2024鲁教版数学七年级下册--第十章《三角形的有关证明》素养综合检测（含解析）

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2024鲁教版数学七年级下册
第十章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023山东济南章丘期中)下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是(　　)
A.2,3,4　　　　B. C.4,6,9　　　　D.5,12,13
2.(2023山东菏泽牡丹月考)下列命题中,逆命题是真命题的是(　　)
A.等腰三角形的两边长是3和7,则其周长为17
B.直角三角形的三条边的比是3∶4∶5
C.全等三角形的面积相等
D.若x=1,则x2=1
3.如图,点B,F,C,E在同一直线上,AC=DF,∠1=∠2,如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF,那么可以补充的条件是(　　)
A.AB=DE　　　　B.∠A=∠D C.BF=CE　　　　D.∠B=∠E
4.用反证法证明“△ABC中至少有2个角是锐角”时,假设正确的是(　　)
A.假设△ABC中没有锐角
B.假设△ABC中最多有3个角是锐角
C.假设△ABC中最多有2个角是锐角
D.假设△ABC中最多有1个角是锐角
5.(2023山西吕梁期中)如图,平面直角坐标系中,△OAB的边OB落在x轴上,顶点A落在第一象限.若OA=AB=5,OB=8,则点A的坐标是(　　)
A.(8,5)　　　　B.(4,5)　　　　C.(4,3)　　　　D.(3,4)
6.【易错题】(2022山东聊城期中)△ABC中,AB=20,AC=13,高AD=12,则△ABC的面积为(　　)
A.66　　　　B.126　　　　C.54或44　　　　D.126或66
7.如图,在△ABC中,AB=AC,尺规作图:(1)分别以B,C为圆心,BC长为半径作弧,两弧交于点D;(2)作射线AD交BC于O,连接BD,CD,则下列结论中错误的是(　　)
A.∠BAD=∠CAD B.△BCD是等边三角形
C.AD垂直平分BC D.S四边形ABDC=AD·BC
8.(2023浙江宁波期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上,AD=AC,AE⊥CD,垂足为F,与BC交于点E,则BE的长是(　　)
A.3　　　　B.5　　　　C.　　　　D.6
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.【中华优秀传统文化】我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.直角三角形的斜边长为13,一条直角边长为12,则小正方形ABCD的面积为　　　　.
　　
10.(2023山东青岛即墨期末)如图,在△ABC中,∠B=60°,BC=18,点D在边AB上,CA=CD,BD=7,则AD的长是　　　　.
11.(2023湖北随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=　　　　.
　
12.(2023上海杨浦期末)如图,在△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交边AB、AC于点D和点E,如果△ABC的周长等于14,△ADE的周长等于9,那么BC=　　　　.
13.(2022重庆沙坪坝校级期末)如图,在等腰直角三角形ABC中,
∠BAC=90°,AB=AC,D是BC边上的一点,过点B作BE⊥AD于E,过点C作CF⊥AD于F,若BE=3,CF=1.8,则EF=　　　　.
14.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且DE∥AC,过点E作EF⊥DE,交CB的延长线于点F.若BD=5,则EF2=　　　　.
三、解答题(共52分)
15.(2023山东济南章丘期末)(10分)如图所示,小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识,点A、D、C、F在同一条直线上,且AF=DC,BC=EF,BC∥EF.
(1)求证:AB∥DE;
(2)若∠A=20°,∠AFE=102°,求∠E的度数.
16.(10分)在△ABC中,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,连接AM、AN.
(1)求∠MAN的度数;
(2)如果AB=AC,求证:BM=MN=NC.
17.(10分)如图,AB⊥直线l于B,C是直线l上一动点,AB=6 cm,AD=24 cm,BC+CD=34 cm,则当C离B多远时,△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形
18.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,过点C作AD的平行线交BA的延长线于点E.
(1)求证:△ACE为等腰三角形;
(2)延长CA至点F,使AF=AC,连接BF,求证:BF⊥BC.
19.(12分)如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为边作等边三角形DEF,连接CF.
【问题解决】
如图①,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD.
【类比探究】
如图②,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并说明理由.
答案全解全析
1.D　∵22+32≠42,()2≠()2,42+62≠92,52+122=132,∴选项D中数据能作为直角三角形的三边长,故选D.
2.B　A项,逆命题为“若等腰三角形的周长为17,则其两边长是3和7”,是假命题;B项,逆命题为“若三角形三条边的比是3∶4∶5,则该三角形是直角三角形”,是真命题;C项,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;D项,逆命题为“若x2=1,则x=1”,是假命题.故选B.
3.B　可以补充的条件是∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).故选B.
4.D　“至少有2个”的反面是“最多有1个”,故选D.
5.C　如图,过点A作AD⊥OB于点D,
∵OA=AB=5,OB=8,∴OD=OB=4.
在Rt△OAD中,由勾股定理得AD==3.故点A的坐标是(4,3).故选C.
D　分两种情况:当△ABC为锐角三角形时,如图1,∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵AB=20,AD=12,∴BD==16,
∵AC=13,AD=12,∴CD==5,
∴BC=BD+CD=16+5=21,
∴△ABC的面积=×21×12=126;
图1 图2
当△ABC为钝角三角形时,如图2,同理可得BD=16,CD=5,∴BC=BD-CD=16-5=11,
∴△ABC的面积=×11×12=66.
综上所述,△ABC的面积为126或66.故选D.
