江苏省省熟中2023-2024学年高一上学期12月学业水平调研数学试卷（PDF版含答案）

2023~2024 年度第一学期高一年级十二月份学业水平调研
数学试题（1-12 班）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合要求的．）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、函数 f x lnx x 4的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A． 1,2 B． 2,3 C． 3,4 D． 5,6
3、“ 为第一或第四象限角”是“ cos 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、如图是杭州 2022 年第 19 届亚运会会徽，名为“潮
涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和
发展.如图是会徽的几何图形，设弧 AD 的长度是 l1，弧 BC
的长度是 l2，几何图形 ABCD 面积为 S1，扇形 BOC 面积为
l1 S
S2，若 4
1
， （ ）
l2 S
2
A．9 B．8 C．16 D．15
5、角
3
的终边与单位圆 O相交于点 P，且点 P的横坐标为 ，则
5 1 sin
2 的值为（ ）
3 3 4 4
A． B．- C． D．
5 5 5 5
6、已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
7、已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、函数 f x loga 2x 3 1（ a 0 且a 1）的图象恒过定点 A m,n ，若对任意正数 都有
1 2
，则 的最小值是（

）
x 1 y
39 4
A．2 B． C．1 D．
22 3
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
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部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，不选或有选错的得 0分．）
9、若角 A,B,C是 ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）
A．cos(A B) cosC B．sin(A B) sinC
A C B B C A
C．cos sin D．sin cos
2 2 2 2
10、已知 π,0 7， sin cos ，则下列结论正确的是（ ）
13
π 12 5 17A． π, B．cos C． tan D．sin cos
2 13 12 13
|x|
1
11、已知函数 f (x) a b的图象过原点，且无限接近直线 y 3 ，但又不与该直线相交，则（ ）
4
A．a 3，b 3 B． f ( x ) 的值域为 (0,3)
C．若 f (x) f (y)，且 x y，则 x y 0 D．若 x y 0，则 f (x) f (y)
log2 x , x 012、已知函数 f x 函数 g(x) [ f (x)]2x (m 3) f (x) 3m，则（ ）
2 , x 0
A．函数 f ( x ) 的值域为 (0, )
B．存在实数m，使得 f (m ) f ( m )
C．若 g(x) 1恒成立，则实数m的取值范围为
D．若函数 g(x)恰好有 5个零点，则函数 g(x)的 5个零点之积的取值范围是 ( ,0]
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．请把答案填写在答题卷划线位置上．）
2
13、函数 f (x) (m2 m 1)xm m 3是幂函数，且当 x (0, )时， f ( x ) 是减函数，则实数m= ．
2x a 2 x 1
14、已知函数 f (x) (a R)为偶函数，则 f (1) f ( )
x 2
15、写出一个同时满足下列条件的非常数函数 ．
①在[0, )单调递减 ②值域 (0,1] ③
16、校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂
直)(如图)，现在一支架斜杆长为16dm，一端靠在墙上，另一端落在地
面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大
值为 dm；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长
为30dm，面积为30dm2，则此时斜杆长度应设计为 dm .
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四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．）
3 7
cos sin 2 2 17、已知
f ( )
sin( )
（1）化简 f ( )；
1（2）若 f ( ) ，求 tan 的值；
3
1 5 （3）若 f

6
，求 f
3

6
的值.

18、如图，在平面直角坐标系中，锐角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半
径为 1）交于点 P .过点 P作圆O的切线，分别交 x轴、 y轴于点P1 x0 ,0 与P2 0, y0 .

(1)若 ，求 P的坐标
6
(2)若 OP1P2的面积为 2，求 tan 的值；
2
(3)求 x0 9y
2
0 的最小值.

