参考答案：
1．A
【分析】根据复数的交集、并集运算的概念可得结果.
【详解】，.
故选：A
2．A
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】若，则，即，所以；
若，则，不能推出“”.
所以是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型.
3．D
【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判断出结果.
【详解】因为，，
函数与都是增函数，所以也是增函数，
因此，
即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.
4．D
【分析】先对函数求导，求得；再由题意，得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为，所以，则；
又曲线在点处的切线与直线平行，
所以，解得：.
故选：D.
【点睛】本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型.
5．B
【分析】根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果.
【详解】因为在中，，所以，
若以边所在的直线为轴，将旋转一周，所得的几何体是以为高，以为底面圆半径的圆锥，因为，，
因此，其体积为：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型.
6．C
【分析】根据分数在区间的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数.
【详解】因为分数在区间的频数为5，由频率分布直方图可知，区间对应的频率为，
因此样本容量为，
所以，大于等于60分的人数为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.
7．A
【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果.
【详解】粒内夹谷18粒，
米中含谷的频率为，
石中夹谷约为（石）.故选A.
【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.
8．C
【解析】根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】因为函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，
所以 ，解得，
因为，所以，因此，
①将的图象向右平移个单位长度后函数解析式为，
由，得，所以其对称中心为：，故①错；
②由，解得，即函数的对称中心为；令，则，故②正确；
③由，故③错；
④由，得，
即函数的增区间为，因此在区间上单调递增，故④正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
9．D
【分析】作出的图像，利用数形结合即可求解.
【详解】作图可得，，，所以
故选：D.
【点睛】本题考查了根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
10．
【分析】对复数进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到的值.
【详解】
因为复数为纯虚数，
所以，得.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题.
11．
【分析】根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解.
【详解】因为的展开式的通项为，
令，则，
所以项的系数为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.
12．
【分析】连接交于，以为原点，以为轴，轴的正半轴建立直角坐标系，求得的坐标，从而可得结果.
【详解】
连接交于，以为原点，
以为轴，轴的正半轴建立直角坐标系，
菱形边长为2，，
，
为的中点，，
，
，
.
故答案为.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
13．
【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果.
【详解】
设圆柱的高为，
圆柱体积为，底面半径为，
，，
设球半径为，
则，
，可得，
球的体积为，故答案为.
【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质，以及柱体与球体的体积公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，考查了空间想象能力，属于中档题.
14．
【分析】对的取值进行分类讨论，将问题转化为求函数的最大值以及最小值的问题，即可求得参数的取值范围.
【详解】由题意，当时，不等式可化为显然不成立；
当时，不等式可化为，所以，
又当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，不等式可化为，
即；
因为存在使得关于x的不等式成立，
所以，只需或.
故答案为：.
【点睛】本题考查由不等式能成立求参数的范围，属综合中档题.
15．9
【详解】∵函数y=alog2x﹣b（a＞0，b＞0）的图象过点（），
∴alog2﹣b=﹣1 2a+b=1，
∴=（2a+b）（）=4++1+，（当且仅当，即a=b时取等号）．
故答案为9．
16．（1）详见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由面面垂直的性质可得直线平面，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，求出平面的一个法向量，直线的方向向量，由即可得证；
（2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用，再利用同角三角函数的平方关系即可得解；
（3）设，由题意即，解出后即可得解.
【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，平面，，
直线平面，
由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
依题意易得是平面的一个法向量，
又，，
又直线平面，平面；
（2），，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令可得，
设为平面的一个法向量，
则，即，令 可得，
，二面角的正弦值为；
（3）设，则，又，
，即，
，解得或（舍去）．
故所求线段的长为．
【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行、求解二面角、表示异面直线所成的角，属于中档题.
17．（1）2；（2）.
【分析】（1）在中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果.
【详解】（1）在中，根据余弦定理，，
于是，
解得或（舍去），故.
（2）在中，，于是.
根据正弦定理，得，.
又为钝角，为锐角，即.
从而，，
.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
18．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差和等比数列通项公式可构造方程组求得公比和公差，由此可得；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，结合的单调性可证得结论.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由得：，解得：，
；.
（2）由（1）得：，
，
，；
令，
，
单调递减，单调递增，；
综上所述：.
19．（1），；（2）.
【分析】（1）先得到数列是以2为公差的等差数列，由求出首项，可得的通项公式，由求出等比数列的首项与公比，从而可得的通项公式；（2）利用（1）得，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果.
【详解】（1）由已知得：，
数列是以2为公差的等差数列.
，，，
.
设等比数列的公比为，
，，，
.
（2）由题意，得，
，
.
上述两式相减，得
,
.
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
20．（1）；（2）①当时，在上单调递增；②当时，在和上单调递增；在上单调递减；当时，函数在和上单调递增；在上单调递减；（3）.
【分析】（1）求出，由函数在点处的切线与平行，得，从而可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）当时，，对任意的恒成立等价于在恒成立. 设，两次求导，可得，从而可得结果.
【详解】（1）由题意，得.
由函数在点处的切线与平行，得.
即.
（2）当时，，
由知.
①当时，，在恒成立，
函数在上单调递增.
②当时，由，解得或；
由，解得.
函数在和上单调递增；在上单调递减.
③当时，，解得或；
由，解得.
函数在和上单调递增；在上单调递减.
（3）当时，，
由，得对任意的恒成立.
，，
在恒成立.
设，则，
令，则，
由，解得.
由，解得；
由，解得.
导函数在区间单增；在区间单减，
，在上单调递减，
，.
故所求实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.2023-2024学年度高中数学
试卷
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知函数．若，，．则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．2 C． D．1
5．在中，，，，以边BC所在的直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C．36 D．12
6．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为，，，．若分数在区间的频数为5，则大于等于60分的人数为（ ）
A．15 B．20 C．35 D．45
7．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为
A．108石 B．169石 C．237石 D．338石
8．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
9．已知函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根a，b，c，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
10．是虚数单位,若是纯虚数,则实数的值为 .
11．在的展开式中，项的系数为 （用数字作答）．
12．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，，则 .
13．圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为 .
14．已知函数.若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是 .
15．已知函数的图象过点，则的最小值为 .
三、证明题
16．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
（1）求证：平面;
（2）求二面角的正弦值;
（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．
四、解答题
17．在中，内角所对的边分别为，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
19．已知数列的前项和为，且（），.数列为等比数列，且.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
20．已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求与满足的关系；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）当时，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.
