2024鲁教版数学七年级下册--专项素养综合全练(四)三角形内角和的常见应用类型（含解析）

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2024鲁教版数学七年级下册
专项素养综合全练(四)
三角形内角和的常见应用类型
类型一　三角形内角和定理在求角度中的应用
(2023山东济南期中)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=56°,CE平分
∠ACB,CD⊥AB于点D,DF⊥CE于点F,求∠CDF的度数.
类型二　三角形内角和定理在折叠中的应用
2.(2023辽宁本溪、铁岭、辽阳中考)如图,在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠B=20°,点D是边BC上的动点,将三角形纸片沿AD折叠,使点B落在点B'处,当B'D⊥BC时,∠BAD的度数为　　　　.
类型三　三角形内角和定理在类比思想中的应用
3.【新考向·新定义试题】(2022北京房山期末)如图,由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像,称为“形BAMCD”.
（1）如图1,形BAMCD中,若AB∥CD,∠AMC=60°,则∠A+∠C
=　　　　°;
（2）如图2,连接形BAMCD中B,D两点,若∠ABD+∠BDC=160°,
∠AMC=α,试猜想∠BAM与∠MCD之间的数量关系,并说明理由.
　
类型四　三角形内角和定理在转化思想中的应用
4.(2023山东淄博期中)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(　　)
A.180°　　　　B.260°　　　　C.270°　　　　D.360°
类型五　三角形内、外角的关系在探究角的关系中的应用
5.(2023山东东营广饶期中)如图①②③,若∠A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4,则∠O1+∠O2+∠O3=(　　)
A.84°　　　　B.111°　　　　C.225°　　　　D.201°
类型六　方程思想在三角形内、外角的关系中的应用
6.(2023福建泉州期末)如图,AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA.
(1)∠EAC与∠B相等吗 为什么
(2)若∠B=50°,∠CAD∶∠E=1∶3,求∠E的度数.
类型七　整体思想在三角形内、外角的关系中的应用
7.【新考向·阅读理解试题】(2023陕西宝鸡凤翔期末)综合与探究:
【情境引入】
(1)如图1,BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,说明∠D=90°+∠A.
　　
【深入探究】
(2)①如图2,BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,∠D与∠A之间的等量关系是　　　　;
②如图3,BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角
∠ACE的平分线,BD,CD交于点D,探究∠D与∠A之间的等量关系,并说明理由.
答案全解全析
1.解析　在△ABC中,∠A=40°,∠B=56°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-56°=84°,
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACB=×84°=42°.
∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=90°-∠B=90°-56°=34°,
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=42°-34°=8°.
∵DF⊥CE,∴∠CFD=90°,
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-8°=82°.
2.答案　25°或115°
解析　由折叠的性质得∠ADB'=∠ADB.
∵B'D⊥BC,∴∠BDB'=90°.
①当B'在BC下方时,如图,∵∠ADB+∠ADB'+∠BDB'=360°,
∴∠ADB=×(360°-90°)=135°,∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB
=25°;
②当B'在BC上方时,如图,∵∠ADB+∠ADB'=90°,
∴∠ADB=×90°=45°,
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=115°.
综上,∠BAD的度数为25°或115°.
故答案为25°或115°.
3.解析　(1)如图,延长AM交CD于E,
∵AB∥CD,∴∠A=∠AEC,
∴∠A+∠C=∠C+∠MEC=∠AMC=60°.
故答案为60.
(2)∠BAM+∠MCD=α+20°.
理由:如图,过A点作AP∥CD交BD于点P,
∴∠APB=∠D,
∵∠BAP+∠APB+∠B=180°,∠B+∠D=160°,
∴∠BAP=180°-160°=20°,
由(1)可得∠AMC=∠PAM+∠MCD,
∵∠AMC=α,∴∠PAM+∠MCD=α,
∴∠BAM+∠MCD=α+20°.
4.A　如图,
∵∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E,∠A+∠1+∠C=180°,
∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C=180°,故选A.
5.D　∵∠A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4,
∴题图①中,∠2+∠4=(∠1+∠2+∠3+∠4)=×(180°-42°)=69°,故∠O1=180°-69°=111°;
题图②中,∠O2=∠4-∠2=×[(∠3+∠4)-(∠1+∠2)]=∠A=21°;
题图③中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-42°=138°,则∠1+∠2
+∠3+∠4=180°+180°-138°=222°,故∠O3=180°-(∠2+∠3)
=180°-×222°=69°.∴∠O1+∠O2+∠O3=111°+21°+69°=201°,故选D.
解析　(1)相等.理由如下:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
又∠EAD=∠EDA,∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=∠EDA-∠BAD=∠B.
(2)设∠CAD=x°,则∠E=3x°,由(1)知∠EAC=∠B=50°,∴∠EAD=∠EDA=(x+50)°.在△EAD中,∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°,
∴3x+2(x+50)=180,解得x=16.∴∠E=48°.
解析　(1)证明:∵BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∵∠1+∠2+∠D=180°,∠A+
∠ABC+∠ACB=180°,∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-(∠ABC+
∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.
(2)①∵BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,
∴∠DBC=∠EBC=(∠A+∠ACB),∠DCB=∠FCB=(∠A+∠ABC),∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-(180°+∠A)=90°-∠A.故答案为∠D=90°-∠A.
②∠D=∠A.理由如下:∵BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE,
∵∠ACE=∠A+∠ABC,∠DCE=∠D+∠DBC,∴∠D+∠ABC=(∠A+∠ABC),∴∠D=∠A.
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