第十章 10.1 10.1.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是( D )
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
[解析] 因为次品共2件，任取3件产品，必然至少有1件正品，所以D为必然事件．
2．先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．若事件A：点数之和为3，则A事件包含的样本点为( C )
A．(3) B．(3,3)
C．(1,2)，(2,1) D．(3)，(1,2)，(2,1)
[解析] 用(1,2)表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1,2,3,4,5,6中的数，由题意A＝{(1,2)，(2,1)}．
3．下列事件中，必然事件是( D )
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
[解析] 一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D.
4．一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是( C )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
[解析] 一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动是随机的等可能，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是随机事件．
故选C.
5．掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具，设事件A为“点数之和恰好为6”，则A中基本事件个数为( D )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[解析] 用(x，y)表示两个正方体玩具的点数分别为x，y，
则A＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}，
∴A中基本事件个数为5个．
故选D.
二、填空题
6．连续掷一枚骰子两次，出现事件“向上的点数之和为5”的样本点为_(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)__.
7．用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是_甲、乙两个小球所涂颜色相同__.
[解析] 每个样本点中两个字表示甲、乙两个小球所涂的颜色，A事件中颜色相同，所以事件A的含义是“甲、乙两个小球所涂颜色相同”．
8．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为_Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}__，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为_5__.
[解析] 任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
三、解答题
9．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？
[解析] 以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．
10．现有编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x(1)共有多少个基本事件？并列举出来；
(2)列举出抽取的两名记者编号之和小于17，但不小于11的基本事件．
[解析] (1)共有36个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．
(2)抽取的两名记者编号之和小于17但不小于11的基本事件有15个，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x B，则x A是必然事件．
其中正确的命题有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；
任取x A，则x∈B是随机事件，故②不正确；
因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取x B，则x A是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．故选C.
2．先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( A )
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上
D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
[解析] “至少一枚硬币正面向上”包括“1分硬币正面向上，2分硬币正面向下”“1分硬币正面向下，2分硬币正面向上”“1分、2分硬币正面都向上”三个样本点．故选A.
3．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有( D )
A．6个 B．12个
C．24个 D．36个
[解析] 试验的全部样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．
二、填空题
4．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，在第k次首次摸出红球，则k的最大值为_16__.
[解析] 至多摸完黑球和白球需15次，则下一次必摸出红球，即k的最大值为16.
5．从长度为2,4,5,7,9的五条线段中任取三条(抽取不分先后)，设事件A＝“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_4__个．
[解析] 长度为2,4,5,7,9的五条线段中任取三条，
则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是：(2,4,5)，(4,5,7)，(4,7,9)，(5,7,9)，
所以事件A包含的样本点个数为4个．故答案为4.
三、解答题
6．同时转动如图的两个转盘，记转盘(1)得到的数为x，转盘(2)得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)用集合A表示事件：xy＝4；用集合B表示事件：x＝y.
[解析] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)由(1)可知，这个试验的样本点的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含的样本点为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
“x<3且y>1”包含的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(4)A＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}．
B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}．
C 组·探索创新
在试验：“上海某学校从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加在上海举行的国际文化艺术节宣传推广工作”中．
(1)设事件A表示“选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学”试用集合表示事件A；
(2)设事件B表示“选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学”，试用集合表示事件B.
[解析] 把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4,2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
(1)满足要求的样本点共有8个：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，故用集合表示A＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)} .
(2)满足要求的样本点共有6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，故用集合表示B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}.第十章 10.1 10.1.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列不是古典概型的是( C )
A．从10名同学中，选出3人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和大于7的概率
C．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
D．8个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
[解析] C不满足有限性．
2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( A )
A. B．
C． D．
[解析] 依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137,271,436共3个，
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率P＝＝.
3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( D )
A. B．
C． D．
[解析] 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种，
故所求概率P＝＝.
4．(2023·威海高一期末)一次下乡送医活动中，某医院要派医生A1，A2，A3和护士B1，B2，B3分成3组到农村参加活动，每组1名医生和1名护士，则医生A1不和护士B1分到同一组的概率为( C )
A. B．
C． D．
[解析] 由题意，不同分组有：(A1B1，A2B2，A3B3)，(A1B1，A2B3，A3B2)，(A1B2，A2B1，A3B3)，(A1B2，A2B3，A3B1)，(A1B3，A2B2，A3B1)，(A1B3，A2B1，A3B2)共6种，医生A1不和护士B1分到同一组有4种，则所求概率为＝.
