福建省三校协作2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（含答案）

福建省三校协作2023-2024学年高一上学期12月联考
数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第II卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若角与角的终边相同，则（ ）
A. B.
C. D.
2.若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.若函数的图象在上连续不断，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A.在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B.在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C.在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D.在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
4.设集合，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知幂函数的图象过点，设，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A.9 B.10 C.24 D.25
7.是函数且在是减函数的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.设函数，且，则（ ）
A.若，则一定有零点
B.若，则无零点
C.若且，则一定有零点
D.若则有两个零点
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A.是第二象限角 B.是钝角
C. D.点在第二象限
10.对于实数，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.为奇函数
B.值域为
C.若，且，则
D.当时，恒有成立
12.已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数在上单调递增
C.
D.满足不等式的取值范围为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则__________.
14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.
15.音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由公式（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）计算得到，设的声音的声波强度为的声音的声波强度为，则是的__________倍.
16.设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（满分10分）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
18.（满分12分）在①；②③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知__________.
（1）求的值；
（2）当为第三象限角时，求的值.
19.（满分12分）已知函数在上的最大值为3，最小值为-1.
（1）求的解析式；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
20.（满分12分）已知函数.
（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）已知时，函数的最小值为-2，求实数的值.
21.（满分12分）2023年“双11”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元.
例如，一次购买商品的价格为150元，则实际支付额元，其中表示不大于的最大整数.又如，一次购买商品的价格为810元，则实际支付额元.
（1）小芳计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
（2）已知某商品是小芳常用必需品，其价格为30元/件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
22.（满分12分）已知函数，函数的图像与的图像关于对称.
（1）求的值；
（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
福建省三校协作2023-2024学年高一上学期12月联考
数学试卷参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.ACD 10.AC 11.AC 12.ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.解：（1）原式
（2）
即
，
18.解：（1）若选①，则
若选②，则，即，则；
若选③，则，即
因为，将代入，原式.
（2）由（1）得，即，
由，则，解得
为第三象限角
19.解：（1）依题意得
即
（2），使得
令
（当且仅当时取等号），
的取值范围为.
20.解：（1）当时，，
当时，为上的奇函数
综上所述，函数的解析式为
（2）
设，则，函数化为.
①当，即时，函数在上是增函数
的最小值为，解得（不合题意，舍去）
②当，即时，函数在上是减函数
的最小值为，解得
③当，即时，函数在上有最小值
的最小值为
解得或（不合题意，舍去）
综上所述，实数的值为或5.
21.解：（1）分两次支付：支付额为
元
一次支付：支付额为元
因为，所以一次支付好.
（2）设购买件，平均价格为元/件.由于预算不超过500元，最多购买19件
①当时，不能享受每满400元再减40元的优惠
②当时，
③当时，
④当时，
①当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件
②当时，能享受每满400元再减40元的优惠
③当时，，当时，
④当时，随着的增大而增大
当时，.
综上所述，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件
22.解：（1）由题意，，所以
（2）由题意即关于的方程在上有且仅有一个实根
设，作出函数在上的图像（如下图）
，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点
所以实数的取值范围是或
（3）记.
其中在定义域上单调递增，则函数在上单调递增.
若存在实数，使得的值域为
则，即是方程的两个不等正根
即是的两个不等正根
所以解得.
所以实数的取值范围是.