考查二次函数增减性及经过的象限．课时作业第 3-4 题全部做错的 同学请完成该题．
【解】二次函数y= -3x2 的对称轴是y 轴，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，(－ 2 ，y1 )关于y 轴的对称点是(2 ，y1 )．
3 > 2 ，\ y1 > y2 ．
a = -3 < 0 ，\抛物线经过三四象限．
故本题正确答案依次为< ，三四．
3 ．已知二次函数y = x2 ．
(1) 判断点 A (2 ，4) 在二次函数图象上吗？
(2) 请分别写出点 A 关于x 轴的对称点 B 的坐标，关于y 轴的对称点 C 的坐标， 关于原点 O 的对称点 D 的坐标；
(3)点 B、C、D 在二次函数y= x2 的图象上吗？在二次函数y= -x2 的图象上吗？
【选题意图】本题考查二次函数的对称性以及点是否在函数图象上判断方法．课时作 业第 5-6 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 (1) 当x = 2 时，y = x2 = 4 ，所以 A (2 ，4) 在二次函数图象上；
(2) 点 A 关于x 轴的对称点 B 的坐标为 (2 ，-4) ，点 A 关于y 轴的对称点 C 的坐 标为 (-2 ，4) ，点 A 关于原点 O 的对称点 D 的坐标为 (-2 ，-4) ；
(3) 当x = -2 时，y = x2 = 4 ，所以 C 点在二次函数y = x2 的图象上； 当x = 2 时，y = -x2 = -4 ，所以 B 点在二次函数y = -x2 的图象上； 当x = -2 时，y = -x2 = -4 ，所以 D 点在二次函数y = -x2 的图象上．
4 ．已知：如下图，直线y= 3x+ 4 与抛物线y= x2 交于 A 、B 两点，求出 A 、B 两点的 坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
第 4 题图
【选题意图】本题考查二次函数与一次函数的综合应用.课时作业第7 题做错的同学
请完成该题．
【解】 由题意得 解得或
所以此两函数的交点坐标为 A(4 ，16)和 B(－1 ，1)．
∵直线y = 3x+ 4 与y 轴相交于点 C(0 ，4) ，即 CO＝4.
∴S△ACO＝ OC 4 = 8 ，S△BOC＝ 4 1 = 2 ，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10．
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第 3 课时 22. 1.3 二次函数y= ax2 + k 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1． 抛物线y = 2x2 - 3 的顶点在( )
A ．第一象限 B ．第二象限
C ． x 轴上 D ． y 轴上
【选题意图】本题考察学生对二次函数性质的认识，根据函数解析式得到顶点坐标.
【解】 二次函数顶点坐标为 (0 ，-3) ，\顶点在y 轴上．
故本题正确答案选 D．
2．对于二次函数y= 3x2 + 2 ，下列说法错误的是( )
A ．最小值为 2 B ．图象与x 轴没有公共
C ．当x < 0 时，y 随x 的增大而增大D．图象的对称轴是y 轴
【选题意图】本题考察学生对二次函数性质的认识，根据函数解析式得到最值、增减 性和对称性.
【解】根据二次函数解析式可知顶点坐标为 (0 ，2) ，
开口向上，\函数最小值为 2，
\A 、B 选项正确. 函数对称轴为y 轴，当x < 0 时，y 随着x 的增大而减小， 故 C 选项错误.D 选项正确.
故本题正确答案选 C．
3. 抛物线y = 2x2 + 1是由抛物线y = 2x2 ( )得到的．
A ．向上平移 2 个单位长度 B ．向下平移 2 个单位长度
C ．向上平移 1 个单位长度 D ．向下平移 1 个单位长度
【选题意图】图象的平移是学习二次函数的重点,通过本题让学生掌握二次函数图象 的平移方法.
【解】 y = 2x2 + 1 是由y= 2x2 平移得到，根据对函数解析式的观察可得到向上平移 1 个单位长度.也可根据平移口诀“上加下减”得到平移方向和距离.
故本题正确答案选 C．
作业 2 发展性作业
4．已知二次函数y = 3x2 + k 的图象上有 A( 1，y1 )，B(2，y2 )，C( -3 ，y3 )三点， 则y1 ，y2 ，y3 的大小关系是______________．
【选题意图】本题是利用函数图象比较大小，这一方面学生需要对图象有比较深的理 解，对一些学困生来说有难度，可以提高学生对图象的深入理解.
【解】 y = 3x2 + k 的对称轴为y 轴，开口向上，\抛物线上的点离对称轴越远函数 值越大.
点 A 离对称轴 1 个单位长度，点 B 离对称轴 2 个单位长度，点 C 离对称轴 3 个单 位长度，\ y3 > y2 > y1 ．
故本题正确答案为y3 > y2 > y1 .
5．写出一个顶点坐标为(0，-3)，开口方向与抛物线y= x2 的方向相反，形状相同的 抛物线解析式.
【选题意图】本题注重学生对图象和性质的完全掌握，要做到“脑中有图，心中有性 质”.
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【解】所求抛物线的开口大小与y= x2 相同，开口方向与y= x2 相反，\所求抛物线
的a = -1 ，又抛物线经过顶点 (0 ，-3) ，\抛物线的解析式为y = -x2 - 3 故本题正确答案为y= -x2 - 3 ．
6．(1)抛物线y = -2x2 + 3 的顶点坐标是__________ ,对称轴__________，在______ 侧， y 随着x 的增大而增大；在________侧，y 随着x 的增大而减小，当 x =_______ 时，函数y 的值最大，最大值是_______,它是由抛物线y= -2x2 向____平移_____ 个单位长度得到．
(2) 抛物线y= x2 - 5 的顶点坐标是_________，对称轴是________,在对称轴的左 侧，y 随着x 的_____________；在对称轴的右侧，y 随着x 的________，当x =____ 时，函数y 的值最小，最小值是______________．
【选题意图】本题需要填的空很多，需要学生完全掌握二次函数的图像和性质.
【解】 (1) 根据函数的性质再结合函数的草图易知答案依次为顶点坐标为 (0 ，3) ， 对称轴是y 轴，y 轴左，y 轴右，0，3，上，3.
(2) 根据函数的性质再结合函数的草图易知答案依次为顶点坐标为 (0 ，-5) ，对称 轴是y 轴，增大而减小，增大而增大，0，-5.
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 3 帮扶性作业 (选做)
1 ．抛物线y = x2 - 3 的对称轴是_______ ；顶点坐标是_______ ；当_______时，y 随x 的增大而减小．
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【选题意图】本题考察学生对二次函数y= ax2 + k (a 0) 性质中对称轴、顶点坐标及 增减性，属于理解部分．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题．
【解】根据二次函数y= ax2 + k 的性质可知对称轴是y 轴；顶点坐标是 ( 0 ，-3 ) ； a = 1 > 0 ，\当x < 0 时，y 随x 的增大而减小．
故本题正确答案： y 轴， ( 0 ，-3 ) ，x < 0 ．
2 ．函数y = -x2 + 1 ，当x _______时，函数y 有最大值，最大值y 是_______ ；其图象 与与x 轴的交点坐标是_______．函数y = -x2 + 1 经过_______得到抛物线y = -x2 ．
【选题意图】本题考察二次函数y= ax2 + k (a 0) 性质中的最值，函数与坐标轴交点 以及二次函数的平移，属于理解部分．课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题.
【解】 a = -1 < 0 ，\二次函数y = -x2 + 1 有最大值，当x = 0 时，最大值y 是 1 ；函 数图象与x 轴相交时y = 0 ，把y = 0 代入函数y = -x2 + 1 中得，-x2 + 1 = 0 ，解得： x1 = -1, x2 = 1 ，\ 图象与与x 轴的交点坐标是 ( - 1 ，0) 与 (1 ，0) ；根据二次函数图
象平移的规律可知，函数y= -x2 + 1 经过向上平移 1 个单位得到抛物线y= -x2 ． 故本题正确答案： x = 0 ，1 ， ( - 1 ，0) 与 (1 ，0) ，向上平移 1 个单位．
3．已知二次函数y = ax2 + c ，当x 取x1 ，x2 ( x1 x2 ) 时，函数值相等，则当x = x1 + x2
时，其函数值为________．
【选题意图】本题虽然还是考察学的对二次函数y= ax2 + k 性质的认识，但是由于二 次项系数a 和常数项c 没有给出具体数字，所以学生在解题时会出现无从下手的状况， 学生要解决本题需掌握二次函数y= ax2 + k 的图象是关于 y 轴对称的，因此左右两部 分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．课时作业第 5-6 题全 部做错的同学请完成该题．
【解】 由二次函数y = ax2 + k 图象的性质可知，x1 ，x2 关于y 轴对称，即x1 + x2 = 0 ．
把x = 0 代入二次函数y = ax2 + c 表达式中得，y = a 02 + c = c ．
故本题正确答案： c ．
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第 4 课时 22. 1.3 二次函数y = a(x - h)2 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1．抛物线y = -5(x - 2)2 的顶点坐标是( )
A ． (－2，0) B ． (2，0)
C ． (0，－2) D ． (0，2)
【选题意图】本题考查学生对y= a(x - h)2 的性质中顶点坐标的认识．
【解】 二次函数解析式为y = -5(x - 2)2 ，\抛物线的顶点坐标为 (2,0)
故本题正确答案选B．
2．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x = -2 的是( )
A ． y = (x + 2)2 B ． y = 2x2 - 2
C ． y = -2x2 - 2 D ． y = 2(x - 2)2
【选题意图】本题考查学生对y= a(x - h)2 的性质中对称轴的认识．
【解】根据y= a(x - h)2 的性质可知，A选项的对称轴为直线x = -2 ，A选项正确； 根据y= ax2 + k 的性质可知，B选项的对称轴为y 轴，B选项不正确；根据y= ax2 + k
的性质可知C选项的对称轴是y 轴，C选项不正确；根据y= a(x - h)2 性质可知，D
选项的对称轴是直线x = 2 ，D选项不正确．
故本题正确答案选A．
3 ．把抛物线y= x2 平移得到抛物线y= (x + 2)2 ，则这个平移过程正确的是( )
A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度
C ．向上平移2个单位长度 D ．向下平移2个单位长度
【选题意图】本题是让学生能够掌握二次函数图象的平移方法，图象的平移也是 学习二次函数的重点.
【解】把抛物线y= x2 的顶点坐标为 ( 0 ， 0 ) ，抛物线y= (x + 2)2 的顶点坐标为 ( -2 ， 0 ) ，则由抛物线y= x2 的图像向左平移2个单位长度即可得到抛物线
y = (x + 2)2 .
故本题正确答案选A．
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作业 2 发展性作业
4．二次函数y = -3(x - 5)2 的图象可由抛物线y = -3x2 沿___轴向___平移___个单位 得到，它的开口向___,顶点坐标是_______,对称轴是_________.当x =___时， y 有最____值.当x ___5 时，y 随x 的增大而增大；当x ___5 时，y 随x 的增大
而减小．
【选题意图】本题综合考查了y= a(x - h)2 的顶点、开口方向、对称轴、增减性和 平移，需要学生掌握对二次函数的性质．
【解】 y = -3x2 的顶点坐标是 ( 0 ，0 ) ，抛物线y = -3(x - 5)2 的顶点坐标为 (5,0)， \抛物线y= -3(x - 5)2 的图像可由y= -3x2 的图像向右平移 5 个单位长度得
到. a = -3 < 0 ，\抛物线的开口方向向下；对称轴为直线x = 5 ；当x = 5 时，y 有最 大值为 0；当x < 5 时，y 随x 的增大而增大；当x > 5 时，y 随x 的增大而减小.
故本题正确答案依次为： x ，右，5，下， (5，0) ，直线x = 5 ，5，大，< ，> .
5．已知函数y = -(x - 1)2 图象上两点A(2, y1 ) ，B(a, y2 ) ，其中a > 2 ，则y1 与y2 的
大小关系是y1 ___y2 ． (填“ < ”“ > ”或“ = ”)
【选题意图】本题考查函数的增减性， B 点坐标a 的值不知道，\学生通过直接 求出函数值比较大小是行不通的，需要学生掌握函数的增减性才能做出来.
【解】抛物线y = -(x - 1)2 的对称轴为直线x = 1 ， a = -1 < 0 ，\当x > 1 时，y 随x
的增大而减小，又 a > 2 > 1 ，\ y2 < y1 ．
故本题正确答案为： >
6．抛物线y = a(x + h)2 的对称轴是直线x = -2 ,且过点(1,-18).
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求抛物线的顶点坐标；
(3) 当x 为何值时,y 随x 的增大而增大
【选题意图】本题是对二次函数性质的综合考查，属于二次函数性质的综合应用 层次.
【解】 (1) 抛物线的对称轴是直线x = -2 ，\ h = 2 ，
又抛物线经过点 (1 ，- 18)
可得a(1+ 2)2 = -18 ，解得a = -2 ，\抛物线的解析式为y = -2(x + 2)2 ；
(2) 由抛物线的解析式y = -2(x + 2)2 可知顶点坐标为 (-2,0) .
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(3) 抛物线的对称轴是直线x = -2 ， a = -2 < 0 ，
\当x < -2 时，y 随x 的增大而增大.
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 3 帮扶性作业 (选做)
1．二次函数y = 2(x - )2 图象的对称轴是_________；顶点是_________.
【选题意图】本题考察学生对y= a(x - h)2 性质中对称轴和顶点坐标的认识，属于
理解层次.课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题.
【解】根据二次函数y= 2(x - )2 的性质可知，对称轴为x = ，顶点坐标为 ( ，
0) ．
2．抛物线y= ax2 向右平移 3 个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．
【选题意图】本题考察学生对二次函数平移和点在函数图象上的认识，属于理解 层次．课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
【解】二次函数y= ax2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为
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y = a(x - 3)2 ，把x = -1 ，y = 4 代入，得4 = a(-1- 3)2 ，解得： a = ∴平移后二次函数关系式为y= (x - 3)2 ．
3．若 (- ，y1 ) ， (- ，y2 ) ， ( ，y3 ) 为二次函数y = (x - 2)2 图象上的三点， 则y1 ，y2 ，y3 的大小关系为_________.
【选题意图】本题考察二次函数y= a(x - h)2 的增减性，由于给出的三个点不在对
称轴的同一侧，所以直接应用函数的增减性无法解决，学生可以根据函数的对称 性把点转化到对称轴的同一侧或者利用这些点离对称轴的距离同时结合函数开口 方向来解决，属于应用层次.课时作业第 5-6 题全部做错的同学请完成该题.
【解】 二次函数y = (x - 2)2 的对称轴为x = 2 ，
\ ( ，y3 ) 关于对称轴的对称点为 ( ，y3 ) ，
当x < 2 时，y 随x 的增大而减小，
又 - < -< ，
\ y1 > y2 > y3 .
故本题答案为：y1 > y2 > y3 .
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第 5 课时 22. 1.3 二次函数y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1．对于抛物线y = -(x - 2)2 + 6 ，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x = 2 ；③顶点坐标为(2，6) ；④当x > 2 时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有 ( )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【选题意图】本题考查学生对y= a(x - h)2 + k 性质的了解和掌握，属于掌握层次.
【解】 a = -< 0 ，\抛物线的开口向下，①正确；抛物线的对称轴为直线x = 2 ， ②正确；抛物线的顶点坐标为 (2，6) ，③正确； a = -< 0 ，\抛物线的开口 向下，又抛物线的对称轴为直线x = 2 ，\当x > 2 时，y 随x 的增大而减小，④
正确.
故本题正确答案选 D.
2．将抛物线y= x2 向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为
( )
A. y = (x + 2)2 + 3 B.y = (x - 2)2 + 3
C. y = (x + 2)2 - 3 D.y = (x - 2)2 - 3
【选题意图】平移是二次函数的重要性质，本题考查了学生对二次函数平移的规 则的掌握，属于理解层析．
【解】 抛物线y= x2 的顶点坐标为 (0,0) ，把点 (0,0) 向右平移 2 个单位，再 向上平移 3 个单位后得顶点坐标 (2,3) ，又平移前后不改变a 的值，\平移后 抛物线的解析式为y = (x - 2)2 + 3 ．
故本题正确答案选 B.