A x log 2x 4 log x 9 B x | x2 219、设集合 1 1 ， 3mx 2m m 1 0 .
2 2
(1)若 B为空集，求实数m的取值范围；
(2)若B A，求实数m的取值范围.
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20、已知函数 .
(1)当 x 2,8 时，求该函数的值域；
(2)若不等式 f x mlog2x在 x 4,16 上有解，求m的取值范围.
2 x a
21、设 f (x) （a为实常数）， y g(x)与 y e x的图像关于原点对称.
1 x
g (x)
(1)当a 0，若关于 的方程 f [g (x)] 有两个不等实根，求m的范围；
m
(2)当 a 1，求方程 f (x) g(x)的实数根的个数，并加以证明.
1
22、已知 f x ex 2x ． e
(1)求函数 f x 在 0, 的最小值．
x
(2)对于任意 x1, x2 0, ，都有 f x1 ln 3 a e 2 1 ln3a 2x2成立，求a的取值范围．
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2023~2024 年度第一学期高一年级十二月份学业水平调研
数学试题答题纸（1-12 班）
一、单项选择题：请填涂答题卡
二、多项选择题：请填涂答题卡
三、填空题：
13．______________ 14. ______________
15. ______________ 16. ______________，______________
四、解答题：
17．（10 分）
18．（12 分）
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19．（12 分）
20．（12 分）
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21．（12 分）
{#{QQABbQyQgggoAABAARhCQQ3ICEGQkAECCIoORFAEoAAAgAFABAA=}#}
22．（12 分）
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2023~2024 年度第一学期高一年级十二月份学业水平调研
数学试题答案（1-12 班）
一、单项选题：
1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D
二、多项选择题：
9.AB 10.BD 11.AC 12.BCD
三、填空题：
13. -1 14. 15. （答案不唯一） 16. ,13.
四、解答题：
( sin ) ( cos )17. 解：（1） f ( ) cos
sin
（2） f (
1
) cos ，
3
2 2 2 sin 当 为第一象限角时，sin 1 cos ， tan 2 2
3 cos
2 2 2
sin
当 为第四象限角时，sin 1 cos ， tan 2 2
3 cos
1
（3）因为 f cos ，
6 6 3
5 5
所以 f cos

cos



6 6
6
1 cos

6

3
π π 3 1
18、（1）由题意得P cos ,sin ，所以P cos , sin ，即P , . 6 6 2 2
（2）由题意得 为锐角，故 P在第一象限，则P1,P2 在 x, y轴正半轴上，
1 1
由题意可知OP PP ，故cos 1 2 x OP ，故 0 ， 1 cos
OP P ，故sin
1
1
2 OP ，则
y0 ，
2 sin
由 1
1 1 1 1
OP1P2的面积为 2，得 x y 2，即 2 .所以 sin cos ，
2 0 0 2 cos sin 4
2 2 sin cos 1 tan 1又 sin cos 1，故 2 2 ，即 ， sin cos 4 tan2 1 4
所以 tan2 4tan 1 0，解得 tan 2 3 ；
（3）由题意 是锐角，则 x0 0, y0 0，
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1 9 1 9
x20 9y
2
0
sin2 cos2
cos2
sin2 cos2 sin2
sin2 9cos2 sin2 9cos2
10 10 2 16，
cos2 sin2 cos2 sin2
sin2 9cos2 3
当且仅当 ，即sin , 时取等号，
cos2 sin2 2 3
2 2
所以 x0 9y0 的最小值为 16.
19.（1）依题意，不等式 x2 3mx 2m2 m 1 0解集为空集，
于是 9m2 4(2m2 m 1) 0，即m2 4m 4 0，解得m 2，
所以m 2 .
1
（2）不等式 log 1 (2x 4) log (x 9) 0 2x 4 x 9，解得 2 x 5，即 A x 2 x 5 ，
2 2
x2 3mx 2m2 m 1 0 [x (2m 1)][x (m 1)] 0，
当m 2时，B A，则m 2；
当m 2时，2m 1 m 1，则B (2m 1,m 1)，而m 1 3 2，显然 B不是A的子集；
当m 2时，2m 1 m 1，则B (m 1,2m 1)，
由B A，得 2 m 1 2m 1 5，解得 1 m 2，
所以m的取值范围是m 2或 1 m 2 .
20. （1）由对数函数单调性可知，当 x 2,8 时， log2x 1,3 ，
令 log2x t, t 1,3 ，即可得 f t t2 3t 2, t 1,3 ，
3 1
由二次函数性质可知当 t 时， f t ，当 t 3min 时， f t 22 4 max ；
因此可得当 x 2,8 1 时，该函数的值域为 , 2 4 .
（2）当 x 4,16 时，可得 log2x 2,4 ，
原不等式可化为 t2 3t 2 mt 在 t 2,4 上有解，
2 2
即可得 t 3 m在 t 2,4 上有解，易知函数 y t 3 在 t 2,4 上单调递增，
t t
所以 ，得 ；
即m的取值范围是 .
21. （1）设点P(x, y)为 g(x)图象上任意一点，P(x, y)关于原点的对称点为P ' ( x, y)，
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由题意可知P ' ( x, y)在 y e x上，则有， y ex，故 g(x) ex
2 x
a 0时， f (x)
1 x
g(x) x x
由 f [g(x)]
2 e e
可得， ，即e2x (1 m)ex 2m 0
m 1 ex m
令 ex t，则 t2 (1 m)t 2m 0有两个不等正根
21 m 4( 2m) 0

