14.2立方根 教案
图片预览
文档简介
立方根
课程目标
一、知识与技能目标
1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根．
2．能用类比平方根的方法学习立方根，及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同．
二、过程与方法目标
用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同．
三、情感态度与价值观目标
发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并做出正确的处理．
教材解读
由正方体的边长与体积的关系引出立方运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，转入立方根运算．于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算，很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系，于是立方根的表示，运算等问题就留给同学去发现．
学情分析
在学方根运算后继而学习立方根运算，通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握．
教学过程
一、创设情境，导入新课
问题1．
问题2．两个不同形状的水晶一样的透明饰 ( http: / / www.21cnjy.com )物，一个是圆球形的，一个是正方形，经过测算，其体积都是 125cm3．同学们，你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗？那就是球的半径与正方体的边长，你能求出这个半径和边长吗？
要求出这两个量，我们就来学习开方中的另一种运算：开立方运算．
二、师生互动，课堂探究
(一)导入知识，解释疑难
对于问题1我们如果设棱长为x米，则不难得出x3 = 0.125，也就是要求一个数，使它的立方为0.125，我们知道0.53 = 0.125，所以正方体木块的棱长为 0.5米；由此我们给出立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根(cube root)．即如果x3 = a，则x叫做a的立方根，记为，读作三次根号a．
注意：表示一个数的立方根时不需要正负号；符号中的指数3不能省略．
在学习平方根的运算时，首先是找出一些数的平方，然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根，同样，我们先来算一算一些数的立方．
23=______ ；( 2)3=______； 0.53=_____；( 0.5)3=______；()3=_____； ()3=_____ ； 03=______．
(1)经计算发现正数，0，负数的立方根与平方根有何不同之处？
23=8；( 2)3= 8； 0.53=0.125； ( 0.5)3= 0.125；()3=； ()3= ；03=0．
我们发现，求立方运算时，当底数互为相反 ( http: / / www.21cnjy.com )数时，其立方也是一对互为相反数，这与平方运算不同，平方运算的底数为相反数，但其平方相等，故一个正数的平方根有两个值，但一个正数的立方根却只有一个．
(2)开平方与平方运算互为逆运算，同样开立方与立方运算也互逆，故请根据上述等式，写出这些互为相反数的立方根．
8的立方根为2， 8的立方根为 2，记为=2，= 2
0.125的立方根为0.5， 0.125的立方根为 0．5，记为=0.5，= 0.5
的立方根为， 的立方根为 ，记为=，=
0的立方根为0，记为=0
上述过程都是求一个数的 ( http: / / www.21cnjy.com )立方根的运算，我们把求一个数的立方根的运算，叫做开立方(extraction of cube root)，开立方与立方运算互为逆运算．
前面问题2中正方体的边长为=5，而球的体积为r3 =125时，r≈3.1．
归纳：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0，可记为=a(a为任意数)，或者若a3=M，则有=a，其中M为被开方数，3为根指数，且根指数3不能省略，只有当根指数为2时，才能省略不写．并且有规律：=
(二)例题求解
例1：求下列各式的值：①；②；③；④()3
解：①= = 2；②==0.4；③= = ； ④()3=a．
例2：求下列各数的立方根．
① 27； ②； ③ 0.216； ④ 5．
解：①∵( 3)3= 27，∴= 3；
②∵()3=，=；
③∵( 0.6)3= 0.216， = = 0.6；
④对 5这个数，作如下尝试：13=1，23=8，1.53=3.375，1.73=4.193．发现4.193最接近5，故不能口算出其值，得借助计算器求值，且通过计算器检验知是一个无限不循环小数，用计算器计算知= ≈ 1.71是一个近似数．
(三)探究活动
①若正方体的棱长为1，则其体积为1 ( http: / / www.21cnjy.com )；若正方体的棱长为2，则其体积为8；若正方体的棱长为4，则其体积为64；若其棱长为8，则其体积为512……当棱长为2n时，其体积为多少？
②某正方体的体积为1时，其棱长为1；体积为2时，棱长为；体积为3时，棱长为 ……；若体积扩大到原来的n倍，则棱长扩大多少倍？
解：①正方体棱长为1，则体积为 ( http: / / www.21cnjy.com )1，棱长为2，体积为8，比较两者棱长扩大了2倍，体积扩大了8倍，棱长又扩大了1倍，其体积相应增大7倍，为原来的8倍，故当棱长为2n时，体积为8n3．
②当体积扩大到原来的n倍时，棱长扩大到原来的倍．
(四)归纳总结，知识回顾
这节课学习了立方根的概念，立方 ( http: / / www.21cnjy.com )根的表示方法以及如何求一个数的立方根．用计算器求任意数的立方根时，只能先求出该数的绝对值的立方根，再根据任意数的正负性决定其值，注意区分平方根与立方根．
