北师大静海实验学校2023-2024学年高二
第一学期期中考试
数学 试题
考试时间：120分钟 满分：150分
1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。
3.祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
注意事项：
1.每小题选出答案后，请填写在答题卡上，答在本试卷上无效。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、单选题（共45分）
1．过两点的直线的倾斜角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．“”是“直线和直线相互垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，且为共线向量，则的值为（ ）
A．7 B．
C．6 D．8
4．在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．已知直线，与平行，则的值是（ ）
A．0或1 B．1或 C．0或 D．
7．过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
A． B．
C． D．
9．若曲线与直线仅有一个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题
10．在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为 ．
11. 已知直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为__________.
12．已知过点 的直线l与圆相交的弦长为 ,则直线 的斜率为 .
13．椭圆的焦距是2，则的值是 .
14．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，则圆与公共弦长为
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.
三、解答题
16．（本题15分）如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点.
(1)求直线与平面BDE所成角的正弦值；
(2)求平面与平面BDE的夹角的余弦值；
(3)求点F到平面BDE的距离.
17．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
18．（本题15分）已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.
19．（本题15分）已知椭圆C过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且，求直线l的方程．
（本题15分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心 椭圆的短半轴长为半径的圆E与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与交于两点，已知，求面积的最大值.参考答案：
1．A
【解析】根据直线的斜率公式计算即可求出.
【详解】直线AB的斜率,故直线AB的倾斜角，故选A.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率计算公式，属于容易题.
2．A
【分析】根据直线垂直得到或，根据范围大小得到答案.
【详解】直线和直线相互垂直，则，
故或，故是或的充分不必要条件.
故选：.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
3．C
【分析】利用向量共线的坐标形式可得关于的方程组，求出其解后可得正确的选项.
【详解】因为为共线向量，且它们均为非零向量，故存在实数，
使得，故，所以，故，
故，
故选：C.
4．B
【分析】连接由中位线性质可知；利用空间向量的加减法和数乘运算可表示出结果.
【详解】连接,，分别是,的中点
，，
故选：B
5．D
【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【详解】圆的圆心到直线的距离.
故选：D．
6．C
【详解】试题分析：由题意得：或，故选C.
考点：直线平行的充要条件．
7．C
【分析】先判断出点M在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案.
【详解】因为，所以点M在圆上，而，则切线斜率为2，
所以切线方程为：.
故选：C.
8．A
【分析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.
【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.
故答案为A
【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．D
【分析】对变形，再结合直线过定点，作出图形，数形结合即可得解.
【详解】由可得，
所以曲线是以为圆心，半径为1的圆在x轴上方（包含与x轴的交点）的部分，
直线过定点，
在同一坐标系中作出曲线与直线，如图，
当时，直线，直线与圆相切，符合题意；
当时，若直线过点时，，
若直线过点时，，
数形结合可得若曲线与直线仅有一个交点，
则；
综上，.
故选：D.
【点睛】本题考查了圆的性质及直线与圆位置关系的应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.
10．/
【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线的方程.
【详解】直线：，斜率为
过点且垂直于直线的直线方程斜率为
则所求直线的方程为，即
故答案为：
11．
【解析】利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离.
【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为，
所以，点到平面的距离为.
因此，点到平面的距离为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
12．
【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆心的坐标和半径，根据垂径定理及勾股定理，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】将圆的方程化为标准方程得：，
可得圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，此时圆心到直线为0，故截的弦长为直径4，不符合要求，
故直线的斜率存在，设斜率为，又直线过，
故直线方程为，即，
弦长为，半径，
圆心到直线的距离，
即，整理得：，解得：．
故答案为：
13．
【分析】根据题意，求出圆的圆心，由直线垂直与斜率的关系可得直线的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案．
【详解】根据题意，因为，所以
所以圆的圆心为，
直线与直线垂直，则直线的斜率，
则直线的方程为，变形可得；
故答案为：．
【点睛】、本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程，注意分析圆的圆心，属于基础题．
14．
【分析】直观根据焦距为2，得到，再根据，计算可得；
【详解】解：因为椭圆的焦距是2，所以，即，因为，所以，解得
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.
15．
【分析】求出公共弦的方程，再求出公共弦所在直线截圆所得弦长即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心距为，所以，，
所以，两圆相交，将两圆方程作差可得相交弦所在直线方程为，
圆心到直线的距离为，
故两圆相交弦长为.
故答案为：.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得向量和向量的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）求得平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
（3）由（1）知，平面BDE的一个法向量为和向量，结合距离公式，即可求解.
【详解】（1）解：以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
可得，，，
设平面BDE的法向量为，则，即，
取，可得，所以，
设直线与平面BDE所成的角为.
则，
即直线与平面BDE所成角的正弦值为.
（2）解：因为，，
设平面的法向量为，
则，即，取，可得，所以，
设平面与平面BDE的夹角为，
则，
即平面与平面BDE的夹角的余弦值为.
（3）解：由（1）知，平面BDE的一个法向量为，
又由，所以点F到平面BDE的距离，
即点F到平面BDE的距离为.
17．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；
（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；
（3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.
【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，，又因为，
则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，，
所以，，.
因为，.所以，
又，平面，平面.
所以平面.
（2）设平面的法向量，由（1）可知，
设平面的法向量
因为，.
所以，即，
不妨设，得.
，
又由图示知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
（3）设，即.所以，即.
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，即.
【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.
1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。
2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.
3、求：求出两个面的法向量.
4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.
18．（1）；（2）和.
【分析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.
(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.
【详解】（1）设圆的标准方程为：
圆心到直线的距离：，
则
圆的标准方程：
（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.
②当切线斜率存在时，设切线：，即
则圆心到直线的距离：.
解得：，即
则切线方程为：
综上，切线方程为：和
19．（1）；
20．（1）（2）