3．设 A(－2，y1 )，B(1，y2 )，C(2，y3 )是抛物线y = -(x + 1)2 + a 上的三点，则y1 ，
y2 ，y3 的大小关系为( )
A ． y1 > y2 > y3 B ． y1 > y3 > y2
C ． y3 > y2 > y1 D ． y3 > y1 > y2
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【选题意图】本题考查了二次函数的增减性，且所给三点不在对称轴的同一侧， 需要学生利用对称性专成同一侧来解决，本次属于应用层次．
【解】 a = -1 < 0 ，\抛物线的开口向下,又抛物线的对称轴是直线x = -1 ，\抛 物线上的点离直线x = -1 越近函数值越大.点 A(－2，y1 )，B(1，y2 )，C(2，y3 )离
直线x = -1 的距离分别为 1 个单位长度，2 个单位长度，3 个单位长度，\ y1 > y2 > y3 故本题正确答案选 A．
作业 2 发展性作业
4．已知二次函数y= a(x - 1)2 - c 的图象如图所示，则一次函数y= ax + c 的大致图 象可能是( )
第 4 题图
【选题意图】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，是一种常考题型，解 决本题的关键需要学习掌握二次函数与一次函数的性质，本题属于应用层次．
【解】根据二次函数开口向上，则a > 0 ，根据-c 是二次函数顶点坐标的纵坐标， 得出 c＞0 ，故一次函数y= ax + c 的大致图象经过第一、二、三象限．
故本题正确答案选 A．
5．如果一条抛物线的形状与y= -2(x + 2)2 + 3 开口大小及开口方向都相同，且顶点
坐标是 (4，-2) ，试求这个函数关系式.
【选题意图】本题考查学生对二次函数性质的掌握，二次函数中开口大小和开后 方向都是由a 决定，由顶点坐标需要学生能写出抛物线的解析式，本题属于掌握层 次．
【解】两条抛物线的开口大小及开口方向都相同，\ a = -2 . 抛物线的顶点坐标 为 (4 ，-2) ，设抛物线的解析式为y = a(x - h)2 + k(a 0) ，\ h = 4, k = -2 ，\抛
物线的解析式为y = -2(x - 4)2 - 2 ．
6 ．要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷 水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高, 高度为 3m,水柱落地处离池中心 3m,水管应多长
【选题意图】本题是有关二次函数的实际应用，通过本题让学生知道数学来源自 生活，同时也能解决生活中的问题.喷水池中水流的形状是典型的抛物线，是常见
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考题.本题属于应用层次．
第 6 题图
【解】如上图建立直角坐标系,点 B( 1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛 物线对应的函数是y = a(x - 1)2 + 3(0 x 3) .
∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴0=a (3－1)2＋3.解得:a = -
因此抛物线的解析式为:y = -(x - 1)2 + 3(0 x 3)
当x = 0 时,y = 2.25 .
答:水管长应为2.25m．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
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作业 3 帮扶性作业 (选做)
1．已知一个二次函数图象的顶点为 A(-1,3),且它是由二次函数y= 5x2 平移得到， 请直接写出该二次函数的解析式.
【选题意图】本题考察学生对二次函数y= a(x - h)2 + k 中顶点坐标及平移的认识， 属于理解层次．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 二次函数图象的顶点为 A(-1,3)\设该二次函数的解析式为y= a(x + 1)2 + 3 ，
又该二次函数的图象是由二次函数y= 5x2 平移得到，\ a = 5
\该二次函数的解析式为y = 5(x + 1)2 + 3 ．
2．已知二次函数y = a(x - 1)2 - 4 的图象经过点(3，0)．
(1)求a 的值；
(2)若 A(m ，y1 )、B(m ＋n ，y2 ) (n＞0)是该函数图象上的两点，当y1 = y2 时，
求 m 、n 之间的数量关系．
【选题意图】本题考察点在二次函数图象上求函数解析式的系数及根据函数的对 称性，在考察函数对称性时点 A ，B 的坐标使用了字母来表示增加了难度.属于应 用层次．课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 (1) 二次函数y = a(x - 1)2 - 4 的图象经过点(3，0),
\把x = 3 ，y = 0 代入函数y = a(x - 1)2 - 4 中，得a(3 - 1)2 - 4 = 0 ，解得a = 1 \ a 的值为 1；
(2) 二次函数是轴对称图形，又 y1 = y2 ，
\① m = m + n ，解得n = 0 (不符合题意，舍去) ，② m + m + n = 0 ，解得2m+ n = 0 (符合题意) ，\m 、n 之间的数量关系为:2m+ n = 0 .
3．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为 1m 的喷水管喷出的抛物 线水柱最大高度为 3m ，此时距喷水管的水平距离为 m ，求在如图所示的平 面直角坐标系中抛物线水柱的函数解析式 (不要求写出自变量的取值范围) ．
第 3 题图
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【选题意图】本题考察二次函数的实际应用，属于应用层次.学生需要在已经建立 的坐标系中把数量关系转化为点的坐标，再设出合适的解析式从而求解．课时作 业第 5-6 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 由题意知点 ( ，3) 是抛物线的顶点，
\可设抛物线的函数解析式为y= a(x - )2 + 3 ．
抛物线经过点 (0，1) ，
\ 1 = (0 - )2 × a + 3 ，解得a = -8 ．
\抛物线的函数解析式为y = -8(x - )2 + 3 ．
第 6 课时 24. 1.4 二次函数y = ax2 +bx + c 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1．下列对二次函数y= x2 - x 的图象描述，正确的是 ( )
A. 开口向下 B.对称轴是y 轴
C. 经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
【选题意图】本题要求学生会从二次函数的一般式的角度来分析二次函数的性质，加深对性 质的理解和运用，本题属于理解层次.
【解】 a = 1 < 0 ，\抛物线的开口向上，A 选项不正确；二次函数 y= x2 - x 的对称
(
2
1 2
，
)轴为直线 x = - - 1 = 1 B 选项不正确；把 x = 0 代入二次函数 y = x2 - x 中，得 y = 0 ，\
抛物线经过原点，C 选项正确； a = 1 < 0 ，抛物线的开口向上，\在对称轴右侧部分是 上升的，D 选项不正确.
故本题正确答案选 C．
2．已知二次函数y= -x2 + 2bx + c ，当x > 1 时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b
的取值范围是 ( )
A ．b - 1 B ．b - 1 C ．b 1 D ．b 1
【选题意图】本题考查学生对二次函数一般形式增加性的理解，同时本题解析式 中含有字母会给学生增加难度，需要学生掌握二次函数增减性的本质，本题属于 应用层次．
【解】 ∵二次项系数为－1＜0 ， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随x 值 的增大而减小，由题设可知，当x > 1 时，y 的值随x 值的增大而减小， ∴抛物线
y = -x2 + 2bx + c 的对称轴应在直线x = 1的左侧而抛物线y= -x2 + 2bx + c 的对称轴
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x = - = b ，即b 1．
故本题正确答案选 D．
3 ．二次函数y= ax2 + bx + c 的图象上部分点的坐标(x, y) 的对应值列表如下：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则该函数图象的对称轴是 ( )
A.直线x = -3 B.直线x = -2 C.直线x = -1 D.直线x = 0
【选题意图】本题是让学生掌握能够利用表格给出坐标的特征来找出对称轴，进 一步考察和了解学生对二次函数性质的掌握程度．
【解】观察表格可知，x = -3 和x = -1 时y 的值都是-3 ，\根据函数的对称性可知
函数的对称轴为x = = -2 ，
故本题正确答案选 B .
作业 2 发展性作业
4．对于抛物线y = ax2 + (2a- 1)x + a - 3 ，当x = 1时， y > 0 ，则这条抛物线的顶点
一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【选题意图】本题是考查抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性 及最值等，尤其是在x 的某一范围内函数值的取值范围，更是常考知识点．
【解】把x = 1代入y = ax2 + (2a- 1)x + a - 3 中，得y = a + (2a- 1) + a - 3 = 4a- 4 > 0 ，
\ a > 1 ，顶点坐标为(- , ) ，x = - = -= < 0 ，
b = = = - < 0 ，\顶点坐标在第三象限.
故本题正确答案选 C．
5．将抛物线y= x2 - 6x+ 21 向左平移 2 个单位长度后 ，得到新抛物线的函数解析 式为 ( )
A. y = (x - 8)2 + 5 B. y = (x - 4)2 + 5
C. y = (x - 8)2 + 3 D. y = (x - 4)2 + 3
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【选题意图】本题是让学生进一步熟练掌握把二次函数的一般式y= ax2 + bx + c 化
成顶点式，加深对配方法和公式法的理解和运用，培养学生思维的灵活性、开放 性，并让学生感受到解决问题的多样化，再根据抛物线的平移规律解题．
【解】 ∵ y = x2 - 6x+ 21= (x - 6)2 + 3 ，又∵将抛物线向左平移 2 个单位长度， ∴ y = (x - 6 + 2)2 + 3 = (x - 4)2 + 3 ，
∴故本题正确答案选 D.
6 ．已知二次函数y = -x2 + 4x+ 7 .
(1) 写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2) 说明该函数图象有哪些性质 (至少两条) .
【选题意图】 (1) 本小题是让学生掌握如何运用配方法将二次函数的一般式与顶 点式进行转化，从而找出二次函数的对称轴和顶点坐标，渗透配方和转化的思想 方法， (2) 本小题属于开放性题目，答案不唯一，需要学生在学习时多思考，勤 观察.
【解】 (1) y = -x2 + 4x + 7 = -(x2 - 4x) + 7 = -(x2 - 4x + 4 - 4) + 7 = -(x - 2)2 + 11 \ a = -1 < 0 ，抛物线的开口向下，对称轴为直线x = 2 ，顶点坐标为 (2, 11)
(2) 当x > 2 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x = 2 时，y 有最大值为 11．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
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错因
作业 3 帮扶性作业 (选做)
1 ．将二次函数y = -3x2 - 18x- 22 写成顶点式y = a(x - h)2 + k 的形式 ，并写出其开 口方向、顶点坐标、对称轴．
【选题意图】注意 h 值的符号 ，配方法是数学的一个重要方法 ，需多加练习 ，熟
练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．课时作业第 1-2 题全部做错 的同学请完成该题．
【解】 y = -3x2 - 18x- 22
= -3(x2 + 6x) - 22
= -3(x2 + 6x+ 9 - 9) - 22
= -3(x + 3)2 + 5
∴此抛物线的开口向下 ，顶点坐标为(－3 ，5) ，对称轴是x = -3 ．
2．在二次函数y= x2 - 2x- 3 中，当0 x 3 时，y 的最大值和最小值分别是多少？
【选题意图】本题考察二次函数的最值，由于一次函数求最值的经验会使学生认 为二次函数的最值也在端点值，本题需要学生掌握当对称轴在给定范围内时，顶 点的纵坐标就是最值．课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
【解】.二次函数y = x2 - 2x- 3 = (x - 1)2 + 4 ，
a = 1 > 0 ，二次函数开口向上，又 0 x 3 ，
\ 当x = 1 时，y 取最小值，ymin = 4 ，
当x = 3 时，y 取最大值，ymax = 8 ，
\ y 的最大值为 8，最小值为 4．
3．用总长为 60 m 的篱笆围成的矩形场地 ，矩形面积y 随矩形一边长x m 的变化而 变化， (1) y 与x 有何函数关系？ (2) 举一例说明y 随x 的变化而变化？ (3)
怎样求y 的最大值呢？
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【选题意图】二次函数在几何方面的应用特别广泛 ，要注意自变量的取值范围的
确定 ，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．课时作业第 5-6 题全部做错的
同学请完成该题.
【解】(1)根据矩形的面积公式y = x(30- x) = -x 2 + 30x = -(x - 15)2 + 225(0 < x < 30) ；
(2) 当x = 10 时，y = 200 ；当x = 15 时， y = 225 ；
(3) a = -1 < 0 ， ∴函数y 有最大值， ∴当x = 15 时 ，ymax = 225 ．
第 7 课时 24. 1.4 用待定系数法求二次函数的解析式
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1．抛物线y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 (-1，3) ，且过点 (0，5) ，那么二次函 数y = ax2 + bx + c 的解析式为 ( )
A.y = -2x2 + 4x+ 5 B. y = 2x2 + 4x+ 5
C. y = -2x2 + 4x - 1 D. y = 2x2 + 4x + 3
【选题意图】本题考查学生二次函数解析式的顶点式，以及顶点式转化为一般式， 让学生根据题目条件自主选择最合适的函数解析式的表达形式.
【解】 抛物线的解析式的顶点坐标为 (- 1 ，3) ，\可设该抛物线的解析式为 y = a(x + 1)2 + 3 ，又该抛物线经过点 (0 ，5) ，\可得a + 3 = 5 ，解得a = 2
抛物线的解析式为y = 2(x + 1)2 + 3 = 2x2 + 4x+ 5 ．
故本题正确答案选 B．
2．抛物线与x 轴交点的横坐标为-2 和 1，且过点 (2，8) ，它的关系式为 ( )
A. y = 2x2 - 2x - 4 B. y = -2x2 + 2x - 4
C. y = x2 + x - 2 D. y = 2x2 + 2x - 4
【选题意图】本题考查学生二次函数解析式的交点式，以及交点式转化为一般式， 让学生根据题目条件自主选择最合适的函数解析式的表达形式.
【解】 抛物线与x 轴交点的横坐标为-2 和 1，\可设该抛物线的解析式为 y = a(x + 2)(x - 1) ，又该抛物线经过点 (2 ，8) ，\可得a 4 1 = 8 ，解得a = 2
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抛物线的解析式为y = 2(x + 2)(x - 1) = 2x 2 + 2x- 4 ．
故本题正确答案选 D．
3．已知二次函数的图象过 (1，0) ， (－1，－4) 和 (0，－3) 三点，你能求出
这个二次函数的解析式吗？
【选题意图】本题让学生知道根据二次函数图象上的三个点能够设二次函数的一 般形式y= ax2 + bx + c (a 0) ,然后将三点代入采用解三元一次方程组的方法来解 出a 、b 、c .既让学生掌握了二次函数解析式求法，又让学生回顾了方程组的解法．
【解】设这个二次函数的解析式为y = ax2 + bx + c (a 0) ，把 (1,0) ， (-1，-4)
和 (0，-3) 代入y = ax2 + bx + c 中，得
解得：
c = -3 ， c = -3
\这个二次函数的解析式为y= x 2 +2x- 3 .
作业 2 发展性作业
4．已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x = -2 ，最高点的纵坐标为 4，
求：该二次函数解析式． .
【选题意图】本题是让学生学会根据题目的条件并且结合函数的图象，选择适当的方法来解决 二次函数的解析式求法问题，这样让学生了解对于不同类型的问题有不同的解答方案，有利于
活跃学生的思维，养成善于总结的习惯.
【解】 ∵二次函数的图象对称轴是直线x = -2 ，最高点的纵坐标为 4，
∴抛物线的顶点坐标为 (-2 ，4) ，
∴设y = a(x + 2)2 + 4(a 0) ，
∵二次函数的图象经过原点，
∴代入 (0 ，0) 点，则有0 = a(0 + 2)2 + 4 ，解得a = -1，
∴二次函数解析式为： y = -x2 - 4x ．
5．二次函数的图象与x 轴的交点坐标是 (1，0) ， (3，0) ，且函数有最小值-5，
求二次函数的解析式．
【选题意图】本题是让学生学会根据题目的条件并且结合函数的图象，选择适当 的方法来解决二次函数的解析式求法问题，这样让学生了解对于不同类型的问题 有不同的解答方案，有利于活跃学生的思维，养成善于总结的习惯．
【解】 ∵二次函数的图象与x 轴的交点坐标是 (1 ，0) ， (3 ，0) ， ∴设抛物线的解析式为y = a(x - 1)(x - 3)(a 0)
∵函数有最小值-5，
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∴二次函数的顶点坐标为 (2 ，-5) ，
∴ a(2 - 1)(2 - 3) = -5 ，解得a = 5 ，
∴二次函数的解析式为： y = 5(x - 1)(x - 3) = 5x 2 - 20x+ 15 ．
6．如右图,已知抛物线与x 轴的交点为 A,B(3,0),与 y 轴的交点为 C(0,3),且经过 点 D(4,-5).