5．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则( CD )
A．事件A与事件B的样本点数分别为12,8
B．事件A，B间的关系为A B
C．事件A∪B发生的概率为
D．事件A∩B发生的概率为
[解析] 解：由题用(a，b)表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况，
则所有的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共20种，其中满足事件A的结果有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11种，其中满足事件B的结果有：(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8种，故选项A错误；因为事件B的结果均在事件A中包含，故B A，故选项B错误；因为A∪B＝A，所以A∪B的结果数有11种，所以P(A∪B)＝，故选项C正确；因为A∩B＝B，所以A∩B的结果数有8种，故P(A∩B)＝＝，故选项D正确．
二、填空题
6．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .
[解析] 设数学书为A、B，语文书为C，则不同的排法共有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，C，A)，(B，A，C)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为P＝＝.
7．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是 .
[解析] 设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，故P＝＝.
8．小明同学的QQ密码是由0.1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是 .
[解析] 只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是.
三、解答题
9．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对(x，y)，其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
[解析] (1)摸出球的情况如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种情况，其中事件A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，有8种情况，故P(A)＝＝.
(2)事件B包含(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，有8种情况，所以P(B)＝＝.
(3)事件AB包含(1,2)，(2,1)，有2种情况，
所以P(AB)＝＝.
10．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解析] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的基本事件共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝，因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
B 组·素养提升
一、选择题
1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
A. B．
C． D．
[解析] 记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个，因此P(A)＝＝.
2．若a∈A且a－1 A，a＋1 A，则称a为集合A的孤立元素．若集合M＝，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为( C )
A. B．
C． D．
[解析] 集合M＝{1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,5}，{1,4,6}，{1,5,6}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,6}，{2,4,5}，{2,4,6}，{2,5,6}，{3,4,5}，{3,4,6}，{3,5,6}，{4,5,6}，共20个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,6}，{2,4,6}，一共4种．
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P＝＝.
故选C.
3．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为( C )
A. B．
C． D．
[解析] 设齐王的上等、中等、下等马分别为A、B、C，田忌的上等、中等、下等马分别为a、b、c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9种，齐王的马获胜包含的样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，b)，(B，c)，(C，c)，共6种，所以齐王的马获胜的概率P＝＝，故选C.
二、填空题
4．一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，先后两次从袋中不放回的各取一球．则第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的概率为 .
[解析] 设三个黑球编号分别为A1，A2，A3，两个白球编号分别为B1，B2，先后两次从袋中不放回的各取一球．基本情况有：
(A1A2)，(A1A3)，(A1B1)，(A1B2)，(A2A3)，(A2B1)，(A2B2)，(A3B1)，(A3B2)，(B1B2)，(A2A1)，(A3A1)，(B1A1)，(B2A1)，(A3A2)，(B1A2)，(B2A2)，(B1A3)，(B2A3)，(B2B1)，共20种；
其中，第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的情况有6种；
故所求概率P＝＝.
5．第14届国际数学教育大会(ICME－14)于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为 .
[解析] 因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法，即(12,13,14)，(13,14,15)，(14,15,16)，(15,16,17)，(16,17,18)，所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本事件数为25，其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有：张老师选(12,13,14)，李老师选(15,16,17)或(16,17,18)，张老师选(13,14,15)，李老师选(16,17,18)，张老师选(15,16,17)，李老师选(12,13,14)，张老师选(16,17,18)，李老师选(12,13,14)或(13,14,15)，即事件两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本事件，所以事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率P＝.
三、解答题
6．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解析] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．
设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以n(A)＝4，
从而P(A)＝＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以n(B)＝4，从而P(B)＝＝.
C 组·探索创新
某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
[解析] (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．
设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M，其包括事件有3个，故P(M)＝＝.
(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N，且事件N包括事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个．则P(N)＝.第十章 10.1 10.1.4
A 组·素养自测
一、选择题
1．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200 g的概率为0.2，质量在200～300 g内的概率为0.5，那么质量超过300 g的概率为( B )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
[解析] 质量超过300 g的概率为1－0.2－0.5＝0.3.
