2024鲁教版数学七年级下册--专项素养综合全练(九)新定义型问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024鲁教版数学七年级下册
专项素养综合全练(九)
新定义型问题
类型一 展示新运算(规则)
1.(2023湖北武汉汉阳一模)对于任意实数a、b,定义一种运算:a*b=ab-a+b-2.例如,2*5=2×5-2+5-2=11,请根据上述的定义解决问题,若2*x<6,则该不等式的正整数解的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
对于实数a,b,c,用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数.例如:max{-1,
2,6}=6,max{0,4,4}=4,若max{-x-1,2,2x-2}=2,则x的取值范围在数轴上表示为 ( )
3.(2023山东济南钢城期末)定义新运算:对于任意实数a、b约定关于 的一种运算如下:a b=2a+b.例如:(-3) 2=2×(-3)+2=-4.若x (-y)=5,且2y x=7,则x+y的值是 .
4.定义新运算:对于任意实数a,b,都有a b=2a-3b+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.
(1)当x y=5,且(-1) y=5时,求x与y的值;
(2)若3 x的值小于4,求x的取值范围,并把x的取值范围在如图所示的数轴上表示出来.
5.(2023山东枣庄中考)对于任意实数a,b,定义一种新运算:a※b=例如:3※1=3-1=2,5※4=5+4-6=3.
根据上面的材料,请完成下列问题:
(1)4※3= ,(-1)※(-3)= ;
(2)若(3x+2)※(x-1)=5,求x的值.
类型二 展示新概念
6.(2022江西吉安青原期末)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点.
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”);
②如图1,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高.若BD=2AD=2,试求线段CD的长度.
●深入探究
如图2,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB的数量关系,并给出证明.
●推广应用
如图3,等腰△ABC为勾股高三角形,其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高,过点D作边BC的平行线与AC边交于点E.若CE=a,试求线段DE的长度.
7.(2023山东青岛即墨期末)新定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”,例如:方程x-1=3的解为x=4,而不等式组的解集为2(1)在方程①3(x+1)-x=9,②4x-7=0,③+1=x中,是不等式组的“关联方程”的是 ;(填序号)
(2)若关于x的方程2x-k=6是不等式组的“关联方程”,求k的取值范围.
答案全解全析
1.C　由题意得2x-2+x-2<6,解得x<3,
∴该不等式的正整数解有1,2,3,共3个,故选C.
2.A　∵max{-x-1,2,2x-2}=2,∴
解得-3≤x≤2,故选A.
3.答案　4
解析　∵
两式相加得3x+3y=12,∴x+y=4.故答案为4.
4.解析　(1)∵a b=2a-3b+1,x y=5,且(-1) y=5,∴
(2)∵a b=2a-3b+1,3 x的值小于4,
∴6-3x+1<4,解得x>1.
x的取值范围在数轴上表示如图所示:
5.解析　(1)∵4<2×3,∴4※3=4+3-6=1.
∵-1>2×(-3),∴(-1)※(-3)=-1-(-3)=2.
故答案为1;2.
(2)当3x+2≥2(x-1),即x≥-4时,
原方程为3x+2-(x-1)=5,解得x=1;
当3x+2<2(x-1),即x<-4时,
原方程为3x+2+x-1-6=5,解得x=2.5,
∵2.5>-4,∴x=2.5不符合题意,应舍去.
综上,x=1.
6.解析　●特例感知
①等腰直角三角形是勾股高三角形.
故答案为是.
②根据勾股定理可得CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,
∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,
∴CD2=(CD2+4)-(CD2+1)=3,∴CD=.
●深入探究
AD=CB.证明:
∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点且CA>CB,∴CA2-CB2=CD2,
∴CA2-CD2=CB2,又∵CA2-CD2=AD2,
∴AD2=CB2,∴AD=CB.
●推广应用
如图,过点A向ED引垂线,垂足为G,
∵等腰△ABC为勾股高三角形且AB=AC>BC,
∴勾股顶点只能是点B或点C,∴AC2-BC2=CD2,
由(2)可知AD=BC,
∵ED∥BC,∴∠ADE=∠B,
又∠AGD=∠CDB=90°,∴△AGD≌△CDB(AAS),∴DG=BD.
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形,
根据三线合一可知DE=2DG=2BD.
又AB=AC,AD=AE,∴BD=CE=a,∴DE=2a.
7.解析　(1)①3(x+1)-x=9,解得x=3;
②4x-7=0,解得x=;
③+1=x,解得x=1.
解不等式2x-2>x-1得x>1,
解不等式3(x-2)-x≤4得x≤5,
∴原不等式组的解集为1∴不等式组的“关联方程”是①②.
故答案为①②.
(2)
解不等式①得x≥-1,
解不等式②得x≤7,
∴原不等式组的解集为-1≤x≤7,
∵2x-k=6,∴2x=6+k,∴x=,
∵关于x的方程2x-k=6是不等式组的“关联方程”,
∴-1≤≤7,解得-8≤k≤8,
∴k的取值范围为-8≤k≤8.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)