2024鲁教版数学七年级下册--专项素养综合全练(六)三角形全等常见模型（含解析）

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2024鲁教版数学七年级下册
专项素养综合全练(六)
三角形全等常见模型
类型一　平移模型
1.(2023福建福州模拟)如图,已知AB=DE,BE=CF,AC=DF,求证:AB∥DE.
类型二　旋转模型
(2023广东广州荔湾期末)如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=
∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C、D、E三点在同一直线上,连接BD.
(1)求证:△BAD≌△CAE;
(2)猜想BD,CE有何特殊位置关系,并说明理由.
类型三　对称模型
3.如图,CA=CB,点E、D分别是CA、CB的中点.求证:∠A=∠B.
类型四　一线三等角模型
4.(2023天津西青二模)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(3,0),B(0,-1),点C在第四象限,且AB=BC,∠ABC=90°,则点C的坐标是(　　)
A.(-4,1)　　　　B.(1,-4)　　　　C.(-1,4)　　　　D.(4,-1)
5.(2023吉林长春榆树期末)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到如图1所示的位置时,
求证:①△ADC≌△CEB;
②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时,求证:DE=AD-BE.
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时,请直接写出DE,AD,BE之间的等量关系.
　　
答案全解全析
1.证明　∵BE=CF,∴BE+EC=CF+CE,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE.
2.解析　(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD⊥CE.理由如下:
如图,设AC与BD交于点G,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠ABD,
∵∠AGB=∠CGD,∠BAC=90°,
∴∠CDG=90°,∴BD⊥CE.
3.证明　∵点E、D分别是CA、CB的中点,
∴CE=CB,∵CA=CB,∴CE=CD,
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠A=∠B.
4.B　如图,
过点C作CE⊥y轴于E,∵∠ABC=90°,∴∠ABO+∠CBE=90°,
∵∠AOB=90°,∴∠ABO+∠BAO=90°,∴∠BAO=∠CBE,
在△AOB与△BEC中,
∴△AOB≌△BEC(AAS),∴OB=EC=1,BE=OA=3,
∴OE=OB+BE=1+3=4,∴点C的坐标为(1,-4),故选B.
5.解析　(1)证明:①∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②∵△ADC≌△CEB,∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CE-CD=AD-BE.
(3)DE=BE-AD.
详解:∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CD-CE=BE-AD.
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