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△ABC 的面积.
(
C
A
B
)
第 6 题图
【选题意图】本题对所学知识进行拓展提升，是对基础知识的提高和应用，培养 学生的实际应用能力，提升思维能力．
【解】 (1) 设这个二次函数的解析式为y = ax2 + bx + c (a 0) ，把 B (3,0) ，C
(0,3) 和 D (4，-5) 代入y = ax2 + bx + c 中，得
解得：
16a + 4b + c = -5 ， c = 3
\这个二次函数的解析式为y= -x2 + 2x+ 3 ；
(2) 令y = 0 ，得-x2 + 2x+ 3 = 0 ，解得x1 = -1, x2 = 3
∴点 A (- 1 ，0)
SDABC = AB OC = [3 (- 1)] 3 6 ．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
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作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 3 帮扶性作业 (选做)
1 ．已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x = -2 ，最高点的纵坐标为 4， 求：该二次函数解析式．
【选题意图】顶点坐标用不同的方式给出时，如何引导学生采用顶点式解答，这 样让学生了解对于不同类型的问题有不同的解答方案，有利于活跃学生的思维， 养成善于总结的习惯．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 ∵二次函数的图象对称轴是直线x = -2 ，最高点的纵坐标为 4，
∴抛物线的顶点坐标为 (-2 ，4) ，
∴设y = a(x + 2)2 + 4(a 0) ，
∵二次函数的图象经过原点，
∴代入 (0 ，0) 点，则有0 = a(0 + 2)2 + 4 ，解得a = -1，
∴二次函数解析式为： y = -x2 - 4x ．
2 ．已知抛物线的顶点坐标为 (20 ，16) ，且经过点 (0 ，0) ， (40 ，0) .求抛物
线的函数解析式．
【选题意图】通过设疑，激发学生的学习兴趣，运用所学知识，从不同的角度进 行解答，既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性，又培养了学生深层次的 思维能.课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
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(
a
4
0
2
+
b
40
+
c
=
0
c
=
0
)
【解】设抛物线的函数解析式为y = ax2 + bx + c (a 0) ．
因为抛物线经过 (0 ，0) ， (20 ，16) ， (40 ，0) 三点 ，
(
5
)所以可得方程组02 + b 20+ c = 16 ，解得
所以抛物线的函数解析式为y= -x2 + x ．
3 ．已知抛物线y = x2 + bx + c 经过 A (- 1 ，0) ，B (3 ，0) 两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求抛物线的顶点坐标；
(3) 若点 Q 为抛物线上一点，且S QAB = 10 ,求出此时点 Q 的坐标．
【选题意图】本题考察用待定系数法求二次函数一般式的方法，一般式如何转化 为顶点式以及在二次函数中解决三角形面积问题.前两问属于理解层次，第三问属 于应用层次．课时作业第 5-6 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 (1) 抛物线y = x2 + bx + c 经过 A (- 1 ，0) ，B (3 ，0) 两点，
\ 解得
\抛物线的解析式y = x2 - 2x- 3 ；
(2) y = x2 - 2x - 3 = (x - 1)2 - 4 ，
\抛物线的顶点坐标 (1 ，-4) ；
(3) A (- 1 ，0) ，B (3 ，0) ，\AB=4，
设 Q ( x ，y ) 则S QAB = AB× y = 2 y = 10 ，
\ y = 5 ，\ y = ±5 ．
当y = 5 时，x2 - 2x- 3 = 5 ，解得x1 = -2 ，x2 = 4 ，
此时 Q 点坐标为 (-2,5) 或 (4 ，5) ；
当y = -5 时，x2 - 2x- 3 = -5 ，方程无实数解；
综上所述，Q 点的坐标为 (-2,5) 或 (4 ，5) ．
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第 8 课时 22.2 二次函数和一元二次方程的关系
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1.抛物线y= ax2 + bx + c (a 0) 的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0( a 0)根的情况是 ( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．有两个实数根 D ．没有实数根
【选题意图】本题旨在考查二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与 x 轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况有关．
【解】如图， ∵抛物线y = ax2 + bx + c (a 0) 与x 轴没有交点，
∴一元二次方程ax2 + bx + c = 0没有实数根．
故选：D．
2 ．下列表格是二次函数y = ax2 + bx + c 中x 与y的对应值，则方程ax2 + bx + c = 0 ( a 、 b 、c 为常数，a 0 ) 的一个近似解是 ( )
x 6. 17 6. 18 6. 19 6.20
y = ax2 + bx + c 0.03 0.01 0.02 0.06
A ．6. 17 B ．6. 18 C ．6. 19 D ．6.20
【选题意图】本题旨在考查图象法求一元二次方程的近似解，体现了二次函数与
一元二次方程间的紧密关系，掌握图象法求一元二次方程的近似解是关键．
【解】当 x=6. 18 时，y=－0.01＜0；当 x=6. 19 时，y=0.02＞0．所以方程在－0.01 和 0.02 之间有解，
∵－0.01 更接近于 0
∴方程的一个近似解为 6. 18．
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故选：B．
3 ．直线y = 4x+ 1 与抛物线y = x2 + 2x+ k 有唯一交点，则k 是 ( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．- 1
【选题意图】本题旨在考查二次函数与一次函数的交点个数的判断，把一次函数 代入二次函数的解析式，要求能将两个函数图象的相交问题转化为一元二次方程 的根的判断问题．
【解】直线y = 4x+ 1 与抛物线y = x2 + 2x+ k 有唯一交点，则把y = 4x+ 1 代入二次函数 的解析式，得到的关于x 的方程中，判别式△＝0 ，据此即可求解．根据题意得： x2 + 2x + k = 4x + 1 ，即x2 - 2x + (k - 1) = 0 ，则△= 4-4(k -1)= 0 ，解得： k = 2 ．
故选：C．
作业 2 发展性作业
4 ． 抛 物 线 y= x2 + bx + 3 的 对 称 轴 为 直 线 x = 1 ． 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程
x2 + (b +2)x + 3 - t = 0 (t 为实数) 在-1 < x < 4 的范围内有实数根，则t 的取值范
围是 ( )
A ． 3 t < 19 B ． 2 t 15 C ． 6 < t < 11 D ． 2 t < 6
【选题意图】本题旨在考查利用抛物线对称轴的基础知识求二次函数中待定系数 的值和用参数表示一元二次方程的解.
【解】 ∵抛物线y = x2 + bx + 3 的对称轴为直线x = 1，
∴ - = 1 ，解得b = -2 ，
∴关于x 的一元二次方程x2 + (b +2)x + 3 - t = 0 (t 为实数) 化为x2 = t - 3 ，
∵关于x 的一元二次方程x2 + (b +2)x + 3 - t = 0 (t 为实数) 在-1 < x < 4 的范围内有 实数根，
∴ t - 3 > 0 且 < 4 或t - 3 > 0 且- > -1 ，
解得3 t < 19 或3 t < 4 ，
综上所述，t 的范围为3 t < 19 ．
故选：A．
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5．若抛物线y= ax2 + bx + c (a 0) 的对称轴为直线x = 3 ，且与x 轴的一个交点坐标
为 (5 ，0) ，则一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的根为___________．
【选题意图】本题旨在考查会利用抛物线的对称性求抛物线与 x 轴的交点，并转
化为对应方程的解．
【解】 ∵抛物线的对称轴为直线x = 3 ，且与x 轴的一个交点坐标为 (5 ，0) ， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 (1 ，0) ，
又∵抛物线y= ax2 + bx + c 与 x 轴的交点的横坐标为方程ax2 + bx + c = 0 的根， ∴方程ax2 + bx + c = 0 的根为x1 = 5, x2 = 1．
故答案为： x1 = 5, x2 = 1．
作业 3 探究性作业 (选做)
6 ．已知二次函数y = a(x - m)2 - a(x - m) ( a ，m 为常数，且a 0 ) ．
(1) 求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；
(2)设该函数的图象与x 轴的两个交点为 A( x1 ，0)，B( x2 ，0)，且x + x = 25 ，
求m 的值；
【选题意图】本题旨在考查学生对二次函数的综合运用能力，主要利用了根的判 别式、三角形的面积公式等知识，把 (x-m ) 看作一个整体求解更加简便．
【解】 (1) 证明：把(x - m) 看作一个整体，令y = 0 ， a(x - m)2 - a(x - m) = 0 ，
△= (-a)2 - 4a 0 = a2 ， ∵ a 0 ， ∴ a2 > 0 ，
∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；
(2) y = 0 ，则a(x - m)2 - a(x - m) = a(x - m)(x - m - 1) = 0 ，
解得x1 = m, x2 = m + 1 ， ∵ x + x = 25 ， ∴ m2 + (m + 1)2 = 25 ，解得m1 = -4, m2 = 3 ． 故m 的值为-4 或 3．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
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作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 4 帮扶性作业 (选做)
1 ．二次函数y = ax2 + bx + c(a 0) 的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
第 1 题图
(1) 方程ax2 + bx + c = 0 的实数根是___________；
(2) 若方程ax2 + bx + c = k 无实数根，则k 的取值范围___________．
【选题意图】本题旨在考查二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根，即为抛物线与x 轴的交点的横坐标；方程ax2 + bx + c = k 有无 实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题．
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【解】 (1) 观察图象可知，方程ax2 + bx + c = 0 的根，即为抛物线与x 轴交点的横坐 标，
∴ x1 = 0 ，x2 =2．
(2) 由图象可知，k > 2 时，方程ax2 + bx + c = k 无实数根．
2 ．关于x 的二次函数y= (m - 2)x 2 - 2x+ 1 的图象与x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是___________．
【选题意图】本题旨在考查二次函数图象与x 轴交点个数问题，解题关键是明确当 Δ＞0 时，抛物线与x 轴有两个不同的交点，同时还要注意对平方项系数的分析．课
时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 ∵关于x 的二次函数y= (m - 2)x 2 - 2x+ 1 与x 轴有两个不同的交点， ∴关于x 的一元二次方程(m - 2)x2 - 2x+ 1 = 0 有两个不同的解，
∴ Δ＝ (-2)2 - 4(m - 2) 1 > 0 ，且m - 2 0 ，
解得： m < 3 且m 2 ．
故答案为： m < 3 且m 2 ．
3 ．抛物线y = a(x - h)2 + k 经过 ( ﹣ 1 ，0) ， (5 ，0) 两点，则关于x 的一元二次 方程a(x - h +1)2 + k = 0 的解是_____．
【选题意图】本题旨在考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征， 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．课时作业第 5-6 题全部做 错的同学请完成该题．
【解】将抛物线y= a(x - h)2 + k 向左平移一个单位长度后的函数解析式为 y = a(x - h + 1)2 + k ，
∵抛物线y = a(x - h)2 + k 经过 ( ﹣ 1 ，0) ， (5 ，0) 两点，
∴所以方程a(x - h +1)2 + k = 0 的解是x1 = -2 ，x2 = 4 ，
故答案为： x1 = -2 ，x2 = 4 ．
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第 9 课时 22.2 用二次函数的图像解一元二次方程 (不等式)
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1 ．已知抛物线y = a(x - h)2 + k 与x 轴有两个交点 A ( ﹣ 1 ，0) ，B (3 ，0) ，抛物线 y = a(x - h - m)2 + k 与x 轴的一个交点是 (4 ，0) ，则m 的值是 ( )
A ．5 B ． ﹣ 1 C ．5 或 1 D ． ﹣ 5 或 ﹣ 1
【选题意图】本题旨在考查二次函数图象和 x 轴的交点与平移知识的综合运用.
