北京市丰台区重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

北京市丰台区重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试卷
考试时间：120分钟 考试分值：150分
第I卷（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．过，两点的直线的斜率为（ ）
A． B．4 C． D．
3．设向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．1
6．若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A．240 B．60 C．180 D．120
9．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．已知是双曲线的右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C．3 D．
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．已知点，，那么两点之间的距离等于 .
12．点到双曲线的一条渐近线的距离为 .
13．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ．
14．已知点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值为 ；点，则的最小值为 .
15．设数列前项和为，满足，且，，则下列命题正确的是 .
①；②数列为等差数列；③当时，有最大值
④设，则当或时，数列的前项和取最大值
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（满分13分）已知直线与圆交于两点，点在圆上运动．
(1)当时，求；
(2)已知点，求的中点的轨迹方程．
17．（满分14分）如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点，

(1)求证：MN平面PAD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.
18．（满分14分）已知数列是等差数列，是的前n项和，，______．
从①，②中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
(1)判断2022是否是数列中的项，并说明理由；
(2)求的最小值．
19．（满分14分）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长.
20．（满分15分）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
21．（满分15分）已知椭圆：的右焦点在直线上，分别为的左、右顶点，且.
(1)求的标准方程；
(2)已知，是否存在过点的直线交于，两点，使得直线，的斜率之和等于-1 若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
北京市丰台区重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学解析
1．【详解】抛物线的焦点在x轴的正半轴上，准线方程为.故选：C
2．【详解】由点，，根据斜率公式，可得．故选：A.
3．【详解】，即，解得．故选：C
4．【详解】等差数列的通项公式，当时，，，真命题，即充分行成立；
若，则，但，所以，当，时，假命题，必要性不成立.
故选：A.
5．【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交，
故将和相减得，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
令，则；令，则，
故与两坐标轴所围城的三角形面积为，故选：C
6．【详解】因为l经过第二、三、四象限，所以，，
所以，故位于第二象限.故选：B
7．【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，
故点关于直线对称的点的坐标为，故选：B
8．【详解】因为数列为等差数列，所以，所以，
所以．故选：D．
9．【详解】由题设，则，
所以，又，可得，即.故选：C
10．【详解】易知是直角三角形，双曲线的渐近线方程为，设，
由可知，
所以.故选：A
11．【详解】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3.
故答案为：3.
12．【详解】由已知可得，，，
双曲线的渐近线方程为.
所以，点到，即的距离.故答案为：2.
13．【详解】当时，.
当时，.
因为，所以，.故答案为：.
14．【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，，当点A、、三点共线时，即当与直线垂直时，
取得最小值，且最小值为.
，由两点间距离公式可知，即当 是线段与抛物线的交点时，取得最小值为．故答案为：4；．

15．【详解】由，，且，
当时，，即，
当时，，
则，
即，
即，
因为，所以，
则数列为等差数列，公差为，首项为，
所以，故①正确；
而，则，
当时，，
所以，所以数列为等差数列，故②正确；
因为，
所以当时，取得最大值，故③错误；
令，得，
令，得，
则当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
又，，
所以当或时，数列的前项和取最大值，故④正确.
故选：①②④.
16．【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
可得，解得.
（2）设，
因为点，且为的中点，则，
又因为点在圆上，则，整理得，
所以点的轨迹方程为.
17．【详解】（1）证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，N分别为PC的中点，则，，

又因为为矩形，则，M分别为AB的中点，则，
故，所以四边形AMNQ为平行四边形，
所以，因为平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD；
（2）以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，
因为，
所以，
，．
设平面PMC法向量为：，
则，令，则．
设PD与平面PMC所成角为，，
则.
即PD与平面PMC所成角的正弦值为.
18．【详解】（1）若选①，
（1）设公差为d，则，解得．
所以．
令，得，所以2022不是数列中的项．
若选②，
（1）设公差为d，则，解得．
所以．
令，解得，所以2022是数列的第1017项．
（2）若选①，
（2）令，解得．所以当时，．
故当时，取到最小值，为．
若选②，
（2）令，得．所以当时，．
故当或时，取到最小值，为．
19．【详解】（1）由题意设椭圆的方 为，
因为椭圆经过点且短轴长为2，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得直线的方程为，
设，将直线代入，
得，易得，所以，，
所以.

20．【详解】（1）过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．

（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．

21．【详解】（1）设右焦点
直线与轴的交点为，所以椭圆右焦点的坐标为
故在椭圆中 ，
由题意，结合，则
所以椭圆的方程为：
（2）当直线的斜率为0时，显然不满足条件
当直线的倾斜角不为时，设直线的方程为：，
由，可得
由题意
则
由
化简可得，由，即
故存在满足条件的直线，直线的方程为：