2024鲁教版数学七年级下册--专项素养综合全练(三)平行线的判定和性质的五种常见应用类型（含解析）

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2024鲁教版数学七年级下册
专项素养综合全练(三)
平行线的判定和性质的五种常见应用类型
类型一　已知垂直,找线平行
(2023广东河源连平期中)已知:如图,DG⊥BC于G,AC⊥BC,∠1=
∠2.求证:CD∥EF.
类型二　已知角的度数,找线平行
2.如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°.解答下列问题:
(1)直线EF与AB有怎样的位置关系 说明理由.
(2)若∠CEF=60°,则∠ACB的度数是多少
类型三　作平行线,构造同位角相等
3.【新考向·过程性学习试题】(2023山东临沂临沭期末)下面是课堂上老师呈现的一个问题:
已知:如图,AB∥CD,MN⊥CD于点O,MP交AB于点G,当∠1=50°时,求∠PMN的度数.
下面提供三种思路:
思路一:过点M作EF∥CD(如图甲);
思路二:过点G作GE∥MN,交CD于点E;
思路三:过点O作OF∥PM,交AB于点F.
解答下列问题:
(1)根据思路一(图甲),可求得∠PMN的度数为　　　　;
(2)根据思路二、思路三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线;
(3)请你从思路二、思路三中任选其中一种,写出求∠PMN度数的解答过程.
　　
类型四　作平行线,构造内错角相等
4.【“猪蹄”模型】(2023江苏南京建邺期中)如图,∠1+∠2=∠AEC.求证:AB∥CD.
类型五　作平行线,构造同旁内角互补
5.(2023福建龙岩漳平期中)小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的曲臂直杆道闸(如图1),并抽象出如图2所示的模型,已知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自动识别后,曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转,CD段则一直保持水平状态上升(即CD与AE始终平行),在该过程中∠ABC+∠BCD始终等于(　　)
　
A.180°　　　　B.250°　　　　C.270°　　　　D.360°
6.【“铅笔”模型】如图,∠B+∠BCD+∠D=360°,求证:∠1=∠2.
答案全解全析
1.证明　∵DG⊥BC,AC⊥BC,∴DG∥AC,
∴∠2=∠DCA.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠DCA,∴CD∥EF.
2.解析　(1)EF和AB的位置关系为平行.
理由如下:∵CD∥AB,∠DCB=70°,
∴∠DCB=∠ABC=70°,
∵∠CBF=20°,∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°.
∵∠EFB=130°,∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°,
∴EF∥AB.
(2)∵EF∥AB,CD∥AB,
∴EF∥CD,∴∠CEF+∠ECD=180°,
∵∠CEF=60°,∴∠ECD=120°,
∵∠DCB=70°,
∴∠ACB=∠ECD-∠DCB=50°.
3.解析　(1)∵MN⊥CD,∴∠4=90°,∵AB∥CD,EF∥CD,∴EF∥AB∥CD,∴∠2=∠1=50°,∠3=∠4=90°,∴∠PMN=∠2+∠3=140°.
故答案为140°.
(2)如图乙和图丙所示.
　
(3)∵MN⊥CD,∴∠MOD=90°.
选思路二:如图乙,过点G作GE∥MN,交CD于点E,
∴∠GEO=∠MOD=90°,∠EGM+∠PMN=180°,
∵AB∥CD,∴∠AGE=∠GEO=90°,
∴∠EGM=180°-∠1-∠AGE=40°,
∴∠PMN=140°.
选思路三:如图丙,过点O作OF∥PM,交AB于点F,
∴∠PMN+∠FOM=180°,∠GFO=∠1=50°,
∵AB∥CD,∴∠FOC=∠GFO=50°,
∵∠MOD=90°,∴∠COM=90°,
∴∠FOM=90°-50°=40°,∴∠PMN=140°.
4.证明　如图,过点E作EF∥AB,
∴∠1=∠AEF,
∵∠1+∠2=∠AEC,∠AEF+∠CEF=∠AEC,
∴∠1+∠2=∠AEF+∠CEF,
∴∠2=∠CEF,∴EF∥CD,
∵EF∥AB,∴AB∥CD.
模型解读　平行线拐点模型——“猪蹄”模型
如图,点P在直线AB、CD之间,且在点B、D左侧.
结论1:若AB∥CD,则∠B+∠D=∠P;
结论2:若∠B+∠D=∠P,则AB∥CD.
5.C　如图,过点B作BG∥AE,
∵AB⊥AE,
∴AB⊥BG,
∴∠ABG=90°,
∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=90°+∠CBG,
∵CD∥AE,BG∥AE,∴CD∥BG,
∴∠BCD+∠GBC=180°,
∴∠ABC+∠BCD=90°+∠CBG+∠BCD=90°+180°=270°.故选C.
6.证明　如图,过点C作CP∥AB.
∴∠B+∠5=180°,
∵∠B+∠BCD+∠D=360°,
∴∠6+∠D=180°,
∴CP∥ED,
又∵CP∥AB,∴AB∥ED,
∴∠3=∠4,∴∠1=∠2.
模型解读　平行线拐点模型——“铅笔”模型
如图,点P在直线AB、CD之间,且在点B、D右侧.
结论1:若AB∥CD,则∠B+∠D+∠P=360°;
结论2:若∠B+∠D+∠P=360°,则AB∥CD.
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