【解】∵抛物线y = a(x - h)2 + k 的对称轴为直线x = h ，抛物线y = a(x - h - m)2 + k 的 对称轴为直线x = h + m ，
∴当点 A ( ﹣ 1 ，0) 平移后的对应点为 (4 ，0) ，则m = 4 - (-1) = 5 ；
当点 B (3 ，0) 平移后的对应点为 (4 ，0) ，则m = 4 - 3 = 1 ，
即 m 的值为 5 或 1．
故选 C．
2 ．如图，二次函数y = ax2 + bx + c 的图象与x 轴交于(3, 0) ，对称轴是直线x = 1 ，当 函数值y> 0 时， 自变量x 的取值范围是_____．
第 2 题图
【选题意图】本题旨在考查能通过观察图象可知二次函数y=ax2+bx+c 有两个根， 抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．
【解】∵二次函数y = ax2 + bx + c 的抛物线与x 轴交于 (3，0) ，对称轴是直线x = 1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为： (- 1 ，0) ，
故当函数值y> 0 时， 自变量x 的取值范围是： - 1 < x < 3 ．
故答案为-1 < x < 3 ．
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3 ．若函数y = (a - 1)x 2 - 4x+ 2a 的图象与x 轴有且只有一个交点,则a 的值为_____．
【选题意图】本题旨在考查当题干未明确函数是否为二次函数时应对字母系数的 取值范围进行讨论，在解题过程中，容易主观地认为函数y＝ax2+bx+c 为二次函 数，而忽略函数为一次函数的情况．
【解】函数y= (a - 1)x 2 - 4x+ 2a 的图象与x 轴有且只有一个交点， ∴分两种情况 讨论:( 1)当函数为二次函数时，△＝16- 4(a - 1)×2a = 0 ，且a - 1 0 ，解得a = -1 或a = 2 ；(2)当函数为一次函数时， a - 1 = 0 ，解得a = 1 .综上可得， a 的值为－1 或 1 或 2．
作业 2 发展性作业
4 ．对于一个函数， 自变量x 取c 时，函数值为 0 ，则称c 为这个函数的零点．若关 于x 的二次函数y = x2 - 6x+ m(m 0) 有两个不相等的零点x1 , x2 (x1 < x2 ) ，关于 x 的方程-x2 + 6x- m - 2 = 0 有两个不相等的非零实数根x3 和x4 ( x3 < x4 ) ，则 下列式子一定正确的是 ( )
A ． 0 < < 1 B ． > 1 C ． 0 < < 1 D ． > 1
【选题意图】本题旨在考查能否灵活运用地二次函数图象和一元二次方程的关系 并结合平移知识来解题．
【解】由题意关于x 的方程x2 - 6x+ m = -2(m 0) 有两个不相等的非零实数根x3 和 x4 ( x3 < x4 ) ，就是关于x 的二次函数y = x2 - 6x+ m(m 0) 与直线y = -2 的交点的
横坐标，
画出函数的图象草图 (省去y 轴) 如下：
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y 轴不能确定在哪个位置，可能在x1 与x3 之间．而在当这种情况是应小于 0．
反之因为x2 , x4 都在对称轴x = 3 的右侧，均为正实数，而x2 又大于x4 ．故 应大
于 1．
故选：D．
5 ． 已知二次函数y = a(x - x1 )(x - x2 ) ，其中x1 < x2 ，若x1 + x2 = 4 ，当x 0 时，y > 0 ， 当x = 3 时，y < 0 ，且m < x2 < n ( m ， n 为相邻整数) ，则m + n ＝______．
【选题意图】本题旨在考查二次函数图象的对称性和如何求一元二次方程近似解，
要求对两者有较为深入的认识．
【解】 由题意得：函数的对称轴为直线x = (x1 + x2 ) = 2 ，
∵ x = 0 时，y > 0 ，
根据函数的对称性x = 4 时，y > 0 ，
而当x = 3 时，y < 0 ，
故3< x2 < 4 ，
故m = 3, n = 4, m + n = 7 ．
作业 3 探究性作业 (选做)
6 ．已知抛物线 C1 的解析式为y= x2 + x + 2 ，抛物线与x 轴交于 A ，B 两点 (A 在 B 在左边) 与y 轴于 C 点．
(1) 求点 A 、B 、C 的坐标；
(2) 将抛物线 C1 沿直线 BC 平移，与射线 AC 仅有一个公共点，求抛物线顶 点横坐标的取值或取值范围．
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【选题意图】本题旨在考查二次函数图象与坐标轴交点坐标的计算，以及是否能
灵活处理二次函数图象与射线的交点问题的能力，题目难度较大．
【解】 (1) 当y = 0 时， x2 + x + 2 = 0 解得x1 = -2, x2 = -4 ，
故 A ( ﹣ 4 ，0) ，B
目录
一、单元信息 4
二、单元分析 4
三、教材分析 6
( 一) 知识网络 6
(二) 内容分析 7
四、单元学习目标 9
五、单元作业目标 01
六、单元作业整体设计思路 01
七、课时作业设计 21
八、课时作业 21
第 1 课时 22.1.1 二次函数 21
作业 1 基础性作业 (必做) 21
作业 2 发展性作业 (必做) 31
作业 3 探究性作业 (选做) 41
作业 4 自主帮扶性作业 (选做) 51
第 2 课时 22.1.2 二次函数y= ax2 的图形和性质 61
作业 1 基础性作业 (必做) 61
作业 2 发展性作业 (必做) 61
作业 3 探究性作业 (选做) 71
作业 4 自主帮扶性作业 (选做) 81
第 3 课时 22.1.3 二次函数y= ax2 + k 的图象和性质 02
作业 1 基础性作业 (必做) 02
作业 2 发展性作业 (必做) 02
作业 3 帮扶性作业 (选做) 12
第 4 课时 22.1.3 二次函数y= a(x - h)2 的图象和性质 32
作业 1 基础性作业 (必做) 32
作业 2 发展性作业 (必做) 42
作业 3 帮扶性作业 (选做) 52
第 5 课时 22.1.3 二次函数y= a(x - h)2 + k 的图象和性质 72
作业 1 基础性作业 (必做) 72
作业 2 发展性作业 (必做) 82
作业 3 帮扶性作业 (选做) 03
第 6 课时 22.1.4 二次函数y= ax2 + bx + c 的图象和性质 13
作业 1 基础性作业 (必做) 13
作业 2 发展性作业 (必做) 23
作业 3 帮扶性作业 (选做) 43
第 7 课时 22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式 53
作业 1 基础性作业 (必做) 53
作业 2 发展性作业 (必做) 63
作业 3 帮扶性作业 (选做) 83
第 8 课时 22.2 二次函数和一元二次方程之间的关系 04
作业 1 基础性作业 (必做) 04
作业 2 发展性作业 (必做) 14
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作业 3 探究性作业 (选做) 24
作业 4 帮扶性作业 (选做) 34
第 9 课时 22.2 用二次函数的图像解一元二次方程 (不等式) 54
作业 1 基础性作业 (必做) 54
作业 2 发展性作业 (必做) 64
作业 3 探究性作业 (选做) 74
作业 4 帮扶性作业 (选做) 94
第 10 课时 22.3 用二次函数求图形面积的最值问题 25
作业 1 基础性作业 (必做) 25
作业 2 发展性作业 (必做) 35
作业 3 探究性作业 (选做) 55
作业 4 帮扶性作业 (选做) 85
第 11 课时 22.3 用二次函数求实际应用中的最值问题 06
作业 1 基础性作业 (必做) 06
作业 2 发展性作业 (必做) 26
作业 3 帮扶性作业 (选做) 56
第 12 课时 22.3 用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题 86
作业 1 基础性作业 (必做) 86
作业 2 发展性作业 (必做) 07
作业 3 探究性作业 (选做) 17
第 13 课时 二次函数数学活动 37
作业 1 基础性作业 (必做) 37
作业 2 发展性作业 (必做) 47
九、单元质量检测作业 77
单元质量检测作业内容 77
单元质量检测作业答案和解析 08
单元质量检测作业属性表 28
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一、单元信息
基本 信息 学科 年级 学期 教材 版本 单元名称
数学 九年级 第一学期 人教 版 二次函数
单元 组织 方式 团 自然单元 □重组单元
课 时 信 息 序号 课时名称 对应教材内容
1 二次函数 第 22.1 (P28-29)
2 二次函数y= ax2 的图象和性质 第 22.1 (P29-32)
3 二次函数y= ax2 + k 的图像和性 质 第 22.1 (P32-33)
4 二次函数y = a(x - h)2 的图象和 性质 第 22.1 (P33-35)
5 二次函数y = a(x - h)2 + k 的图 象和性质 第 22.1 (P35-37)
6 二次函数y = ax2 + bx + c 的图象 和性质 第 22.1 (P37-39)
7 用待定系数法求二次函数的解 析式 第 22.1 (P39-40)
8 二次函数与一元二次方程之间 的关系 第 22.2 (P43-45)
9 用二次函数的图像解一元二次 方程 (不等式) 第 22.2 (P46)
10 用二次函数求图形面积的最值 问题 第 22.3 (P49)
11 用二次函数求实际应用中的最 值问题 第 22.3 (P50)
12 用二次函数求实际中“抛物线” 型的最值问题 第 22.3 (P51)
13 二次函数数学活动 P54
14 单元自测
二、单元分析
本章共分三节。首先介绍二次函数及其图象，并从图象得出二次函数的有关性质。 然后探讨二次函数与一元二次方程的联系。最后通过设置探究栏目展现二次函数的应 用。
在第一节中，首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义。关于二次
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函数的图象和性质的讨论分为以下几部分。
( 一) 从最简单的二次函数y= x2 出发，通过描点画出它的图象，从而引出抛物 线的有关概念。
(二) 讲述二次函数y= ax2 的图象的画法，并归纳出这类抛物线的特征。
(三) 探究形如y= ax2 + k 和y= a(x - h)2 的函数的图象，然后讨论形如 y = a(x - h)2 + k 的函数的图象。
(四) 讨论函数y = ax2 + bx + c 的图象。
上述讨论过程如下图所示：
在第二节中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。 然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍 用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。
在第三节中，通过最大利润、磁盘存储量、水位变化等三个探究问题，展示二次 函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识 解决实际问题的能力。关于这三个问题进一步说明如下。
在探究 1 中，某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种 情况。一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销量会随之增加。 这两种情况都会导致利润的变化。教科书首先分析涨价的情况。在本题中，设涨价x 元，则可以确定销量随x 变化的函数式。由此得到销售额、成本随x 变化的函数式。 进而得出利润随x 变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。有了 上述讨论，降价的情况就让学生自己去研究了。最后，让学生综合涨价与降价两种情 况，得出本题的答案。
在探究 2 中，磁盘的存储量与每磁道的存储单元数与磁道数有关。在本题中设磁 盘最内磁道的半径为r mm，则可以确定每磁道的存储单元数、磁道数随r 变化的函数 式。由此得到磁盘的存储量随r 变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自 己完成。
在探究 3 中，首先要建立适当的坐标系。在本题中，以抛物线的顶点为原点，以 抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系。这样便于求出这条抛物线表示的二次函数。 当水面下降 1m 时，就可以根据上面的函数表达式求出下降后的水面宽度。
这样，学生通过探究并解决上述三个问题，对用二次函数解决实际问题会有更深 的体会。
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三、教材分析
( 一) 知识网络
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(二) 内容分析
学生已经学习了一次函数与反比例函数，对于函数已经有所认识。从一次函数与 反比例函数的学习来看，学习一种函数大致包括以下内容： (1) 通过具体实例认识 这种函数； (2) 探索这种函数的图象和性质； (3) 利用这种函数解决实际问题； (4) 探索这种函数与方程、不等式的关系。本章“二次函数”的学习也是从以上几 个方面展开的。首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图象和性质，然后让学生 探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的 根的方法，最后让学生运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题。
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1 、本章知识结构框图
2 、本章教科书编写特点
(1) 注重探索结论
在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探 讨的。教科书通过设置观察、思考、讨论等栏目，引导学生探索相关的结论。
例如，让学生观察函数y= x2 , y = 2x2 的图象与函数y= x2 的图象的共同点与不 同点，探究函数y= -x2 , y = -x2 , y = -2x2 的图象的共同点与不同点，从而得出抛物
线y = ax2 的特征。
又如，让学生讨论抛物线y= x2 + 1, y = x2 - 1 与抛物线y= x2 的关系，探究二次函
数y = -(x + 1)2 , y = -(x - 1)2 的开口方向、对称轴和顶点，从而得出把抛物线y = ax2
向上 (下) 向左 (右) 平移，可以得抛物线y = a(x - h)2 + k 结论。
再如，让学生思考二次函数y= ax2 + bx + c 与函数y= a(x - h)2 + k 的关系，从而通 过配方法加以转化。
这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的有关知识，而且在知识的 学习过程中不断提高学习的能力。
(2) 注重知识之间的联系
学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 (组) 、二元一次方程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程 的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程 的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。
此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对 正方体表面积、多边形对角线数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如， 用关于y 轴对称的点的坐标的关系说明y 轴是抛物线y= x2 的对称轴。再如，用平移 描述函数y= ax2 与函数y= a(x - h)2 + k 的图象之间的关系。这样处理有利于学生认识 新内容，也使已学内容得到复习巩固。
(3) 注重联系实际
二次函数与实际生活联系紧密。本章引言选取正方体表面积、物体自由下落、喷 水等问题展示这种联系。在介绍二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题。 例如，在函数y= a(x - h)2 + k 的讨论之后，安排了一个修建喷水池时确定水管长度的 问题。又如，在函数y= ax2 + bx + c 的讨论之后，让学生探究用总长一定的篱笆围成 最大矩形场地的问题。这样做进一步加强了二次函数与实际生活的联系，使所学知识
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得到应用。
这样学生结合问题的实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的 体会。为了加强二次函数与实际生活的联系，本章在第三节进一步讨论用二次函数解 决实际问题。此外，本章中的选学栏目“实验与探究 推测植物的生长与温度的关系” 也是从实际问题出发，探讨二次函数的应用的。
3 、几个值得关注的问题
(1) 注意复习相关内容
二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。通过八年级下册“一次函数”的学
习，同学们已经初步了解了学习函数的过程。对于函数的概念，描点法画函数的图象 等在本章中仍然要用到，因此在二次函数的学习中，我们可以采用类比、归纳等方法 学习。要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数。
二次函数y= x2 的图象关于 y 轴对称，函数y= ax2 的图象与函数y= -ax2 的图象 关于 y 轴对称，函数y= ax2 + bx + c 的图象可以由函数y= ax2 的图象平移得到，这些 内容都涉及到已学的图形变换的内容。复习对称的坐标表示等内容，有助于学生学习 本章中的上述内容。
探究函数y= ax2 + bx + c ，关键是用配方法把它化为函数y= a(x - h)2 + k 。配方法 曾用来解一元二次方程，学生已经有所了解。在本章相关内容的学习中，学生通过运 用配方法，进一步熟悉这种方法。
总之，在本章的学习过程中，注意复习相关内容，是顺利完成本章学习的基础。
(2) 关于计算机的使用
用某些计算机画图软件 (如《几何画板》) ，可以方便地画出二次函数的图象， 进而从图象探索二次函数的性质。例如，用计算机软件画出函数y= ax2 + bx + c 的图 象，拖动图象上的一点 P, 让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现： 图象最低点或最高点的坐标，也就是说，当x 取这点的横坐标时，y 有最小值或最大 值；当x 小于这点的横坐标时，y 随x 的增大而减小 (增大) ，当x 大于这点的横坐 标时，y 随 x 的增大而增大 (减小) 。
利用计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数的图象解一元二次方程。要解 方程ax2 + bx + c = 0 ，只要用计算机软件画出相应抛物线y= ax2 + bx + c ，再让计算机 软件显示抛物线与 x 轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根。
上述内容安排在本章的选学栏目中，有条件的话，可以让学生加以尝试。
四、单元学习目标
1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3. 会用配方法将二次函数的解析式化为y= a (x - h)2 + k 的形式，并能由此得到
二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单 实际问题。
4. 掌握二次函数的几种解析式之间的联系，掌握二次函数图象的平移规律。
5. 理解一元二次方程跟的几何意义 (二次函数图象与x 轴的公共点的横坐标) ， 掌握二次函数与一元二次方程的关系。
6. 知道二次函数与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况， 会灵活应用一元二次方程根的判别式解决二次函数与x 轴的交点问题。
7. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
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8. 会分析实际问题中所包含的数量关系，并能用二次函数的解析式表示出来。
9. 会从实际问题中确定二次函数解析式及自变量的取值范围，由此确定实际问 题中的最值，进而解决相关的实际问题。
五、单元作业目标
1.经历描点法画函数图像的过程。
2.掌握观察、归纳、概括函数图像的特点。
3.经历二次函数图像平移的过程。
4. 了解y = a (x - x1)(x - x2 ) ，y = ax2 + bx + c ，y = a (x - h)2 + k 三类二次函数图像
之间的关系。
5.理解数学平移变换的特征并加以总结。
6.经历二次函数解析式恒等变形的过程。
7.会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。
8.理解运用配方法将y = ax2 + bx + c 变换成y = a (x - h)2 + k 的形式。
9. 了解二次函数与一元二次方程的相互关系。探索二次函数的变化规律，掌握函 数的最大值、最小值及函数的增减性的概念及方法。
10.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。经历数学建模的基本过程，发 展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
11.初步了解数形结合、用函数观点研究问题、数学建模的数学思想方法。
六、单元作业整体设计思路
1 、理论依据
义务教育段学校将中共中央办公厅、国务院办公厅和市教育局“双减”政策落到 实处的总要求是:落实立德树人的根本任务，充分发挥数学学科的育人功能，根据《义 务教育数学课程标准》(2021 修订版)的要求，依据核心素养理论、发展性理论，立 足初中数学课堂和学生实际，减少初中数学学科作业总量、提高初中数学作业设计质 量，让学生在校内学会学足学好。 基于学科特点，就要求教师优化作业设计与实施， 实行作业“三化”：作业当堂化、作业形式多元化、作业设计科学化。
同时，在检验学生是否完全掌握学习目标的同时，还能促进学生运用所学知识发 展思维的逻辑性和创新性，帮助他们建立学习的信心，培养他们学习的兴趣， 有助 于学生理解数学本质、掌握数学方法、体悟数学思想、赏析数学文化，促进学生核心 素养的全面发展，通过“双减”教育政策真正实现减负提质。为此要做到以下几点：
(1) 初中数学作业设计要注重基础
作业的首要功能是对学习内容的巩固， 义务制教育阶段的初中数学，首先要考虑以人 为本， 面向全体学生， 因此， 基础性是作业设计必须要遵循的要求。
(2) 初中数学作业设计要注重分层
学生学习上的差异是无法回避的事实，因此在作业设计中进行分层设计就显得很 有必要。初中数学作业分层设计是在面向全体学生的基础性作业外， 根据学生在课内理解 和掌握知识的情况，以及其学习能力的差异，有针对性地设计适合不同学生的作业练习，从 而让每一位学生都能根据自己的情况，达到自己和老师所期望的发展要求， 提升自己的数 学素养。
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(3) 初中数学作业设计要注重变式
变式是在初中数学作业设计中，对部分题目在保持题目本质要素不变的情况下， 对数学问题的内容和形式、条件和结论进行有目的有计划的合理转化。实践证明，变 式训练是提高学生作业效果的有效方法，富有探索性和启发性的变式训练，对于学生 掌握数学方法，探索数学问题的本质和规律，培养学生的数学思维有着积极的作用。
(4) 初中数学作业设计要注重形式的多样
分层作业不应仅仅局限于书面作业，其设计应当更加多样有趣，学生在学习过程 中往往拘泥于书本，不能很好的与生活实际相结合，可以包含一些自主探究型作业、 开放型作业、实践应用型作业等，以促进学生理解数学中较为抽象的概念和定理，学 会合理的运用到生活实际中。
2 、本单元作业设计体系
本单元作业可分成四类：基础性作业、发展性作业、探究性作业和帮扶性作业无 需每课时都体现。其中帮扶性作业是在学生完成课时作业错误率较高时使用。总体上 遵循循由浅入深、由易到难，从基础到变式到综合，再到实践、开放的原则。时间安 排上控制在 20 分钟左右，单元质量检测作业按照 40 分钟设计试题。
单元质量检测作业以安徽中考试题为蓝本，选用改编全国各省中考题为主。具体 设计体系如下：
3.批改评价要求
(1) 作业批改和讲评要及时、规范，要做到“新授与作业同步” 、“下一次作 业前完成上一次批改。 ”同时，要 及时关注学生解题思路，并适度引导，解题方法 的适当点拨，以及书写格式的规范指导，促使学生在掌握相应数学知识的同时，进一 步理解其所蕴含的数学思想方法，获得一定的数学学习经验。
(2) 无论考查作业还是家庭作业，必须做到有发必有收、有收必批、有批必评、 有评必改。注重及时批改与有效批注相结合，除纠正错误的批注外，还应从学生学习 态度、作业进步程度等多个方面采用引导、激励性评价。
(3) 批改可采用全收全批、重点评改、集体评改和面批等多种方式。 反馈的方 式采用集中讲评与个别辅导相结合，集中讲评主要针对共性的问题，通过展示作业法， 将学生作业中典型且有代表性的问题通过不同的方式展示出来，分析其存在的问题、 并讨论解决办法，使学生的知识得到进一步的巩固和加深；个别辅导则注重因人而异， 因材施教，充分发挥作业批改的教育功能。
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七、课时作业设计
根据实际教学，本章作业课时划分如下：
22. 1 二次函数的图象和性质 7 课时作业
22.2 二次函数与一元二次方程 2 课时作业
22.3 实际问题与二次函数 3 课时作业
二次函数数学活动 1 课时作业
单元自测 1 课时作业
八、课时作业
第 1 课时 22. 1. 1 二次函数
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1 ．下列函数关系式中，一定是二次函数的是 ( )
A ． y = 3x - 1 B ． y = ax2 + bx + c
C ．s = 2t 2 - 2t + 1 D ． y = x2 +
【选题意图】本题从二次函数定义出发，属简单了解层次，形如y= ax2 + bx + c ( a ， b ，c 是常数， a 0 ) 的函数叫做二次函数．备选答案中四个选项根据定义可以直 接判断，起点低，易上手．
【解】A ．未知数的最高次数不是 2 ，故本选项不符合题意；B ．当a = 0 时不是二次
函数，故本选项不合题意；C ．满足二次函数的定义，故本选项合题意；D ． 不是
整式，故本选项不合题意．故选 C．
2 ．已知函数y= (a + 2)x 2 + x - 3 是关于x 的二次函数，则实数a 的取值范围是 ( )
A ． a > -2 B ． a < -2 C ． a > 2 D ． a -2
【选题意图】本题从二次函数定义出发，属简单了解层次，二次函数的二次项系数不 为 0 ．备选答案中四个选项根据定义可以直接判断，起点低，易上手．
【解】 y = (a + 2)x 2 + x - 3 是二次函数，\ a + 2 0 ，解得a -2 ．故选 C．
3 ．下列函数关系中，不是二次函数的是 ( )
A ．边长为x 的正方形的面积y 与边长x 的函数关系．
B．一个直角三角形两条直角边张的和是 6，则这个直角三角形的面积y 与一条直 角边长x 的函数关系．
C ．在边长为 5 的正方形内挖去一个边长为t 的小正方形，剩余面积S 与t 的函数 关系．
D ．多边形的内角和与边数n 的函数关系．
【选题意图】本题考察简单实际问题中的二次函数，属简单理解层次，先根据实际问 题求出变量之间的函数关系式，再根据二次函数定义判断是否为二次函数．备选答案 中四个选项根据实际问题易得函数关系式，有一定难度．
【解】A．根据实际问题可得变量之间函数关系为y= x2 ，故本选项符不合题意；B．根
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据实际问题可得变量之间函数关系为y= x (6 - x) ，故本选项不合题意；C ．根据实
际问题可得变量之间函数关系为S= 25- t2 ，故本选项不合题意；D．根据实际问题可 得变量之间函数关系为m = 180° (n - 2) ，故本选项合题意．
故选 C.
