6.2.3向量的数乘运算 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
6.2.3向量的数乘运算
学习目标
1. 理解向量数乘的概念，掌握向量数乘的运算律；
2. 了解线性运算的概念及其运算律；
3. 理解向量共线定理，并会用之解决两个向量的共线问题。
单元框架
复习回顾
1. 向量加法三角形法则:
特点: 首尾相连，连首尾
特点: 起点相同，连对角
2. 向量加法平行四边形法则:
特点: 共起点，连终点，指向被减
3.向量减法三角形法则:
A
O
B
思考：
向量有乘法运算吗？怎么定义呢？运算结果是什么量呢？
复习回顾
一、新知引入
已知非零向量，作出和. 它们的长度和方向分别是怎样的
问题1
P
O
C
A
B
Q
M
N
上述这种实数与向量的乘法运算称为向量的数乘.
的方向与相同，长度是的3倍
即
的方向与相反，长度是的3倍
即
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作。
定义：
二、新知探究
探究1：向量的数乘及其几何意义
如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量之间的关系怎样？
1.向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与以及有关
2.实数和向量可以相乘，但不能相加减， 无意义
注意：
问题2
3.5
二、新知探究
探究1：向量的数乘及其几何意义
数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？
问题3
二、新知探究
探究2：向量的数乘运算律及向量的线性运算
（1）根据数乘定义，求作向量和，并比较
（2）已知向量，求作向量和，并比较
结论：
结论：
数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？
向量数乘的运算律：
设，是实数，那么有
(1)结合律：
(2)分配律：①
②
问题3
二、新知探究
探究2：向量的数乘运算律及向量的线性运算
向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
向量线性运算的结果仍是向量。
(1)结合律：
(2)分配律：①
②
二、新知探究
探究2：向量的数乘运算律及向量的线性运算
例题讲解
例5：计算
　　　 　
　　 　　
复习回顾
A
B
C
D
M
例6 如图， 的两条对角线相交于点M，且, ，用，表示
（1）点C在线段AB上，且，则 .
问题4
二、新知探究
探究3：平面向量共线定理
（2）数乘向量与原向量的位置关系是什么？
（3）若,则向量与的位置关系是什么？
（4）若且与共线,则一定成立吗？
已知向量共线，向量的长度是向量的长度的倍，即
①当同方向时，有；②当反方向时，有
一定成立
二、新知探究
探究3：平面向量共线定理
数学符号表示：时，
平面向量共线定理：
向量≠与共线的充要条件是:存在唯一一个实数，使
注意：
（1）共线定理两层含义
①时，；
②时，
（2）为什么时，共线定理不一定成立？
根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使
l
a
b
向量共线定理：
向量≠与共线的充要条件是:存在唯一一个实数，使
数学符号表示：时，
二、新知探究
探究3：平面向量共线定理
也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．
例题讲解
1.判断下列各小题中的向量与是否共线：
（1）;
（2）;
共线
共线
2.设是不共线的两个非零向量.
（1）若与共线，求实数的值
（2）若，，，求证A,B,C三点共线.
例题讲解
三、课堂总结
1.向量的数乘
2.向量数乘的几何意义
3.向量数乘的运算律
4.向量共线定理
作业布置
必做题：课本第16页练习第1，2，3题
选做题：课本第23页习题6.2第13题
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