2024青岛版数学七年级下册--专项素养综合全练(六)因式分解的方法（含解析）

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2024青岛版数学七年级下册
专项素养综合全练(六)
因式分解的方法
类型一　用提公因式法因式分解
1.(2023湖南株洲茶陵期中)因式分解:
(1)3x2-6x+12xy.
(2)(x-y)3+4x(x-y)2.
类型二　用公式法因式分解
2.因式分解:
(1)mn+n2.
(2)(2m-n)2-6n(2m-n)+9n2.
(3)(x2+9)2-36x2.
类型三　综合运用提公因式法与公式法因式分解
3.(2023山东青岛即墨期中)将下面各式因式分解:
(1)-3a2b+12ab-12b.
(2)n2(m-2)+16(2-m).
类型四　用分组分解法因式分解
4.(2023山东济南市中期中节选)阅读下列材料:某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:“m2-mn+2m-2n”,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2).该“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题:
(1)分解因式:a3-3a2-6a+18.
(2)已知m+n=5,m-n=1,求m2-n2-2n+2m的值.
(3)分解因式:m2-a2+2m+2a.
类型五　用十字交叉相乘法因式分解
5.【项目式学习试题】(2023湖南永州宁远期中)
提出问题:
你能把多项式x2+5x+6因式分解吗
探究问题:
如图1所示,已知a,b为常数,由面积相等可得(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,就可以对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).观察发现多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1,常数项为两数之积,一次项系数为两数之和.
解决问题:
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+3)(x+2).
运用结论:
(1)基础运用:对多项式x2-5x-24进行因式分解.
(2)知识迁移:对多项式4x2-4x-15进行因式分解还可以这样思考:将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积,再将常数项-15分解成-5与3的乘积,图中的对角线上的乘积的和为-4x,就是4x2-4x-15的一次项,所以有4x2-4x-15=(2x-5)(2x+3),这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”.请用十字相乘法进行因式分解:3x2-19x-14.
　
类型六　换元法
6.阅读下列材料:
因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,
则原式=A2+2A+1=(A+1)2,
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题过程用到了“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:9+6(x-y)+(x-y)2=　　　　.
(2)因式分解:(a+b)(a+b-8)+16.
(3)证明:若n为正整数,则式子(n+1)(n+2)·(n+3)(n+4)+1的值一定是某一个整数的平方.
答案全解全析
1.解析　(1)3x2-6x+12xy=3x(x-2+4y).
(2)(x-y)3+4x(x-y)2
=(x-y)2(x-y+4x)
=(x-y)2(5x-y).
2.解析　(1)原式=+2·m·n+n2
=.
(2)原式=(2m-n)2-2·3n·(2m-n)+(3n)2=(2m-n-3n)2=(2m-4n)2=4(m-2n)2.
(3)(x2+9)2-36x2
=(x2+9+6x)(x2+9-6x)
=(x+3)2(x-3)2.
3.解析　(1)-3a2b+12ab-12b
=-3b(a2-4a+4)
=-3b(a-2)2.
(2)n2(m-2)+16(2-m)
=(n2-16)(m-2)
=(n+4)(n-4)(m-2).
4.解析　(1)a3-3a2-6a+18
=a2(a-3)-6(a-3)
=(a-3)(a2-6).
(2)m2-n2-2n+2m
=(m2-n2)-(2n-2m)
=(m+n)(m-n)-2(n-m)
=(m+n)(m-n)+2(m-n)
=(m-n)(m+n+2),
∵m+n=5,m-n=1,
∴原式=1×(5+2)=7.
(3)原式=(m2+2m+1)-(a2-2a+1)
=(m+1)2-(a-1)2=(m+a)(m-a+2).
5.解析　(1)x2-5x-24=x2+(3-8)x+3×(-8)
=(x+3)(x-8).
(2)用十字相乘法进行因式分解,如图,
3x2-19x-14=(x-7)(3x+2).
6.解析　(1)将“x-y”看成整体,令x-y=A,
则原式=A2+6A+9=(A+3)2,
再将“A”还原,得原式=(x-y+3)2,
故答案为(x-y+3)2.
(2)将“a+b”看成整体,令a+b=A,
则原式=A(A-8)+16=A2-8A+16=(A-4)2,
再将“A”还原,得原式=(a+b-4)2.
(3)证明:(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=[(n+1)(n+4)]·[(n+2)(n+3)]+1
=(n2+5n+4)(n2+5n+6)+1,
令n2+5n=A,
则原式=(A+4)(A+6)+1
=A2+10A+25
=(A+5)2
=(n2+5n+5)2,
∵n为正整数,∴n2+5n+5是整数,
∴式子(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值一定是某一个整数的平方.
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