4 ．把y = (2 - 3x)(6 + x) 化了一般形式_______________ ，二次项系数为________ ，一 次项系数为__________ ，常数项为_________．
【选题意图】本题考察二次函数的一般形式以及二次项系数，一次项系数，常数项的 概念，属简单了解层次，先根据多项式乘法法则把二次函数转变成一般形式，再根据 定义即可得出答案.起点低，易上手．
【解】 y = (2 - 3x)(6 + x) ，\ y = -3x2 - 16x+ 12 ．
故答案为y = -3x2 - 16x+ 12 ，-3 ，- 16 ，12 ．
作业 2 发展性作业
5 ．函数y = (m + n)x 2 + mx + n 是二次函数的条件是 ( )
A. m ，n 是常数，且m 0 B. m ，n 是常数，且n 0
C. m ，n 是常数，且m n D. m ，n 为任何实数
【选题意图】本题涉及的二次函数中含有字母系数m ，n ，属于理解层次，学生容易 把字母系数m ，n 与变量x 弄混淆，实质只要抓住二次函数中二次项系数不为 0 即 可．起点中等，学生理解后可做出．
【解】 函数y = (m + n)x 2 +mx + n 是二次函数，\ m ，n 是常数，且m + n 0 ， 解得m ，n 是常数，且m n 故本题选 B．
.
6 ．一台机器原价为 60 万元，如果每年价格的折旧率为x ，两年后这台机器的价格为 y 万元，则y 关于x 的函数关系为_____________________．
【选题意图】本题涉及的实际问题比较难，属于应用的应用层次，放在学生不熟悉的 商品折旧问题中，需要学生具有较强的处理实际问题的应用能力．很显然原价为 60
万元的商品，一年后的价格为60 (1- x) ，二两后的价格是
60 (1- x)(1- x) = 60 (1- x)2 ．
【解】 y = 60 (1- x) (1- x) = 60(1- x) 2 ，\ y = 60(1- x)2 ．
7．如下图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方 形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．
(1) 求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
(2) 若墙的最大可用长度为 9 米，求此时自变量x 的取值范围．
第 7 题图
【选题意图】本题涉及的实际问题是几何图形问题比较难，属于应用层次，本题需要 学生具有较强的处理实际问题的应用能力．根据长方形的面积公式我们很容易得出 S = BC× AB = (24- 3x)x = -3x2 + 24x ．
【解】 (1) S = BC× AB = (24- 3x)x = -3x 2 + 24x ，
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由题意得 解得0< x < 8 ；
(2) 24- 3x 9 ，\ x 5.结合①得5 x 8 ．
作业 3 探究性作业 (选做)
8 ．在一块矩形镜面玻璃的四周镶嵌上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子 的长与宽的比是 2:1． 已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，边框价格是每米
20 元.另外制作这面镜子还需要加工费 45 元，设制作这面镜子的总费用为y 元， 镜子的宽度是x 米．
(1) 求y 与x 之间的函数关系式；
(2) 当镜子的长为 1 米时，制作这面镜子需要多少钱？
【选题意图】本题设计的实际问题是几何问题，没有给出图形，需要学生根据题意自 行绘制图形，属于应用层次，需要较强的处理实际问题的能力.
【解】 (1) 镜子的长与宽的比是2 :1 ，镜子的宽度是x 米，\镜子的长是2x米． 边框费用是20 2(x + 2x) = 120x 元，镜面的费用是120 x 2x = 240x2 元．
总费用y = 240x2 + 120x+ 45 ；
(2) 当2x = 1时，x = ，把x = 代入y = 240x2 + 120x+ 45 中，
2
得y = 240 + 120 + 45= 165 元．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
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作业 4 帮扶性作业 (选做)
1 ．下列函数中是二次函数有几个 ( )
① y = ax2 + bx + c ， ② s = 3 – 2t 2 ，③ y = x2 ，④ y = ，⑤ y = x2 + x3 + 25 ，
⑥y = (x + 3)2 – x2 ．
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【选题意图】判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判 断. 除此之外，二次函数除有一般形式y= ax2 + bx + c (a 土 0) 外，还有其特殊形式如 y = ax2 ，y = ax2 + bx ，y = ax2 + c 等．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题.
【解】①缺少a 土 0 ，不对，②③符合二次函数定义，④等式右边是分式，不对，⑤
自变量最高次是 3 次，不对，⑥化简后自变量最高次是 1 次，不对． 故本题正确答案选 A．
2 ．n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，求比赛的场次数 m 与球队数 n 的关系式，并化为一般形式．
【选题意图】每个球队 n 要与其他(n – 1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 n(n – 1) ． 课时作业第 3-4 题
全部做错的同学请完成该题．
【解】 m = n(n – 1) = n 2 – n ．
3 ．若函数y = (m2 – 9)x2 + (m – 2)x + 4 是二次函数，那么m 的取值范围是什么？
【选题意图】本题考查含参函数的判别，考查二次函数的定义.课时作业第5 题做错 的同学请完成该题.
【解】有二次函数的定义可知m2 – 9 土 0 ，解得m 3 ．
4 ．矩形的周长为 16cm ，它的一边长为x (cm),面积为y ( cm2 ) ．求
(1) y 与x 之间的函数解析式及自变量x 的取值范围；
(2) 当x = 3 时矩形的面积．
【选题意图】本题考查二次函数的简单应用．课时作业第 6-7 题全部做错的同学请完 成该题.
【解】 (1) 根据矩形的周长与边长的关系可以得到邻边和为 8 ，一边长为x ，另一边
长为(8 – x) ，
：y = x(8 – x)
解得0 < x < 8
y 与x 之间的函数解析式是y= x(8 – x) ， 自变量x 的取值范围是0< x < 8 ；
(2) 把x = 3 代入y = x(8 – x) 中可得，y = 3．(8 – 3) = 15
：当x = 3 时矩形的面积为 15．
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第 2 课时 22. 1.2 二次函数y= ax2 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1 ．二次函数y = -x2 的图象是 ( )
A ．线段 B ．直线 C ．抛物线 D ．双曲线
【选题意图】本题从二次函数y= ax2 (a 0) 图形出发，属简单了解层次，二次函数 的图象是抛物线．备选答案中四个选项根据定义可以直接判断，起点低，易上手．
【解】 y = -x2 是二次函数，\ y = -x2 的图象是抛物线．
故本题选 C．
2 ．下列关于函数y= x2 的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴 是y 轴；④顶点(0, 0) ，期中正确的有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【选题意图】本题是从二次函数图象与性质的出发，属于简单了解层次，通过解析式 判断出二次函数y= ax2 (a 0) 的图象、开口方向、对称轴、顶点坐标．
【解】 y = x2 ，\此函数是二次函数，图象为一条抛物线，故①正确． a = > 0 ，
\抛物线的开口向上，故②不正确.根据y= ax2 (a 0) 的性质可知，③和④都正确.故
本题选 C．
3 ．抛物线y = ax2 (a < 0) 的图象一定经过 ( )
A ．第一、二象限 B ．第三、四象限
C ．第一、三象限 D ．第二、四象限
【选题意图】本题考察二次函数y= ax2 (a < 0) 的图象所经过的象限，属于理解层次．通 过a 值得范围就可以判断出正确答案．
【解】 a < 0 ，\抛物线经过第三、四象限，故本题选 B．
4．观察二次函数y = x2 的图象，当x < 0 时，随着x 值得增大，y 的值________；当x > 0 时，随着x 值得增大，y 的值___________．
【选题意图】本题考察二次函数y= x2 的增减性，属于理解层次.二次函数的增减性是 以对称轴为分界线的. ．当a > 0, x > 0 时，y 随着x 的增大而增大；当a > 0, x < 0 时，y 随着x 的增大而减小．
【解】 a = 1 > 0 ，\当x < 0 时，随着x 值得增大，y 的值减小；当x > 0 时，随着x 值 得增大，y 的值增大．故本题依次填减小，增大．
作业 2 发展性作业
5 ．二次函数y = 2x2 的图象上有三个点 (1 ，y1 ) ， (3 ，y2 ) ， ( -4 ，y3 ) ，则y1 ， y2 ，y 3 的大小关系是______________．
【选题意图】本题考察二次函数的增减性，属于掌握层次。因为本题所给的三个点不 对称轴的同一侧，所以直接应用函数的增减性并不能直接得出答案．这也是学生易错 的地方.本题解法不唯一，可以通过函数解析式直接求出y1 = 2 ，y2 = 18 ，y3 = 32 来比 较它们的大小，也可以通过函数开口方向和点离对称轴的距离长短得出y1 ，y2 ，y 3 的 大小．
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【解】解法一：把x = 1，3，-4 分别代入二次函数y = 2x2 中，得y1 = 2 ，y2 = 18 ，y3 = 32 ， 2 < 18 < 32 ，\ y1 < y2 < y3 ；
解法二： a = 2 > 0 ，\二次函数y = 2x2 的开口向上， (1 ，y1 ) ， (3 ，y2 ) ， ( -4 ，
y3 ) 离对称轴y 轴的距离分别是 1 ，3 ，4. 1 < 3 < 4 ，\ y1 < y2 < y3
故本题答案为y1 < y2 < y3 ．
6 ．已知抛物线y = ax2 经过 (1 ，3) ．
(1) 求a 的值；
(2) 当x = 3 时，求y 的值；
(3) 说出此二次函数的三条性质．
【选题意图】本题考察用待定系数法求二次函数的解析式，给定函数值求自变量值以 及二次函数y= ax2 (a 0) 的性质.本题属于掌握层次，对于第三题函数性质的表达有 一定的难度，性质表达要标准．
【解】 (1) 抛物线y = ax2 (a 0) 经过点 (1 ，3) ，\ a 12 = 3 ，\ a = 3 ；
(2) 把x = 3 代入y = 3x2 ，得y = 3 32 = 27 ；
(3) 抛物线的开口向上；当x > 0 时y 随着x 的增大而增大；抛物线有最低点，当x = 0 时，y 有最小值 0 等．
7 ．已知y = axa2 +1 是二次函数，且当x > 0 时，y 随x 的增大而减小，求a 的值．
【选题意图】本题考察的二次函数定义及性质，虽然考察的知识点很简单但是本题函 数解析式的形式比较复杂，需要学生对二次函数定义有一定的理解，本题属于理解层 次．
【解】 y = axa2 +1 是二次函数，且当x > 0 时，y 随x 的增大而减小，
\ 解得： a = -1 .故a 的值为-1 ．
作业 3 探究性作业 (选做)
8 ．已知直线y= -2x+ 3 与抛物线y= x2 相交与A ，B 两点 (点A 在点B 的左边) ，O 为坐标原点．
第 8 题图
(1) 求点A 和点B 的坐标；
(2) 连接OA ， OB ,求△OAB 的面积．
【选题意图】 (1) 考察的是一次函数与二次函数交点坐标问题，需要联立两个函数 得到方程组，通过方程组的解得到交点坐标，属于掌握层次； (2) 考察的是在平面 直角坐标系中三角形的面积，可采用割补法求得，属于应用层次．
【解】 (1) 直线y = -2x+ 3 与抛物线y = x2 相交与A ，B 两点，
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\ 解得：
又点A 在点B 的左边
\ A ( - 3 ，9) ，B (1 ，1) ；
(2)如右图，直线y = -2x+ 3 与y 轴交点为 C，点 C(0，3)，OC = 3 ，S OAB = S OAC + S OBC = xA OC + xB OC = 3 3 1 3 =6．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 4 帮扶性作业 (选做)
1 ．函数y = 2x2 的图象是_________ ，开口方向__________ ，对称轴__________ ，顶 点是__________；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_________，在对称轴的右侧， y 随x 的增大而_________．
【选题意图】本题考查二次函数的图象和基本性质.课时作业第 1-2 题全部做错的同学 请完成该题.