2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( D )
A．0.9 B．0.3
C．0.6 D．0.4
[解析] 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件是“该射手在一次射击中不小于8环”．
∵事件包括射中10环，9环，8环，且这三个事件是互斥的，
∴P()＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.
3．已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝，P(C)＝，P(A∪B)＝，则P(B∪C)＝( B )
A. B．
C． D．
[解析] 因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝－＝，
所以P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中取出2粒恰好是同一色的概率是( C )
A. B．
C． D．1
[解析] 记“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
即从中取出2粒恰好是同一色的概率为.
5．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( B )
A. B．
C． D．
[解析] 解法一：这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为＝.
解法二：设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
二、填空题
6．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为 .
[解析] 商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用互斥事件的概率加法公式可解．
记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
7．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为 .
[解析] 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为＋＝.
8．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．则：
(1)任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是_0.64__；
(2)任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是_0.37__.
[解析] 任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，①“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据概率的加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64；②B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37.
三、解答题
9．在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1个球．记事件A为“取出的球为红球”，事件B为“取出的球为黑球”，事件C为“取出的球为白球”，事件D为“取出的球为绿球”．求：
(1)“取出的球为红球或黑球”的概率；
(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率．
[解析] (1)由题意可知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件，
故“取出的球为红球或黑球”的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)易知，“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥，
故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
10．某医院一天要派出医生下乡义诊，派出的医生人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
[解析] 设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名及5名以上医生”，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)解法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
解法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
B 组·素养提升
一、选择题
1．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由题意可知，肉馅包子的个数为10×＝4，从中随机取出1个，不是豆沙馅包子的概率为，则该包子是豆沙馅包子的概率为1－＝，所以，豆沙馅包子的个数为10×＝3，因此，素馅包子的个数为10－4－3＝3.
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析] 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.
3．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为；则电话在响前四声内被接的概率为( B )
A. B．
C． D．
[解析] 设“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥，从而P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.
二、填空题
4．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为 .
[解析] 记“选中两人都是男生”为事件A，“选中两人都是女生”为事件B，“选中两人中恰有一人是女生”为事件C，易知A，B为互斥事件，A∪B与C为对立事件，
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
所以P(C)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
5．事件A，B 互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝ .
[解析] 都不发生的对立事件是至少有一个发生，即A 发生或B 发生的概率为，又P(A)＝2P(B)且A，B互斥，所以P (A∪B)＝P(A)＋P(B )＝P(A)＋P(A)＝，解得P(A)＝.
三、解答题
6．某商场有奖销售中，购物满100元可得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解析] (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
C 组·探索创新
(多选题)某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.设Ak＝“一年内需要维修k次”，k＝0,1,2,3，则下列事件的概率正确的是( ABC )
A．在一年内需要维修的概率为0.25
B．在一年内不需要维修的概率为0.75
C．在一年内维修不超过1次的概率为0.90
D．在一年内最多需要维修2次的概率为 0.94
[解析] 依题意得P(A1)＝0.15，P(A2)＝0.06，P(A3)＝0.04，
因为A0，A1，A2，A3两两互斥，所以P(A0)＝1－[P(A1)＋P(A2)＋P(A3)]＝0.75.对于A，记事件A为“一年内需要维修”，
则A＝A1∪A2∪A3，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.15＋0.06＋0.04 ＝0.25，A正确；对于B，记事件B为“一年内不需要维修”，则B＝A0，所以P(B)＝P(A0)＝0.75，B正确；
对于C，记事件C为“在一年内维修不超过1次”则C＝A0∪A1，所以P(C)＝P(A0)＋P(A1)＝0.75＋0.15＝0.90，C正确；对于D，记事件D为“一年内最多需要维修2次”，则＝A3，所以P(D)＝1－P()＝1－P(A3)＝1－0.04＝0.96，D错误．故选ABC.第十章 10.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝“既有正面向上又有反面向上”，B＝“至多有一个反面向上”，则A与B的关系是( C )
A．互斥事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．不相互独立事件
[解析] 由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的．
2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－3a，P(B)＝2a－，则实数a的取值范围是( D )
A. B．
C. D．
[解析] 由于A，B互斥，且A，B发生的概率均不为0，
所以解得≤a<，
所以a的取值范围是.
故选D.
