天津市北京师范大学静海附属学校2023-2024学年高一上学期第二次阶段检测（期中）数学试题（含解析）

北师大静海实验学校2023-2024学年第一学期高一年级第二次阶段性评估
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知函数()，当时，取得最小值，则（ ）
A． B．2 C．3 D．8
7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数关于直线对称,且当时,恒成立,则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
10．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是 ．
11．已知是上的减函数，则实数的取值范围为 .
12．已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为
13．已知集合，，若A∪B=A，则实数a的取值范围是 .
14．给定函数，，，用表示，中的最小者，记请用解析法表示函数 .
15．已知，且，则的最小值是 .
评卷人得分
三、解答题
16．已知集合，.
（1）求；
（2）求；
（3）若，且，求的取值范围.
17．已知函数.
(1)证明函数为奇函数；
(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(3)若，求函数的最大值和最小值.
18．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)画出函数的图像；
(3)根据图像写出的单调区间和值域.
19．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：.
(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大 最大单位利润是多少元 （单位利润利润产量）
20．已知关于的x不等式．
(1)若时，求不等式的解集；
(2)若，解这个关于的不等式；
(3)，恒成立，求a的范围
参考答案：
1．B
【分析】先求解出集合，再求出，再由交集定义得出结果.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故.
故选：B.
2．B
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题求解.
【详解】命题，则为：.
故选：B
3．B
【分析】解分式、一元二次不等式求a范围，根据充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由或，
由或，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
4．D
【分析】根据函数的奇偶性及零点个数排除即可.
【详解】易知的定义域为，且,
所以函数为奇函数，故排除AB.
令，可得,解得,
所以在上只有一个零点，故排除C,
故D正确.
故选:D.
5．C
【分析】根据不等式的性质判断A、C，利用特殊值判断B、D.
【详解】解：对于A：因为，当时，当时，故A错误；
对于B：因为，则，无法得到，如，，显然满足，但是，故B错误；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，则，无法得到，
如，，，，满足，但是，，故D错误；
故选：C
6．C
【分析】通过题意可得，然后由基本不等式即可求得答案
【详解】解：因为，所以，
所以,
当且仅当即时，取等号，
所以y的最小值为1，
所以，所以，
故选：C
7．C
【分析】根据题意结合奇函数的性质分析的符号，进而解不等式.
【详解】当时，令，
可知：当时，；当时，；
又因为是奇函数，可知：当时，；当时，；
对于不等式，则或，可得或，
所以不等式的解集为.
故选：C.
8．C
【分析】根据关于直线对称,可得为偶函数,根据,恒成立,可得在时单调递增,将根据奇偶性化为区间内,再根据单调性解得范围即可.
【详解】解:由题知关于直线对称,
故为偶函数,
,
当时,恒成立,
则在上单调递增,
,
,
,
即,
解得: .
故选：C
9．A
【分析】根据奇函数性质，将不等式化为，再根据单调性以及定义域列式可求出结果.
【详解】因为函数在定义域上为奇函数，
所以，
又函数在定义域上是减函数，
所以，解得.
故选：A
10．(1,4)
【分析】由恒过(0,1)，结合与的关系确定P点的坐标.
【详解】由恒过(0,1)，而是由向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，
∴P点坐标为(1,4)．
故答案为：(1,4)．
11．
【分析】根据题意可知，函数在上递减，且，即可得到不等式组，解出即得解．
【详解】由题意得，.
故答案为：．
12．2
【分析】解方程，再检验得解.
【详解】解：依题意，，得或，
当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去.
当时，，幂函数在上是减函数．所以.
故答案为：
13．或
【分析】由A∪B=A，得到B A，然后再分和两种情况讨论求解.
【详解】已知集合，，
因为A∪B=A，
所以B A则
当时， ，成立；
当 时，，则，
解得 ，
综上：实教a的取值范围是或，
故答案为：或
【点睛】本题主要考查集合基本运算和基本关系的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.
14．
【分析】先由不等式求出的范围，可知此时函数为，从而可求得的解析式
【详解】由，得，
所以当时，，
当或时，，
综上，，
故答案为：
15．
【分析】根据已知式子拼凑出，将乘以“2”再除以“2”，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
由可得，
则
当且仅当，即时取等，
所以的最小值是，
故答案为：.
16．（1）；（2）或；（3）.
【分析】（1）由并集的定义求解即可；
（2）由交集和补集的定义求解即可；
（3），则，列出不等式组，即可求解
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）
∴或；
（3）若，且，
则，
所以，解得，
∴的取值范围.
17．(1)证明见解析
(2)单调递增，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；
（2）利用函数单调性的定义证明并判断；
（3）结合（1）（2）得函数在上单调递增，进而根据单调性求最值.
【详解】（1）证明：函数的定义域为，关于原点对称，
所以，为奇函数
（2）解： 在上单调递增，理由如下：
在上任取，
则
因为，所以，
故
所以，所以在上单调递增.
（3）解：由（1）（2）得在上单调递增.
所以，
18．(1)
(2)图像见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的性质即可求出；
（2）根据解析式即可画出图像；
（3）根据图像可得出.
【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数，当时，，
则当时，，则，
所以；
（2）画出函数图像如下：
（3）根据函数图像可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的值域为.
19．(1)
(2)当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得.
（2）设零件的单位利润为，得到的解析式，再结合基本不等式的公式，即可
【详解】（1）当时，，
当时，，
故.
（2）设零件的单位利润为，
则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
20．(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）由题可得，即可得答案；（2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案；（3）由题，可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案.
【详解】（1）时，
，则解集为：；
（2）当时，；
当时，
当时，有，则此时不等式解集为：；
当，.
若，即时，不等式解集为：；
若，即时，不等式解集为：；
若，即时，不等式解集为空集.
综上，时，解集为；时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；时，解集为；
（3），
因，则.
则题目等价于.
令，因，则.
则
注意到函数在时单调递增，
则，即.