【解】函数y= 2x2 是二次函数，图象是一条抛物线，a = 2 > 0 ，开口向上.对称轴为y 轴，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧， y 随x 的增大而增大． 故本题正确答案依次为，抛物线，向上，y 轴，减小，增大．
2．已知二次函数y = -3x2 若点(－2，y1 )与(3，y2 )在此二次函数的图象上，则 y1 _____ y2 ；(填“> ”“＝”或“< ”) ，抛物线经过_________象限．
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【选题意图】本题考查二次函数增减性及经过的象限．课时作业第 3-4 题全部做错的 同学请完成该题．
【解】二次函数y= -3x2 的对称轴是y 轴，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，(－ 2 ，y1 )关于y 轴的对称点是(2 ，y1 )．
3 > 2 ，\ y1 > y2 ．
a = -3 < 0 ，\抛物线经过三四象限．
故本题正确答案依次为< ，三四．
3 ．已知二次函数y = x2 ．
(1) 判断点 A (2 ，4) 在二次函数图象上吗？
(2) 请分别写出点 A 关于x 轴的对称点 B 的坐标，关于y 轴的对称点 C 的坐标， 关于原点 O 的对称点 D 的坐标；
(3)点 B、C、D 在二次函数y= x2 的图象上吗？在二次函数y= -x2 的图象上吗？
【选题意图】本题考查二次函数的对称性以及点是否在函数图象上判断方法．课时作 业第 5-6 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 (1) 当x = 2 时，y = x2 = 4 ，所以 A (2 ，4) 在二次函数图象上；
(2) 点 A 关于x 轴的对称点 B 的坐标为 (2 ，-4) ，点 A 关于y 轴的对称点 C 的坐 标为 (-2 ，4) ，点 A 关于原点 O 的对称点 D 的坐标为 (-2 ，-4) ；
(3) 当x = -2 时，y = x2 = 4 ，所以 C 点在二次函数y = x2 的图象上； 当x = 2 时，y = -x2 = -4 ，所以 B 点在二次函数y = -x2 的图象上； 当x = -2 时，y = -x2 = -4 ，所以 D 点在二次函数y = -x2 的图象上．
4 ．已知：如下图，直线y= 3x+ 4 与抛物线y= x2 交于 A 、B 两点，求出 A 、B 两点的 坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
第 4 题图
【选题意图】本题考查二次函数与一次函数的综合应用.课时作业第7 题做错的同学
请完成该题．
【解】 由题意得 解得或
所以此两函数的交点坐标为 A(4 ，16)和 B(－1 ，1)．
∵直线y = 3x+ 4 与y 轴相交于点 C(0 ，4) ，即 CO＝4.
∴S△ACO＝ OC 4 = 8 ，S△BOC＝ 4 1 = 2 ，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10．
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第 3 课时 22. 1.3 二次函数y= ax2 + k 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1． 抛物线y = 2x2 - 3 的顶点在( )
A ．第一象限 B ．第二象限
C ． x 轴上 D ． y 轴上
【选题意图】本题考察学生对二次函数性质的认识，根据函数解析式得到顶点坐标.
【解】 二次函数顶点坐标为 (0 ，-3) ，\顶点在y 轴上．
故本题正确答案选 D．
2．对于二次函数y= 3x2 + 2 ，下列说法错误的是( )
A ．最小值为 2 B ．图象与x 轴没有公共
C ．当x < 0 时，y 随x 的增大而增大D．图象的对称轴是y 轴
【选题意图】本题考察学生对二次函数性质的认识，根据函数解析式得到最值、增减 性和对称性.
【解】根据二次函数解析式可知顶点坐标为 (0 ，2) ，
开口向上，\函数最小值为 2，
\A 、B 选项正确. 函数对称轴为y 轴，当x < 0 时，y 随着x 的增大而减小， 故 C 选项错误.D 选项正确.
故本题正确答案选 C．
3. 抛物线y = 2x2 + 1是由抛物线y = 2x2 ( )得到的．
A ．向上平移 2 个单位长度 B ．向下平移 2 个单位长度
C ．向上平移 1 个单位长度 D ．向下平移 1 个单位长度
【选题意图】图象的平移是学习二次函数的重点,通过本题让学生掌握二次函数图象 的平移方法.
【解】 y = 2x2 + 1 是由y= 2x2 平移得到，根据对函数解析式的观察可得到向上平移 1 个单位长度.也可根据平移口诀“上加下减”得到平移方向和距离.
故本题正确答案选 C．
作业 2 发展性作业
4．已知二次函数y = 3x2 + k 的图象上有 A( 1，y1 )，B(2，y2 )，C( -3 ，y3 )三点， 则y1 ，y2 ，y3 的大小关系是______________．
【选题意图】本题是利用函数图象比较大小，这一方面学生需要对图象有比较深的理 解，对一些学困生来说有难度，可以提高学生对图象的深入理解.
【解】 y = 3x2 + k 的对称轴为y 轴，开口向上，\抛物线上的点离对称轴越远函数 值越大.
点 A 离对称轴 1 个单位长度，点 B 离对称轴 2 个单位长度，点 C 离对称轴 3 个单 位长度，\ y3 > y2 > y1 ．
故本题正确答案为y3 > y2 > y1 .
5．写出一个顶点坐标为(0，-3)，开口方向与抛物线y= x2 的方向相反，形状相同的 抛物线解析式.
【选题意图】本题注重学生对图象和性质的完全掌握，要做到“脑中有图，心中有性 质”.
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【解】所求抛物线的开口大小与y= x2 相同，开口方向与y= x2 相反，\所求抛物线
的a = -1 ，又抛物线经过顶点 (0 ，-3) ，\抛物线的解析式为y = -x2 - 3 故本题正确答案为y= -x2 - 3 ．
6．(1)抛物线y = -2x2 + 3 的顶点坐标是__________ ,对称轴__________，在______ 侧， y 随着x 的增大而增大；在________侧，y 随着x 的增大而减小，当 x =_______ 时，函数y 的值最大，最大值是_______,它是由抛物线y= -2x2 向____平移_____ 个单位长度得到．
(2) 抛物线y= x2 - 5 的顶点坐标是_________，对称轴是________,在对称轴的左 侧，y 随着x 的_____________；在对称轴的右侧，y 随着x 的________，当x =____ 时，函数y 的值最小，最小值是______________．
【选题意图】本题需要填的空很多，需要学生完全掌握二次函数的图像和性质.
【解】 (1) 根据函数的性质再结合函数的草图易知答案依次为顶点坐标为 (0 ，3) ， 对称轴是y 轴，y 轴左，y 轴右，0，3，上，3.
(2) 根据函数的性质再结合函数的草图易知答案依次为顶点坐标为 (0 ，-5) ，对称 轴是y 轴，增大而减小，增大而增大，0，-5.
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 3 帮扶性作业 (选做)
1 ．抛物线y = x2 - 3 的对称轴是_______ ；顶点坐标是_______ ；当_______时，y 随x 的增大而减小．
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【选题意图】本题考察学生对二次函数y= ax2 + k (a 0) 性质中对称轴、顶点坐标及 增减性，属于理解部分．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题．
【解】根据二次函数y= ax2 + k 的性质可知对称轴是y 轴；顶点坐标是 ( 0 ，-3 ) ； a = 1 > 0 ，\当x < 0 时，y 随x 的增大而减小．
故本题正确答案： y 轴， ( 0 ，-3 ) ，x < 0 ．
2 ．函数y = -x2 + 1 ，当x _______时，函数y 有最大值，最大值y 是_______ ；其图象 与与x 轴的交点坐标是_______．函数y = -x2 + 1 经过_______得到抛物线y = -x2 ．
【选题意图】本题考察二次函数y= ax2 + k (a 0) 性质中的最值，函数与坐标轴交点 以及二次函数的平移，属于理解部分．课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题.
【解】 a = -1 < 0 ，\二次函数y = -x2 + 1 有最大值，当x = 0 时，最大值y 是 1 ；函 数图象与x 轴相交时y = 0 ，把y = 0 代入函数y = -x2 + 1 中得，-x2 + 1 = 0 ，解得： x1 = -1, x2 = 1 ，\ 图象与与x 轴的交点坐标是 ( - 1 ，0) 与 (1 ，0) ；根据二次函数图
象平移的规律可知，函数y= -x2 + 1 经过向上平移 1 个单位得到抛物线y= -x2 ． 故本题正确答案： x = 0 ，1 ， ( - 1 ，0) 与 (1 ，0) ，向上平移 1 个单位．
3．已知二次函数y = ax2 + c ，当x 取x1 ，x2 ( x1 x2 ) 时，函数值相等，则当x = x1 + x2
时，其函数值为________．
【选题意图】本题虽然还是考察学的对二次函数y= ax2 + k 性质的认识，但是由于二 次项系数a 和常数项c 没有给出具体数字，所以学生在解题时会出现无从下手的状况， 学生要解决本题需掌握二次函数y= ax2 + k 的图象是关于 y 轴对称的，因此左右两部 分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．课时作业第 5-6 题全 部做错的同学请完成该题．
【解】 由二次函数y = ax2 + k 图象的性质可知，x1 ，x2 关于y 轴对称，即x1 + x2 = 0 ．
把x = 0 代入二次函数y = ax2 + c 表达式中得，y = a 02 + c = c ．
故本题正确答案： c ．
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第 4 课时 22. 1.3 二次函数y = a(x - h)2 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1．抛物线y = -5(x - 2)2 的顶点坐标是( )
A ． (－2，0) B ． (2，0)
C ． (0，－2) D ． (0，2)
【选题意图】本题考查学生对y= a(x - h)2 的性质中顶点坐标的认识．
【解】 二次函数解析式为y = -5(x - 2)2 ，\抛物线的顶点坐标为 (2,0)
故本题正确答案选B．
2．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x = -2 的是( )
A ． y = (x + 2)2 B ． y = 2x2 - 2
C ． y = -2x2 - 2 D ． y = 2(x - 2)2
【选题意图】本题考查学生对y= a(x - h)2 的性质中对称轴的认识．
【解】根据y= a(x - h)2 的性质可知，A选项的对称轴为直线x = -2 ，A选项正确； 根据y= ax2 + k 的性质可知，B选项的对称轴为y 轴，B选项不正确；根据y= ax2 + k
的性质可知C选项的对称轴是y 轴，C选项不正确；根据y= a(x - h)2 性质可知，D
选项的对称轴是直线x = 2 ，D选项不正确．
故本题正确答案选A．
3 ．把抛物线y= x2 平移得到抛物线y= (x + 2)2 ，则这个平移过程正确的是( )
A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度
C ．向上平移2个单位长度 D ．向下平移2个单位长度
【选题意图】本题是让学生能够掌握二次函数图象的平移方法，图象的平移也是 学习二次函数的重点.
【解】把抛物线y= x2 的顶点坐标为 ( 0 ， 0 ) ，抛物线y= (x + 2)2 的顶点坐标为 ( -2 ， 0 ) ，则由抛物线y= x2 的图像向左平移2个单位长度即可得到抛物线
y = (x + 2)2 .
故本题正确答案选A．
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作业 2 发展性作业
4．二次函数y = -3(x - 5)2 的图象可由抛物线y = -3x2 沿___轴向___平移___个单位 得到，它的开口向___,顶点坐标是_______,对称轴是_________.当x =___时， y 有最____值.当x ___5 时，y 随x 的增大而增大；当x ___5 时，y 随x 的增大
而减小．
【选题意图】本题综合考查了y= a(x - h)2 的顶点、开口方向、对称轴、增减性和 平移，需要学生掌握对二次函数的性质．
【解】 y = -3x2 的顶点坐标是 ( 0 ，0 ) ，抛物线y = -3(x - 5)2 的顶点坐标为 (5,0)， \抛物线y= -3(x - 5)2 的图像可由y= -3x2 的图像向右平移 5 个单位长度得
到. a = -3 < 0 ，\抛物线的开口方向向下；对称轴为直线x = 5 ；当x = 5 时，y 有最 大值为 0；当x < 5 时，y 随x 的增大而增大；当x > 5 时，y 随x 的增大而减小.
故本题正确答案依次为： x ，右，5，下， (5，0) ，直线x = 5 ，5，大，< ，> .
5．已知函数y = -(x - 1)2 图象上两点A(2, y1 ) ，B(a, y2 ) ，其中a > 2 ，则y1 与y2 的
大小关系是y1 ___y2 ． (填“ < ”“ > ”或“ = ”)
【选题意图】本题考查函数的增减性， B 点坐标a 的值不知道，\学生通过直接 求出函数值比较大小是行不通的，需要学生掌握函数的增减性才能做出来.
【解】抛物线y = -(x - 1)2 的对称轴为直线x = 1 ， a = -1 < 0 ，\当x > 1 时，y 随x
的增大而减小，又 a > 2 > 1 ，\ y2 < y1 ．
故本题正确答案为： >
6．抛物线y = a(x + h)2 的对称轴是直线x = -2 ,且过点(1,-18).
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求抛物线的顶点坐标；
(3) 当x 为何值时,y 随x 的增大而增大
【选题意图】本题是对二次函数性质的综合考查，属于二次函数性质的综合应用 层次.
【解】 (1) 抛物线的对称轴是直线x = -2 ，\ h = 2 ，
又抛物线经过点 (1 ，- 18)
可得a(1+ 2)2 = -18 ，解得a = -2 ，\抛物线的解析式为y = -2(x + 2)2 ；
(2) 由抛物线的解析式y = -2(x + 2)2 可知顶点坐标为 (-2,0) .
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(3) 抛物线的对称轴是直线x = -2 ， a = -2 < 0 ，
\当x < -2 时，y 随x 的增大而增大.
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 3 帮扶性作业 (选做)
1．二次函数y = 2(x - )2 图象的对称轴是_________；顶点是_________.
【选题意图】本题考察学生对y= a(x - h)2 性质中对称轴和顶点坐标的认识，属于
理解层次.课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题.
【解】根据二次函数y= 2(x - )2 的性质可知，对称轴为x = ，顶点坐标为 ( ，
0) ．
2．抛物线y= ax2 向右平移 3 个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．
【选题意图】本题考察学生对二次函数平移和点在函数图象上的认识，属于理解 层次．课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
【解】二次函数y= ax2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为
第 25 页 共 82 页
y = a(x - 3)2 ，把x = -1 ，y = 4 代入，得4 = a(-1- 3)2 ，解得： a = ∴平移后二次函数关系式为y= (x - 3)2 ．
3．若 (- ，y1 ) ， (- ，y2 ) ， ( ，y3 ) 为二次函数y = (x - 2)2 图象上的三点， 则y1 ，y2 ，y3 的大小关系为_________.
【选题意图】本题考察二次函数y= a(x - h)2 的增减性，由于给出的三个点不在对
称轴的同一侧，所以直接应用函数的增减性无法解决，学生可以根据函数的对称 性把点转化到对称轴的同一侧或者利用这些点离对称轴的距离同时结合函数开口 方向来解决，属于应用层次.课时作业第 5-6 题全部做错的同学请完成该题.
【解】 二次函数y = (x - 2)2 的对称轴为x = 2 ，
\ ( ，y3 ) 关于对称轴的对称点为 ( ，y3 ) ，
当x < 2 时，y 随x 的增大而减小，
又 - < -< ，
\ y1 > y2 > y3 .
故本题答案为：y1 > y2 > y3 .
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第 5 课时 22. 1.3 二次函数y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1．对于抛物线y = -(x - 2)2 + 6 ，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x = 2 ；③顶点坐标为(2，6) ；④当x > 2 时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有 ( )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【选题意图】本题考查学生对y= a(x - h)2 + k 性质的了解和掌握，属于掌握层次.
【解】 a = -< 0 ，\抛物线的开口向下，①正确；抛物线的对称轴为直线x = 2 ， ②正确；抛物线的顶点坐标为 (2，6) ，③正确； a = -< 0 ，\抛物线的开口 向下，又抛物线的对称轴为直线x = 2 ，\当x > 2 时，y 随x 的增大而减小，④
正确.
故本题正确答案选 D.
2．将抛物线y= x2 向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为
( )
A. y = (x + 2)2 + 3 B.y = (x - 2)2 + 3
C. y = (x + 2)2 - 3 D.y = (x - 2)2 - 3
【选题意图】平移是二次函数的重要性质，本题考查了学生对二次函数平移的规 则的掌握，属于理解层析．
【解】 抛物线y= x2 的顶点坐标为 (0,0) ，把点 (0,0) 向右平移 2 个单位，再 向上平移 3 个单位后得顶点坐标 (2,3) ，又平移前后不改变a 的值，\平移后 抛物线的解析式为y = (x - 2)2 + 3 ．
故本题正确答案选 B.