3．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则下列关于事件A与B关系的判断，正确的是( C )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B相互对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B互斥且相互独立
[解析] P(A)＝1－P()＝，P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B相互独立．
4．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( D )
A. B．
C． D．
[解析] 甲要获得冠军共分为两种情况：
(1)第一场取胜，这种情况的概率为.
(2)第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×＝，则甲获得冠军的概率为＋＝.
5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( B )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
[解析] 根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C.则P(A)＝0.9，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P()P()＝1－0.2×0.2＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.
故选B.
二、填空题
6．某足球队共有30名球员练习点球，其中前锋6人，中场16人，后卫8人．若前锋点球进门的概率均是0.9，中场点球进门的概率均是0.8，后卫点球进门的概率均是0.7，则任选一名球员点球进门的概率是_0.79__.(结果保留两位小数)
[解析] 依题意，选中前锋的概率为＝，选中中场的概率为＝，选中后卫的概率为＝，
则任选一名球员点球进门的概率是×0.9＋×0.8＋×0.7≈0.79.
7．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝ ；P()＝ .
[解析] ∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝.∴P(A)＝P(A)P()＝×＝，P()＝P()P()＝×＝.
8．已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则p＝_0.03__.
[解析] 由题意，得(1－0.01)(1－p)＝0.960 3，解得p＝0.03.
三、解答题
9．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率．
[解析] 设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件A，B，C，不准确记为，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
10．2023年4月23日是第28个“世界读书日”，为了更好地弘扬“尊重知识，崇尚文明”的阅读理念，某书屋举办了“智慧闯关奖励图书”活动，活动规则如下：有3道难度相当的题目，每位闯关者共有3次机会，一旦某次答对抽到的题目，则闯关成功；否则就一直抽题到第3次为止．假设张华答对每道题的概率都是0.7，且对抽到的题目能否答对是独立的．
(1)求张华第二次闯关成功的概率；
(2)求张华闯关成功的概率．
[解析] (1)因为张华答对每道题的概率都是0.7，
所以张华不能答对某道题的概率1－0.7＝0.3，
张华第二次闯关成功的概率0.3×0.7＝0.21；
(2)张华没有闯关成功的概率0.3×0.3×0.3＝0.027，
张华闯关成功的概率1－0.027＝0.973.
B 组·素养提升
一、选择题
1.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( B )
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.064
[解析] 由题意可知，系统的可靠性为1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.
2．(多选题)设M，N为两个随机事件，下列命题是真命题的是( ABD )
A．若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝
B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
D．若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件
[解析] 若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝P(M)＋P(N)＝＋＝，由互斥事件的概率加法公式知A正确；若P()＝，则P(M)＝1－P()＝1－＝，P(N)＝，得P(M)·P(N)＝，满足P(MN)＝P(M)·P(N)，由相互独立事件乘法公式知B正确；若P()＝，则P(N)＝1－P()＝，P(M)＝，得P(M)·P(N)＝×＝，不满足P(MN)＝P(M)·P(N)，则C错误；若P(M)＝，P(N)＝，则P(M)·P(N)＝，又P()＝，则P(MN)＝1－P()＝，满足P(MN)＝P(M)·P(N)，由相互独立事件乘法公式知D正确，故选ABD.
3．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( D )
A. B．
C． D．
[解析] 第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以P1＝××＝，第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以P2＝×××＝，则该选手能进入第四关的概率为P＝＋＝.
二、填空题
4．盲盒，是一种新兴的商品. 商家将同系列不同款式的商品装在外观一样的包装盒中，使得消费者购买时不知道自己买到的是哪一款商品. 现有一商家设计了同一系列的A、B、C三款玩偶，以盲盒形式售卖，已知A、B、C三款玩偶的生产数量比例为6∶3∶1. 以频率估计概率，计算某位消费者随机一次性购买4个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为_0.216__.
[解析] 由题意得，买到A的概率为0.4，买的B的概率为0.3，买到C的概率为0.1，
C×0.6×C×0.3×C×0.12＋C×0.6×C×0.32×0.1＋C×0.62×C×0.3×0.1＝0.216.
5．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_0.18__.
[解析] 甲队以4∶1获胜，则甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．若在主场输一场，则甲队以4∶1获胜的概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072.
若在客场输一场，则甲队以4∶1获胜的概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108.
