2024鲁教版数学七年级下册--专项素养综合全练(七)角平分线中常用的辅助线（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024鲁教版数学七年级下册
专项素养综合全练(七)
角平分线中常用的辅助线
类型一　已知角平分线作垂两边
1.(2023河北保定月考)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于D,OP=6 cm,点E是射线OB上的动点,则PE的最小值为(　　)
A.2 cm　　　　B.3 cm C.4 cm　　　　D.5 cm
2.(2023山东枣庄市中月考)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,角平分线BE,CD相交于点P,若AP=4,AC=6,则S△APC=(　　)
A.4　　　　B.6 C.12　　　　D.24
类型二　已知角平分线作垂中间
3.(2023辽宁丹东凤城期中)如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,若△PAB的面积为6 cm2,△PBC的面积为8 cm2,则
△PAC的面积为(　　)
A.2 cm2　　　　B.2.5 cm2 C.3 cm2　　　　D.4 cm2
4.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD交BD的延长线于E.求证:BD=2CE.
类型三　已知角平分线截两边
5.已知△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,分别交BC,AB于D,E,求证:AE+CD=AC.
答案全解全析
1.B　∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,∴∠AOP=30°,
∵PD⊥OA,OP=6 cm,∴PD=OP=3 cm,
易知PE⊥OB时,PE的值最小,
如图,过点P作PE'⊥OB于点E',
∵OC平分∠AOB,PE'⊥OB,PD⊥OA,
∴PE'=PD=3 cm,∴PE的最小值为3 cm.故选B.
2.B　如图,过点P作PF⊥AC,垂足为F,
∵BE,CD分别为∠ABC,∠ACB的平分线,∴AP为∠BAC的平分线,又∵∠BAC=60°,∴∠PAF=∠BAC=30°,∵PF⊥AC,AP=4,
∴PF=AP=2,∴S△APC=AC·PF=×6×2=6.故选B.
3.A　延长AP交BC于D,如图,
∵BP平分∠ABC,AP⊥BP,
∴∠ABP=∠DBP,∠APB=∠DPB=90°,
∴∠PAB=∠PDB,∴BA=BD,
∵BP⊥AD,∴AP=DP,∴S△PBD=S△PAB=6 cm2,
∵S△PBC=8 cm2,∴S△PDC=2 cm2,
∵AP=DP,∴S△PAC=S△PDC=2 cm2.故选A.
4.证明　延长CE、BA交于F点,如图,
∵BE⊥EC,∴∠BEF=∠CEB=90°,
∴∠1+∠F=90°.
∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCF,∴BF=BC,
∵BE⊥CF,∴2CE=2FE=CF,
∵△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,
∴∠1+∠ADB=90°,
∵∠1+∠F=90°,∴∠ADB=∠F.
∵在△ADB和△AFC中,
∴△ADB≌△AFC(AAS),∴BD=FC,∴BD=2CE.
5.证明　在△ABC中,∠B=60°,
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°.
∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∴∠OAC=∠OAB=∠BAC,
∠OCD=∠OCA=∠ACB,
在△OAC中,∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)
=180°-(∠BAC+∠ACB)=180°-×120°=120°.
∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°.
在AC上截取AF=AE,连接OF,如图,
在△AOE和△AOF中,
∴△AOE≌△AOF(SAS),∴∠AOE=∠AOF,
∴∠AOF=60°.
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°.
又∠COD=∠AOE=60°,∴∠COD=∠COF.
在△COD和△COF中,
∴△COD≌△COF(ASA),∴CD=CF.
∴AC=AF+CF=AE+CD,即AE+CD=AC.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)