课程目标
一、知识与技能目标
1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根．
2．能用类比平方根的方法学习立方根，及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同．
二、过程与方法目标
用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同．
三、情感态度与价值观目标
发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并做出正确的处理．
教材解读
由正方体的边长与体积的关系引出立方运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，转入立方根运算．于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算，很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系，于是立方根的表示，运算等问题就留给同学去发现．
学情分析
在学方根运算后继而学习立方根运算，通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握．
教学过程
一、创设情境，导入新课
问题1．
问题2．两个不同形状的水晶一样的透明饰 ( http: / / www.21cnjy.com )物，一个是圆球形的，一个是正方形，经过测算，其体积都是 125cm3．同学们，你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗？那就是球的半径与正方体的边长，你能求出这个半径和边长吗？
要求出这两个量，我们就来学习开方中的另一种运算：开立方运算．
二、师生互动，课堂探究
(一)导入知识，解释疑难
对于问题1我们如果设棱长为x米，则不难得出x3 = 0.125，也就是要求一个数，使它的立方为0.125，我们知道0.53 = 0.125，所以正方体木块的棱长为 0.5米；由此我们给出立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根(cube root)．即如果x3 = a，则x叫做a的立方根，记为，读作三次根号a．
注意：表示一个数的立方根时不需要正负号；符号中的指数3不能省略．
在学习平方根的运算时，首先是找出一些数的平方，然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根，同样，我们先来算一算一些数的立方．
23=______ ；( 2)3=______； 0.53=_____；( 0.5)3=______；()3=_____； ()3=_____ ； 03=______．
(1)经计算发现正数，0，负数的立方根与平方根有何不同之处？
23=8；( 2)3= 8； 0.53=0.125； ( 0.5)3= 0.125；()3=； ()3= ；03=0．
我们发现，求立方运算时，当底数互为相反 ( http: / / www.21cnjy.com )数时，其立方也是一对互为相反数，这与平方运算不同，平方运算的底数为相反数，但其平方相等，故一个正数的平方根有两个值，但一个正数的立方根却只有一个．
(2)开平方与平方运算互为逆运算，同样开立方与立方运算也互逆，故请根据上述等式，写出这些互为相反数的立方根．
8的立方根为2， 8的立方根为 2，记为=2，= 2
0.125的立方根为0.5， 0.125的立方根为 0．5，记为=0.5，= 0.5
的立方根为， 的立方根为 ，记为=，=
0的立方根为0，记为=0
上述过程都是求一个数的 ( http: / / www.21cnjy.com )立方根的运算，我们把求一个数的立方根的运算，叫做开立方(extraction of cube root)，开立方与立方运算互为逆运算．
前面问题2中正方体的边长为=5，而球的体积为r3 =125时，r≈3.1．
归纳：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0，可记为=a(a为任意数)，或者若a3=M，则有=a，其中M为被开方数，3为根指数，且根指数3不能省略，只有当根指数为2时，才能省略不写．并且有规律：=
(二)例题求解
例1：求下列各式的值：①；②；③；④()3
解：①= = 2；②==0.4；③= = ； ④()3=a．
例2：求下列各数的立方根．
① 27； ②； ③ 0.216； ④ 5．
解：①∵( 3)3= 27，∴= 3；
②∵()3=，=；
③∵( 0.6)3= 0.216， = = 0.6；
④对 5这个数，作如下尝试：13=1，23=8，1.53=3.375，1.73=4.193．发现4.193最接近5，故不能口算出其值，得借助计算器求值，且通过计算器检验知是一个无限不循环小数，用计算器计算知= ≈ 1.71是一个近似数．
(三)探究活动
①若正方体的棱长为1，则其体积为1 ( http: / / www.21cnjy.com )；若正方体的棱长为2，则其体积为8；若正方体的棱长为4，则其体积为64；若其棱长为8，则其体积为512……当棱长为2n时，其体积为多少？
②某正方体的体积为1时，其棱长为1；体积为2时，棱长为；体积为3时，棱长为 ……；若体积扩大到原来的n倍，则棱长扩大多少倍？
解：①正方体棱长为1，则体积为 ( http: / / www.21cnjy.com )1，棱长为2，体积为8，比较两者棱长扩大了2倍，体积扩大了8倍，棱长又扩大了1倍，其体积相应增大7倍，为原来的8倍，故当棱长为2n时，体积为8n3．
②当体积扩大到原来的n倍时，棱长扩大到原来的倍．
(四)归纳总结，知识回顾
这节课学习了立方根的概念，立方 ( http: / / www.21cnjy.com )根的表示方法以及如何求一个数的立方根．用计算器求任意数的立方根时，只能先求出该数的绝对值的立方根，再根据任意数的正负性决定其值，注意区分平方根与立方根．