3．设 A(－2，y1 )，B(1，y2 )，C(2，y3 )是抛物线y = -(x + 1)2 + a 上的三点，则y1 ，
y2 ，y3 的大小关系为( )
A ． y1 > y2 > y3 B ． y1 > y3 > y2
C ． y3 > y2 > y1 D ． y3 > y1 > y2
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【选题意图】本题考查了二次函数的增减性，且所给三点不在对称轴的同一侧， 需要学生利用对称性专成同一侧来解决，本次属于应用层次．
【解】 a = -1 < 0 ，\抛物线的开口向下,又抛物线的对称轴是直线x = -1 ，\抛 物线上的点离直线x = -1 越近函数值越大.点 A(－2，y1 )，B(1，y2 )，C(2，y3 )离
直线x = -1 的距离分别为 1 个单位长度，2 个单位长度，3 个单位长度，\ y1 > y2 > y3 故本题正确答案选 A．
作业 2 发展性作业
4．已知二次函数y= a(x - 1)2 - c 的图象如图所示，则一次函数y= ax + c 的大致图 象可能是( )
第 4 题图
【选题意图】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，是一种常考题型，解 决本题的关键需要学习掌握二次函数与一次函数的性质，本题属于应用层次．
【解】根据二次函数开口向上，则a > 0 ，根据-c 是二次函数顶点坐标的纵坐标， 得出 c＞0 ，故一次函数y= ax + c 的大致图象经过第一、二、三象限．
故本题正确答案选 A．
5．如果一条抛物线的形状与y= -2(x + 2)2 + 3 开口大小及开口方向都相同，且顶点
坐标是 (4，-2) ，试求这个函数关系式.
【选题意图】本题考查学生对二次函数性质的掌握，二次函数中开口大小和开后 方向都是由a 决定，由顶点坐标需要学生能写出抛物线的解析式，本题属于掌握层 次．
【解】两条抛物线的开口大小及开口方向都相同，\ a = -2 . 抛物线的顶点坐标 为 (4 ，-2) ，设抛物线的解析式为y = a(x - h)2 + k(a 0) ，\ h = 4, k = -2 ，\抛
物线的解析式为y = -2(x - 4)2 - 2 ．
6 ．要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷 水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高, 高度为 3m,水柱落地处离池中心 3m,水管应多长
【选题意图】本题是有关二次函数的实际应用，通过本题让学生知道数学来源自 生活，同时也能解决生活中的问题.喷水池中水流的形状是典型的抛物线，是常见
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考题.本题属于应用层次．
第 6 题图
【解】如上图建立直角坐标系,点 B( 1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛 物线对应的函数是y = a(x - 1)2 + 3(0 x 3) .
∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴0=a (3－1)2＋3.解得:a = -
因此抛物线的解析式为:y = -(x - 1)2 + 3(0 x 3)
当x = 0 时,y = 2.25 .
答:水管长应为2.25m．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
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作业 3 帮扶性作业 (选做)
1．已知一个二次函数图象的顶点为 A(-1,3),且它是由二次函数y= 5x2 平移得到， 请直接写出该二次函数的解析式.
【选题意图】本题考察学生对二次函数y= a(x - h)2 + k 中顶点坐标及平移的认识， 属于理解层次．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 二次函数图象的顶点为 A(-1,3)\设该二次函数的解析式为y= a(x + 1)2 + 3 ，
又该二次函数的图象是由二次函数y= 5x2 平移得到，\ a = 5
\该二次函数的解析式为y = 5(x + 1)2 + 3 ．
2．已知二次函数y = a(x - 1)2 - 4 的图象经过点(3，0)．
(1)求a 的值；
(2)若 A(m ，y1 )、B(m ＋n ，y2 ) (n＞0)是该函数图象上的两点，当y1 = y2 时，
求 m 、n 之间的数量关系．
【选题意图】本题考察点在二次函数图象上求函数解析式的系数及根据函数的对 称性，在考察函数对称性时点 A ，B 的坐标使用了字母来表示增加了难度.属于应 用层次．课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 (1) 二次函数y = a(x - 1)2 - 4 的图象经过点(3，0),
\把x = 3 ，y = 0 代入函数y = a(x - 1)2 - 4 中，得a(3 - 1)2 - 4 = 0 ，解得a = 1 \ a 的值为 1；
(2) 二次函数是轴对称图形，又 y1 = y2 ，
\① m = m + n ，解得n = 0 (不符合题意，舍去) ，② m + m + n = 0 ，解得2m+ n = 0 (符合题意) ，\m 、n 之间的数量关系为:2m+ n = 0 .
3．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为 1m 的喷水管喷出的抛物 线水柱最大高度为 3m ，此时距喷水管的水平距离为 m ，求在如图所示的平 面直角坐标系中抛物线水柱的函数解析式 (不要求写出自变量的取值范围) ．
第 3 题图
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【选题意图】本题考察二次函数的实际应用，属于应用层次.学生需要在已经建立 的坐标系中把数量关系转化为点的坐标，再设出合适的解析式从而求解．课时作 业第 5-6 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 由题意知点 ( ，3) 是抛物线的顶点，
\可设抛物线的函数解析式为y= a(x - )2 + 3 ．
抛物线经过点 (0，1) ，
\ 1 = (0 - )2 × a + 3 ，解得a = -8 ．
\抛物线的函数解析式为y = -8(x - )2 + 3 ．
第 6 课时 24. 1.4 二次函数y = ax2 +bx + c 的图象和性质
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1．下列对二次函数y= x2 - x 的图象描述，正确的是 ( )
A. 开口向下 B.对称轴是y 轴
C. 经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
【选题意图】本题要求学生会从二次函数的一般式的角度来分析二次函数的性质，加深对性 质的理解和运用，本题属于理解层次.
【解】 a = 1 < 0 ，\抛物线的开口向上，A 选项不正确；二次函数 y= x2 - x 的对称
(
2
1 2
，
)轴为直线 x = - - 1 = 1 B 选项不正确；把 x = 0 代入二次函数 y = x2 - x 中，得 y = 0 ，\
抛物线经过原点，C 选项正确； a = 1 < 0 ，抛物线的开口向上，\在对称轴右侧部分是 上升的，D 选项不正确.
故本题正确答案选 C．
2．已知二次函数y= -x2 + 2bx + c ，当x > 1 时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b
的取值范围是 ( )
A ．b - 1 B ．b - 1 C ．b 1 D ．b 1
【选题意图】本题考查学生对二次函数一般形式增加性的理解，同时本题解析式 中含有字母会给学生增加难度，需要学生掌握二次函数增减性的本质，本题属于 应用层次．
【解】 ∵二次项系数为－1＜0 ， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随x 值 的增大而减小，由题设可知，当x > 1 时，y 的值随x 值的增大而减小， ∴抛物线
y = -x2 + 2bx + c 的对称轴应在直线x = 1的左侧而抛物线y= -x2 + 2bx + c 的对称轴
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x = - = b ，即b 1．
故本题正确答案选 D．
3 ．二次函数y= ax2 + bx + c 的图象上部分点的坐标(x, y) 的对应值列表如下：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则该函数图象的对称轴是 ( )
A.直线x = -3 B.直线x = -2 C.直线x = -1 D.直线x = 0
【选题意图】本题是让学生掌握能够利用表格给出坐标的特征来找出对称轴，进 一步考察和了解学生对二次函数性质的掌握程度．
【解】观察表格可知，x = -3 和x = -1 时y 的值都是-3 ，\根据函数的对称性可知
函数的对称轴为x = = -2 ，
故本题正确答案选 B .
作业 2 发展性作业
4．对于抛物线y = ax2 + (2a- 1)x + a - 3 ，当x = 1时， y > 0 ，则这条抛物线的顶点
一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【选题意图】本题是考查抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性 及最值等，尤其是在x 的某一范围内函数值的取值范围，更是常考知识点．
【解】把x = 1代入y = ax2 + (2a- 1)x + a - 3 中，得y = a + (2a- 1) + a - 3 = 4a- 4 > 0 ，
\ a > 1 ，顶点坐标为(- , ) ，x = - = -= < 0 ，
b = = = - < 0 ，\顶点坐标在第三象限.
故本题正确答案选 C．
5．将抛物线y= x2 - 6x+ 21 向左平移 2 个单位长度后 ，得到新抛物线的函数解析 式为 ( )
A. y = (x - 8)2 + 5 B. y = (x - 4)2 + 5
C. y = (x - 8)2 + 3 D. y = (x - 4)2 + 3
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【选题意图】本题是让学生进一步熟练掌握把二次函数的一般式y= ax2 + bx + c 化
成顶点式，加深对配方法和公式法的理解和运用，培养学生思维的灵活性、开放 性，并让学生感受到解决问题的多样化，再根据抛物线的平移规律解题．
【解】 ∵ y = x2 - 6x+ 21= (x - 6)2 + 3 ，又∵将抛物线向左平移 2 个单位长度， ∴ y = (x - 6 + 2)2 + 3 = (x - 4)2 + 3 ，
∴故本题正确答案选 D.
6 ．已知二次函数y = -x2 + 4x+ 7 .
(1) 写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2) 说明该函数图象有哪些性质 (至少两条) .
【选题意图】 (1) 本小题是让学生掌握如何运用配方法将二次函数的一般式与顶 点式进行转化，从而找出二次函数的对称轴和顶点坐标，渗透配方和转化的思想 方法， (2) 本小题属于开放性题目，答案不唯一，需要学生在学习时多思考，勤 观察.
【解】 (1) y = -x2 + 4x + 7 = -(x2 - 4x) + 7 = -(x2 - 4x + 4 - 4) + 7 = -(x - 2)2 + 11 \ a = -1 < 0 ，抛物线的开口向下，对称轴为直线x = 2 ，顶点坐标为 (2, 11)
(2) 当x > 2 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x = 2 时，y 有最大值为 11．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
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错因
作业 3 帮扶性作业 (选做)
1 ．将二次函数y = -3x2 - 18x- 22 写成顶点式y = a(x - h)2 + k 的形式 ，并写出其开 口方向、顶点坐标、对称轴．
【选题意图】注意 h 值的符号 ，配方法是数学的一个重要方法 ，需多加练习 ，熟
练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．课时作业第 1-2 题全部做错 的同学请完成该题．
【解】 y = -3x2 - 18x- 22
= -3(x2 + 6x) - 22
= -3(x2 + 6x+ 9 - 9) - 22
= -3(x + 3)2 + 5
∴此抛物线的开口向下 ，顶点坐标为(－3 ，5) ，对称轴是x = -3 ．
2．在二次函数y= x2 - 2x- 3 中，当0 x 3 时，y 的最大值和最小值分别是多少？
【选题意图】本题考察二次函数的最值，由于一次函数求最值的经验会使学生认 为二次函数的最值也在端点值，本题需要学生掌握当对称轴在给定范围内时，顶 点的纵坐标就是最值．课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
【解】.二次函数y = x2 - 2x- 3 = (x - 1)2 + 4 ，
a = 1 > 0 ，二次函数开口向上，又 0 x 3 ，
\ 当x = 1 时，y 取最小值，ymin = 4 ，
当x = 3 时，y 取最大值，ymax = 8 ，
\ y 的最大值为 8，最小值为 4．
3．用总长为 60 m 的篱笆围成的矩形场地 ，矩形面积y 随矩形一边长x m 的变化而 变化， (1) y 与x 有何函数关系？ (2) 举一例说明y 随x 的变化而变化？ (3)
怎样求y 的最大值呢？
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【选题意图】二次函数在几何方面的应用特别广泛 ，要注意自变量的取值范围的
确定 ，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．课时作业第 5-6 题全部做错的
同学请完成该题.
【解】(1)根据矩形的面积公式y = x(30- x) = -x 2 + 30x = -(x - 15)2 + 225(0 < x < 30) ；
(2) 当x = 10 时，y = 200 ；当x = 15 时， y = 225 ；
(3) a = -1 < 0 ， ∴函数y 有最大值， ∴当x = 15 时 ，ymax = 225 ．
第 7 课时 24. 1.4 用待定系数法求二次函数的解析式
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1．抛物线y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 (-1，3) ，且过点 (0，5) ，那么二次函 数y = ax2 + bx + c 的解析式为 ( )
A.y = -2x2 + 4x+ 5 B. y = 2x2 + 4x+ 5
C. y = -2x2 + 4x - 1 D. y = 2x2 + 4x + 3
【选题意图】本题考查学生二次函数解析式的顶点式，以及顶点式转化为一般式， 让学生根据题目条件自主选择最合适的函数解析式的表达形式.
【解】 抛物线的解析式的顶点坐标为 (- 1 ，3) ，\可设该抛物线的解析式为 y = a(x + 1)2 + 3 ，又该抛物线经过点 (0 ，5) ，\可得a + 3 = 5 ，解得a = 2
抛物线的解析式为y = 2(x + 1)2 + 3 = 2x2 + 4x+ 5 ．
故本题正确答案选 B．
2．抛物线与x 轴交点的横坐标为-2 和 1，且过点 (2，8) ，它的关系式为 ( )
A. y = 2x2 - 2x - 4 B. y = -2x2 + 2x - 4
C. y = x2 + x - 2 D. y = 2x2 + 2x - 4
【选题意图】本题考查学生二次函数解析式的交点式，以及交点式转化为一般式， 让学生根据题目条件自主选择最合适的函数解析式的表达形式.
【解】 抛物线与x 轴交点的横坐标为-2 和 1，\可设该抛物线的解析式为 y = a(x + 2)(x - 1) ，又该抛物线经过点 (2 ，8) ，\可得a 4 1 = 8 ，解得a = 2
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抛物线的解析式为y = 2(x + 2)(x - 1) = 2x 2 + 2x- 4 ．
故本题正确答案选 D．
3．已知二次函数的图象过 (1，0) ， (－1，－4) 和 (0，－3) 三点，你能求出
这个二次函数的解析式吗？
【选题意图】本题让学生知道根据二次函数图象上的三个点能够设二次函数的一 般形式y= ax2 + bx + c (a 0) ,然后将三点代入采用解三元一次方程组的方法来解 出a 、b 、c .既让学生掌握了二次函数解析式求法，又让学生回顾了方程组的解法．
【解】设这个二次函数的解析式为y = ax2 + bx + c (a 0) ，把 (1,0) ， (-1，-4)
和 (0，-3) 代入y = ax2 + bx + c 中，得
解得：
c = -3 ， c = -3
\这个二次函数的解析式为y= x 2 +2x- 3 .
作业 2 发展性作业
4．已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x = -2 ，最高点的纵坐标为 4，
求：该二次函数解析式． .
【选题意图】本题是让学生学会根据题目的条件并且结合函数的图象，选择适当的方法来解决 二次函数的解析式求法问题，这样让学生了解对于不同类型的问题有不同的解答方案，有利于
活跃学生的思维，养成善于总结的习惯.
【解】 ∵二次函数的图象对称轴是直线x = -2 ，最高点的纵坐标为 4，
∴抛物线的顶点坐标为 (-2 ，4) ，
∴设y = a(x + 2)2 + 4(a 0) ，
∵二次函数的图象经过原点，
∴代入 (0 ，0) 点，则有0 = a(0 + 2)2 + 4 ，解得a = -1，
∴二次函数解析式为： y = -x2 - 4x ．
5．二次函数的图象与x 轴的交点坐标是 (1，0) ， (3，0) ，且函数有最小值-5，
求二次函数的解析式．
【选题意图】本题是让学生学会根据题目的条件并且结合函数的图象，选择适当 的方法来解决二次函数的解析式求法问题，这样让学生了解对于不同类型的问题 有不同的解答方案，有利于活跃学生的思维，养成善于总结的习惯．
【解】 ∵二次函数的图象与x 轴的交点坐标是 (1 ，0) ， (3 ，0) ， ∴设抛物线的解析式为y = a(x - 1)(x - 3)(a 0)
∵函数有最小值-5，
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∴二次函数的顶点坐标为 (2 ，-5) ，
∴ a(2 - 1)(2 - 3) = -5 ，解得a = 5 ，
∴二次函数的解析式为： y = 5(x - 1)(x - 3) = 5x 2 - 20x+ 15 ．
6．如右图,已知抛物线与x 轴的交点为 A,B(3,0),与 y 轴的交点为 C(0,3),且经过 点 D(4,-5).
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△ABC 的面积.