7.D　根据作图方法可得BC=BD=CD,
∴△BCD是等边三角形,故B结论正确;
∵BD=CD,∴点D在BC的垂直平分线上,
∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上,
∴AD垂直平分BC,故C结论正确;
易知O为BC的中点,∴AO是△BAC的中线,
∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD,故A结论正确;
四边形ABDC的面积=S△BCD+S△ABC=BC·DO+BC·AO=BC·AD,故D结论错误,故选D.
8.B　连接DE,如图所示,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB==10,
∵AD=AC=6,AF⊥CD,∴DF=CF,
∴CE=DE,BD=AB-AD=4,
在△ACE和△ADE中,
∴△ACE≌△ADE(SSS),
∴∠ADE=∠ACE=90°,∴∠BDE=90°,
设CE=DE=x,则BE=8-x,
在Rt△BDE中,由勾股定理得DE2+BD2=BE2,
即x2+42=(8-x)2,解得x=3,
∴CE=3,∴BE=8-3=5.故选B.
9.答案　49
解析　如图.
根据勾股定理,得AF==5.所以AB=12-5=7.所以小正方形ABCD的面积为7×7=49.
10.答案　4
解析　如图,过点C作CE⊥AD,垂足为E,
∴∠CEB=90°,
∵∠B=60°,
∴∠BCE=90°-∠B=30°,
∵BC=18,∴BE=BC=9,
∵BD=7,∴DE=BE-BD=2,
∵CA=CD,CE⊥AD,∴ED=EA,
∴AD=2DE=4,故答案为4.
11.答案　5
解析　如图,过点D作DE⊥AB于点E,
∵∠C=90°,∴CD⊥BC,
∵BD是∠ABC的平分线,CD⊥BC,DE⊥AB,
∴CD=DE,
在Rt△BCD和Rt△BED中,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BC=BE=6,
在Rt△ABC中,AB==10,
∴AE=AB-BE=10-6=4,
设CD=DE=x,则AD=AC-CD=8-x,
在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,
∴42+x2=(8-x)2,解得x=3,
∴AD=8-x=5.故答案为5.
12.答案　5
解析　∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,
∵DE∥BC,∴∠BOD=∠OBC,∠COE=∠OCB,
∴∠ABO=∠BOD,∠ACO=∠COE,
∴BD=OD,CE=OE,
∵△ADE的周长为9,∴AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9,
∵△ABC的周长是14,∴AB+AC+BC=14,
∴BC=14-9=5,故答案为5.
13.答案　1.2
解析　∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BAC=∠BEA=∠AFC=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠BAE+∠CAF=90°,∴∠ABE=∠CAF.
在△ABE与△CAF中,∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AF=BE=3,AE=CF=1.8,
∴EF=AF-AE=1.2.
14.答案　75
解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=60°,
∵DE∥AC,∴∠EDB=∠C=60°,
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-∠EDB=30°,∴DF=2DE=10,
∵∠ABC=60°,∠EDB=60°,
∴△EDB是等边三角形.∴ED=BD=5,
∴EF2=DF2-DE2=75.
15.解析　(1)证明:∵AF=CD,
∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF,
∵BC∥EF,∴∠ACB=∠DFE,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠A=∠D,∴AB∥DE.
(2)由(1)可知∠D=∠A=20°,∵∠AFE=102°,
∴∠EFD=180°-102°=78°,
∴∠E=180°-20°-78°=82°.
16.解析　(1)∵∠BAC=120°,∴∠B+∠C=60°,
∵ME垂直平分AB,NF垂直平分AC,
∴BM=AM,CN=AN,∴∠B=∠BAM,∠C=∠CAN,
∴∠CAN+∠BAM=∠C+∠B=60°,
∴∠MAN=120°-60°=60°.
(2)证明:由(1)知BM=AM,CN=AN,∠MAB=∠B,∠CAN=∠C,
∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,
∴∠AMN=∠ANM=60°,∴△AMN是等边三角形,
∴AM=AN=MN,∴BM=MN=NC.
17.解析　设BC=x cm时,△ACD是以DC为斜边的直角三角形,
∵BC+CD=34 cm,∴CD=(34-x)cm,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=36+x2,
在Rt△ACD中,AC2=CD2-AD2=(34-x)2-576,
∴36+x2=(34-x)2-576,解得x=8.
∴当C离B 8 cm时,△ACD是以DC为斜边的直角三角形.
18.证明　(1)∵AB=AC,AD是中线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵CE∥AD,∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE,
∴∠ACE=∠E,∴AC=AE,即△ACE为等腰三角形.
(2)∵AB=AC,AF=AC,
∴∠ABC=∠ACB,AB=AF,∴∠ABF=∠F,
∵∠F+∠ABF+∠ABC+∠ACB=180°,
∴2(∠ABF+∠ABC)=180°,
∴∠FBC=90°,∴BF⊥BC.
19.解析　【问题解决】证明:在CD上截取CH=CE,如图所示.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ECH=60°,
∴△CEH是等边三角形,
∴EH=EC=CH,∠CEH=60°,
∵△DEF是等边三角形,
∴DE=FE,∠DEF=60°,
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,
∴∠DEH=∠FEC.
在△DEH和△FEC中,
∴△DEH≌△FEC(SAS),∴DH=CF,
∴CD=CH+DH=CE+CF,∴CE+CF=CD.
【类比探究】FC=CD+CE.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°.
过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图所示.
∵GD∥AB,
∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,
∴∠GDC=∠DGC=60°,
∴△GCD为等边三角形,∴DG=CD=CG,
∵△EDF为等边三角形,
∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,
∴∠EDG=∠FDC.
在△EGD和△FCD中,
∴△EGD≌△FCD(SAS),∴EG=FC,
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE,即FC=CD+CE.
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