则有， (1 m) 0 ，解之得，m 5 2 6

2m 0
2 x a 3 a
（2）令h(x) g(x) f (x) ex ex 1
1 x x 1
由 a 1，可知a 3 0，
3 a
则 x 1时， y ex 1与 y 均单调递增，故h(x)在( 1, )上单调递增，
x 1
又 a 1时，h(0) e0 1 (a 3) 1 a 0，
a 3 a 1
h(1) e1 1 e e 1 0
2 2
故 h(x)在 ( 1, )上有唯一零点；
又当 x (
3 a
, 1)时，h(x) ex 1 0恒成立，即h(x)在 ( , 1)上无零点.
x 1
综上可知，方程 f (x) g(x)有且仅有一个实数根.
1 1
22. （1）因为 f x ex 2 2 ex 2 0，
ex ex
x 1
当且仅当e x ，即 x 0时，等号成立. e
所以，函数 f x 在 0, 的最小值为 0.
x
（2）设 g x2 ln 3 a e 2 1 ln3a 2x2，
由（1）知，函数 f x 在 0, 的最小值为 0.
则由任意 x1, x2 0, ，都有 f x1 ln 3 a e
x2 1 ln3a 2x2成立，
可得 ln 3 a e
x2 1 ln3a 2x2 0在 0, 上恒成立，
只需 g x2 0max 在 0, 上恒成立即可.
因为 3 a ex2 1 0，3a 0在 0, 上恒成立，
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1
a 3
所以 ex2 .
a 0
1
因为 x2 0，所以ex2 1，3 3 4x ， e 2
所以0 a 3.
ln 3 a ex由 2 1 ln3a 2x2 0可得，
ln x2 2x2 3 a e 1 ln3a 2x2 ln 3ae .
因为 y ln x单调递增，
所以 3 a ex2 1 3ae2x2 ，
即3ae
2x2 3 a ex2 1 0在 0, 上恒成立.
2x 2
因为3ae 2 3 a ex2 1 3a ex2 3 a ex2 1 aex2 1 3ex2 1 ，
所以， aex2 1 3ex2 1 0在 0, 上恒成立.
因为，3ex2 1 0在 0, 上恒成立，
所以，aex2 1 0在 0, 上恒成立，
1
所以，a 在 0, 上恒成立.
ex2
1
因为 y 在 0, x 上为减函数， e 2
1
所以 y x 在 x2 0处取得最大值 1， e 2
所以，a 1.
综上所述，1 a 3.
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