(
C
A
B
)
第 6 题图
【选题意图】本题对所学知识进行拓展提升，是对基础知识的提高和应用，培养 学生的实际应用能力，提升思维能力．
【解】 (1) 设这个二次函数的解析式为y = ax2 + bx + c (a 0) ，把 B (3,0) ，C
(0,3) 和 D (4，-5) 代入y = ax2 + bx + c 中，得
解得：
16a + 4b + c = -5 ， c = 3
\这个二次函数的解析式为y= -x2 + 2x+ 3 ；
(2) 令y = 0 ，得-x2 + 2x+ 3 = 0 ，解得x1 = -1, x2 = 3
∴点 A (- 1 ，0)
SDABC = AB OC = [3 (- 1)] 3 6 ．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
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作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 3 帮扶性作业 (选做)
1 ．已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x = -2 ，最高点的纵坐标为 4， 求：该二次函数解析式．
【选题意图】顶点坐标用不同的方式给出时，如何引导学生采用顶点式解答，这 样让学生了解对于不同类型的问题有不同的解答方案，有利于活跃学生的思维， 养成善于总结的习惯．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 ∵二次函数的图象对称轴是直线x = -2 ，最高点的纵坐标为 4，
∴抛物线的顶点坐标为 (-2 ，4) ，
∴设y = a(x + 2)2 + 4(a 0) ，
∵二次函数的图象经过原点，
∴代入 (0 ，0) 点，则有0 = a(0 + 2)2 + 4 ，解得a = -1，
∴二次函数解析式为： y = -x2 - 4x ．
2 ．已知抛物线的顶点坐标为 (20 ，16) ，且经过点 (0 ，0) ， (40 ，0) .求抛物
线的函数解析式．
【选题意图】通过设疑，激发学生的学习兴趣，运用所学知识，从不同的角度进 行解答，既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性，又培养了学生深层次的 思维能.课时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
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(
a
4
0
2
+
b
40
+
c
=
0
c
=
0
)
【解】设抛物线的函数解析式为y = ax2 + bx + c (a 0) ．
因为抛物线经过 (0 ，0) ， (20 ，16) ， (40 ，0) 三点 ，
(
5
)所以可得方程组02 + b 20+ c = 16 ，解得
所以抛物线的函数解析式为y= -x2 + x ．
3 ．已知抛物线y = x2 + bx + c 经过 A (- 1 ，0) ，B (3 ，0) 两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求抛物线的顶点坐标；
(3) 若点 Q 为抛物线上一点，且S QAB = 10 ,求出此时点 Q 的坐标．
【选题意图】本题考察用待定系数法求二次函数一般式的方法，一般式如何转化 为顶点式以及在二次函数中解决三角形面积问题.前两问属于理解层次，第三问属 于应用层次．课时作业第 5-6 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 (1) 抛物线y = x2 + bx + c 经过 A (- 1 ，0) ，B (3 ，0) 两点，
\ 解得
\抛物线的解析式y = x2 - 2x- 3 ；
(2) y = x2 - 2x - 3 = (x - 1)2 - 4 ，
\抛物线的顶点坐标 (1 ，-4) ；
(3) A (- 1 ，0) ，B (3 ，0) ，\AB=4，
设 Q ( x ，y ) 则S QAB = AB× y = 2 y = 10 ，
\ y = 5 ，\ y = ±5 ．
当y = 5 时，x2 - 2x- 3 = 5 ，解得x1 = -2 ，x2 = 4 ，
此时 Q 点坐标为 (-2,5) 或 (4 ，5) ；
当y = -5 时，x2 - 2x- 3 = -5 ，方程无实数解；
综上所述，Q 点的坐标为 (-2,5) 或 (4 ，5) ．
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第 8 课时 22.2 二次函数和一元二次方程的关系
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1.抛物线y= ax2 + bx + c (a 0) 的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0( a 0)根的情况是 ( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．有两个实数根 D ．没有实数根
【选题意图】本题旨在考查二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与 x 轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况有关．
【解】如图， ∵抛物线y = ax2 + bx + c (a 0) 与x 轴没有交点，
∴一元二次方程ax2 + bx + c = 0没有实数根．
故选：D．
2 ．下列表格是二次函数y = ax2 + bx + c 中x 与y的对应值，则方程ax2 + bx + c = 0 ( a 、 b 、c 为常数，a 0 ) 的一个近似解是 ( )
x 6. 17 6. 18 6. 19 6.20
y = ax2 + bx + c 0.03 0.01 0.02 0.06
A ．6. 17 B ．6. 18 C ．6. 19 D ．6.20
【选题意图】本题旨在考查图象法求一元二次方程的近似解，体现了二次函数与
一元二次方程间的紧密关系，掌握图象法求一元二次方程的近似解是关键．
【解】当 x=6. 18 时，y=－0.01＜0；当 x=6. 19 时，y=0.02＞0．所以方程在－0.01 和 0.02 之间有解，
∵－0.01 更接近于 0
∴方程的一个近似解为 6. 18．
第 40 页 共 82 页
故选：B．
3 ．直线y = 4x+ 1 与抛物线y = x2 + 2x+ k 有唯一交点，则k 是 ( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．- 1
【选题意图】本题旨在考查二次函数与一次函数的交点个数的判断，把一次函数 代入二次函数的解析式，要求能将两个函数图象的相交问题转化为一元二次方程 的根的判断问题．
【解】直线y = 4x+ 1 与抛物线y = x2 + 2x+ k 有唯一交点，则把y = 4x+ 1 代入二次函数 的解析式，得到的关于x 的方程中，判别式△＝0 ，据此即可求解．根据题意得： x2 + 2x + k = 4x + 1 ，即x2 - 2x + (k - 1) = 0 ，则△= 4-4(k -1)= 0 ，解得： k = 2 ．
故选：C．
作业 2 发展性作业
4 ． 抛 物 线 y= x2 + bx + 3 的 对 称 轴 为 直 线 x = 1 ． 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程
x2 + (b +2)x + 3 - t = 0 (t 为实数) 在-1 < x < 4 的范围内有实数根，则t 的取值范
围是 ( )
A ． 3 t < 19 B ． 2 t 15 C ． 6 < t < 11 D ． 2 t < 6
【选题意图】本题旨在考查利用抛物线对称轴的基础知识求二次函数中待定系数 的值和用参数表示一元二次方程的解.
【解】 ∵抛物线y = x2 + bx + 3 的对称轴为直线x = 1，
∴ - = 1 ，解得b = -2 ，
∴关于x 的一元二次方程x2 + (b +2)x + 3 - t = 0 (t 为实数) 化为x2 = t - 3 ，
∵关于x 的一元二次方程x2 + (b +2)x + 3 - t = 0 (t 为实数) 在-1 < x < 4 的范围内有 实数根，
∴ t - 3 > 0 且 < 4 或t - 3 > 0 且- > -1 ，
解得3 t < 19 或3 t < 4 ，
综上所述，t 的范围为3 t < 19 ．
故选：A．
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5．若抛物线y= ax2 + bx + c (a 0) 的对称轴为直线x = 3 ，且与x 轴的一个交点坐标
为 (5 ，0) ，则一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的根为___________．
【选题意图】本题旨在考查会利用抛物线的对称性求抛物线与 x 轴的交点，并转
化为对应方程的解．
【解】 ∵抛物线的对称轴为直线x = 3 ，且与x 轴的一个交点坐标为 (5 ，0) ， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 (1 ，0) ，
又∵抛物线y= ax2 + bx + c 与 x 轴的交点的横坐标为方程ax2 + bx + c = 0 的根， ∴方程ax2 + bx + c = 0 的根为x1 = 5, x2 = 1．
故答案为： x1 = 5, x2 = 1．
作业 3 探究性作业 (选做)
6 ．已知二次函数y = a(x - m)2 - a(x - m) ( a ，m 为常数，且a 0 ) ．
(1) 求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；
(2)设该函数的图象与x 轴的两个交点为 A( x1 ，0)，B( x2 ，0)，且x + x = 25 ，
求m 的值；
【选题意图】本题旨在考查学生对二次函数的综合运用能力，主要利用了根的判 别式、三角形的面积公式等知识，把 (x-m ) 看作一个整体求解更加简便．
【解】 (1) 证明：把(x - m) 看作一个整体，令y = 0 ， a(x - m)2 - a(x - m) = 0 ，
△= (-a)2 - 4a 0 = a2 ， ∵ a 0 ， ∴ a2 > 0 ，
∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；
(2) y = 0 ，则a(x - m)2 - a(x - m) = a(x - m)(x - m - 1) = 0 ，
解得x1 = m, x2 = m + 1 ， ∵ x + x = 25 ， ∴ m2 + (m + 1)2 = 25 ，解得m1 = -4, m2 = 3 ． 故m 的值为-4 或 3．
二、评价设计
三、时间要求 (20 分钟以内)
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作业评价表
评价指标 等级 备 注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程错误、或无过程。
答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
错因
作业 4 帮扶性作业 (选做)
1 ．二次函数y = ax2 + bx + c(a 0) 的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
第 1 题图
(1) 方程ax2 + bx + c = 0 的实数根是___________；
(2) 若方程ax2 + bx + c = k 无实数根，则k 的取值范围___________．
【选题意图】本题旨在考查二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根，即为抛物线与x 轴的交点的横坐标；方程ax2 + bx + c = k 有无 实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．课时作业第 1-2 题全部做错的同学请完成该题．
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【解】 (1) 观察图象可知，方程ax2 + bx + c = 0 的根，即为抛物线与x 轴交点的横坐 标，
∴ x1 = 0 ，x2 =2．
(2) 由图象可知，k > 2 时，方程ax2 + bx + c = k 无实数根．
2 ．关于x 的二次函数y= (m - 2)x 2 - 2x+ 1 的图象与x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是___________．
【选题意图】本题旨在考查二次函数图象与x 轴交点个数问题，解题关键是明确当 Δ＞0 时，抛物线与x 轴有两个不同的交点，同时还要注意对平方项系数的分析．课
时作业第 3-4 题全部做错的同学请完成该题．
【解】 ∵关于x 的二次函数y= (m - 2)x 2 - 2x+ 1 与x 轴有两个不同的交点， ∴关于x 的一元二次方程(m - 2)x2 - 2x+ 1 = 0 有两个不同的解，
∴ Δ＝ (-2)2 - 4(m - 2) 1 > 0 ，且m - 2 0 ，
解得： m < 3 且m 2 ．
故答案为： m < 3 且m 2 ．
3 ．抛物线y = a(x - h)2 + k 经过 ( ﹣ 1 ，0) ， (5 ，0) 两点，则关于x 的一元二次 方程a(x - h +1)2 + k = 0 的解是_____．
【选题意图】本题旨在考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征， 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．课时作业第 5-6 题全部做 错的同学请完成该题．
【解】将抛物线y= a(x - h)2 + k 向左平移一个单位长度后的函数解析式为 y = a(x - h + 1)2 + k ，
∵抛物线y = a(x - h)2 + k 经过 ( ﹣ 1 ，0) ， (5 ，0) 两点，
∴所以方程a(x - h +1)2 + k = 0 的解是x1 = -2 ，x2 = 4 ，
故答案为： x1 = -2 ，x2 = 4 ．
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第 9 课时 22.2 用二次函数的图像解一元二次方程 (不等式)
一、作业内容
作业 1 基础性作业
1 ．已知抛物线y = a(x - h)2 + k 与x 轴有两个交点 A ( ﹣ 1 ，0) ，B (3 ，0) ，抛物线 y = a(x - h - m)2 + k 与x 轴的一个交点是 (4 ，0) ，则m 的值是 ( )
A ．5 B ． ﹣ 1 C ．5 或 1 D ． ﹣ 5 或 ﹣ 1
【选题意图】本题旨在考查二次函数图象和 x 轴的交点与平移知识的综合运用.
【解】∵抛物线y = a(x - h)2 + k 的对称轴为直线x = h ，抛物线y = a(x - h - m)2 + k 的 对称轴为直线x = h + m ，
∴当点 A ( ﹣ 1 ，0) 平移后的对应点为 (4 ，0) ，则m = 4 - (-1) = 5 ；
当点 B (3 ，0) 平移后的对应点为 (4 ，0) ，则m = 4 - 3 = 1 ，
即 m 的值为 5 或 1．
故选 C．
2 ．如图，二次函数y = ax2 + bx + c 的图象与x 轴交于(3, 0) ，对称轴是直线x = 1 ，当 函数值y> 0 时， 自变量x 的取值范围是_____．
第 2 题图
【选题意图】本题旨在考查能通过观察图象可知二次函数y=ax2+bx+c 有两个根， 抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．
【解】∵二次函数y = ax2 + bx + c 的抛物线与x 轴交于 (3，0) ，对称轴是直线x = 1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为： (- 1 ，0) ，
故当函数值y> 0 时， 自变量x 的取值范围是： - 1 < x < 3 ．
故答案为-1 < x < 3 ．
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3 ．若函数y = (a - 1)x 2 - 4x+ 2a 的图象与x 轴有且只有一个交点,则a 的值为_____．
【选题意图】本题旨在考查当题干未明确函数是否为二次函数时应对字母系数的 取值范围进行讨论，在解题过程中，容易主观地认为函数y＝ax2+bx+c 为二次函 数，而忽略函数为一次函数的情况．
【解】函数y= (a - 1)x 2 - 4x+ 2a 的图象与x 轴有且只有一个交点， ∴分两种情况 讨论:( 1)当函数为二次函数时，△＝16- 4(a - 1)×2a = 0 ，且a - 1 0 ，解得a = -1 或a = 2 ；(2)当函数为一次函数时， a - 1 = 0 ，解得a = 1 .综上可得， a 的值为－1 或 1 或 2．
作业 2 发展性作业
4 ．对于一个函数， 自变量x 取c 时，函数值为 0 ，则称c 为这个函数的零点．若关 于x 的二次函数y = x2 - 6x+ m(m 0) 有两个不相等的零点x1 , x2 (x1 < x2 ) ，关于 x 的方程-x2 + 6x- m - 2 = 0 有两个不相等的非零实数根x3 和x4 ( x3 < x4 ) ，则 下列式子一定正确的是 ( )
A ． 0 < < 1 B ． > 1 C ． 0 < < 1 D ． > 1
【选题意图】本题旨在考查能否灵活运用地二次函数图象和一元二次方程的关系 并结合平移知识来解题．
【解】由题意关于x 的方程x2 - 6x+ m = -2(m 0) 有两个不相等的非零实数根x3 和 x4 ( x3 < x4 ) ，就是关于x 的二次函数y = x2 - 6x+ m(m 0) 与直线y = -2 的交点的
横坐标，
画出函数的图象草图 (省去y 轴) 如下：
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y 轴不能确定在哪个位置，可能在x1 与x3 之间．而在当这种情况是应小于 0．
反之因为x2 , x4 都在对称轴x = 3 的右侧，均为正实数，而x2 又大于x4 ．故 应大
于 1．
故选：D．
5 ． 已知二次函数y = a(x - x1 )(x - x2 ) ，其中x1 < x2 ，若x1 + x2 = 4 ，当x 0 时，y > 0 ， 当x = 3 时，y < 0 ，且m < x2 < n ( m ， n 为相邻整数) ，则m + n ＝______．
【选题意图】本题旨在考查二次函数图象的对称性和如何求一元二次方程近似解，
要求对两者有较为深入的认识．
【解】 由题意得：函数的对称轴为直线x = (x1 + x2 ) = 2 ，
∵ x = 0 时，y > 0 ，
根据函数的对称性x = 4 时，y > 0 ，
而当x = 3 时，y < 0 ，
故3< x2 < 4 ，
故m = 3, n = 4, m + n = 7 ．
作业 3 探究性作业 (选做)
6 ．已知抛物线 C1 的解析式为y= x2 + x + 2 ，抛物线与x 轴交于 A ，B 两点 (A 在 B 在左边) 与y 轴于 C 点．
(1) 求点 A 、B 、C 的坐标；
(2) 将抛物线 C1 沿直线 BC 平移，与射线 AC 仅有一个公共点，求抛物线顶 点横坐标的取值或取值范围．
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【选题意图】本题旨在考查二次函数图象与坐标轴交点坐标的计算，以及是否能
灵活处理二次函数图象与射线的交点问题的能力，题目难度较大．
【解】 (1) 当y = 0 时， x2 + x + 2 = 0 解得x1 = -2, x2 = -4 ，
故 A ( ﹣ 4 ，0) ，B
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