∴甲队以4∶1获胜的概率为P＝0.072＋0.108＝0.18.
三、解答题
6．为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点．
(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
(2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率．
[解析] (1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P，
则P1＝0.72×0.4＋2×0.3×0.7×0.6 ＝0.448.
(2)消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002.
消费总额为1 400元的概率是0.12×0.2＋2×0.22×0.1＝0.010，
消费总额为1 300元的概率是0.12×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋ 2×0.22×0.1＝0.033，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.002＋0.010＋0.033＝0.045.
C 组·探索创新
某校组织一场PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分，假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( C )
A. B．
C. D．
[解析] 比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：
①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜．
所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率P＝3＋××＋××＝.第十章 10.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．某人从水库中打了一网鱼共1 000条，作上记号再放回水库中，数日后又从水库中打了一网鱼共n条，其中k条有记号，由此估计水库中共有鱼的条数为( B )
A. B．
C．1 000n D．无法估计
[解析] 估计水库中共有鱼的条数为x，则＝，∴x＝.故选B.
2．在下列各事件中，发生的可能性最大的为( D )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
[解析] P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( A )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
[解析] 因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A.
4．气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3表示降雨，4,5,6,7,8,9,0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271
932 815 458 569 683
431 257 393 027 556
481 730 113 537 989
据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为( C )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
[解析] 表示未来三天恰有一天降雨的有：925,815,683,257,027,481,730,537共8个，概率为＝0.4.
5．(多选题)支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响．某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则( ABC )
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
[解析] 对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取30×＝12人，正确；对于B，青年患者所占的频率为＝，正确；对于C，平均治愈率为≈28.7%，正确；对于D，由C知错误．故选ABC.
二、填空题
6．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为_②__(填序号)．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
[解析] 能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
7．采用随机模拟的方法估算某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标．以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7327 0293 7140 9857
0347 4373 8636 6947
1417 4698 0371 6233
2616 8045 6011 3661
9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 .
[解析] 根据随机数一共有20组可知，共有20个样本点，其中“该运动员射击4次至少击中3次”对应的随机数组为9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424，共有7个样本点，所以估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为.
8．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位： ℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝_300__.
[解析] 由表可知，最高气温低于25 ℃的频率为：＝0.1，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.故答案为300.
三、解答题
9．为了估计某自然区天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[解析] 设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，
则P(A)＝.
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
由概率的定义可知P(A)≈.
由≈，解得n≈1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
10．某校高三分为四个班．调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生数依次为22,22＋d,22＋2d,22＋3d人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05，此分数段的人数为5人．
(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？
(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．
[解析] (1)由频率等于频数除以总数知，抽取的学生总数为＝100人，又各班被抽取的学生人数成等差数列，人数最少的班被抽取了22人，则首项为22.设公差为d，则4×22＋d＝100，∴d＝2，因此各班被抽取的人数分别是22人，24人，26人，28人；
(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，分数不低于90分的概率等于1减去分数低于90分的概率，而分数低于90分的概率等于0.05＋0.20＝0.25，因此所求概率为1－0.25＝0.75.
B 组·素养提升
一、选择题
1．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( B )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
[解析] A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(恰有一枚正面向上)＝，P(两枚都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝.
2．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理( B )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
[解析] 由题意得肇事车是甲公司的概率为＝，是乙公司的概率为＝，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．
3．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h.现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图(如图)．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为( D )
A．85,0.25 B．90,0.35
C．87.5,0.25 D．87.5,0.35
[解析] 由题中直方图知，众数为＝87.5，用频率估计概率得，行驶速度超过90 km/h的概率为0.05×5＋0.02×5＝0.35.
二、填空题
4．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为 _64__，估计数据落在[2,10)内的概率约为_0.4__.
[解析] 数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4.
5．某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2019年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 .
[解析] 经随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4组随机数．所以恰好第三次就停止的概率为＝.
三、解答题
6．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数/人 x 30 25 y 10
结算时间/(分/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
[解析] (1)由已知得解得该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计，其估计值为＝1.9.
(2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟的共有15＋30＋25＝70(人)，
根据频率与概率的关系，估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为＝0.7.
C 组·探索创新
用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下.
直径 个数
6.886.896.906.916.926.936.946.956.966.97从这100个螺母中任意抽取一个，求：
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
[解析] (1)事件A的频率f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.
