参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B C C D B B A BCD ABD BC ABD
3．C
[详解]解：∵“不等式mx2 x 4m 0在 R 上恒成立”，
m 0 1
显然m 0不满足题意，∴ m
Δ 1 16m
2 0 ，解得 ，4
m 1 1对于 A， 是充要条件，故 A错误；对于 B，因为m 推不出0 m 1，故 B错误；
4 4
m 1 m 1 1 1对于 C，因为 ，反之不能推出，故 C正确；对于 D，因为m 推不出m ，故 D错误．故
4 8 4 8
4．C
[详解] f x log2 2x log2 4x 1 log2x 2 log2x ，
2
log x= t y 1 t 2 t t 2 3t 2 3 1 1
1
设 2 ，则 t ，故函数的值域为 , .
2 4 4 4
5．D
[详解]设 2020年后第 n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200亿元，
n 5
由120 (1 9%) n 200得 (1.09) ，
3
n lg5 lg3 1 lg2 lg3两边同取常用对数，得 5.93lg1.09 lg1.09 ，所以 n 6，
所以从 2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200亿元.
6．B
[详解]解：因为命题 p“ x [ 2,1]， x2 2ax 3a 0 ”为假命题，
所以命题 p “ x [ 2,1]， x2 2ax 3a 0 ”为真命题，
2
令 f x x 2ax 3a，其对称轴为 x a，
当 a 2，即 a 2时， f 1 1 2a 3a 0，解得 a 1，此时 a 2；
4
当 a 1，即 a 1时， f 2 4 4a 3a 0，解得 a ，此时无解；
7
f 1 1 2a 3a 0 a 1
当 2 a 1，即 1 a 2时， 1 a 2
f 2 4 4a 3a 0
，即
a 4
，此时 ，
7
综上：实数 a的取值范围是 a 1
7．B
答案第 1页，共 8页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
[详解]作出函数 y ex 和 y ln x的图象以及直线 y 2 x的图象，如图，
由函数 y ex 和 y ln x的图象与直线 y 2 x交点 A,B的横坐标分别为 a，b，
由题意知 A a,ea ,B(b, lnb)，也即 A(a, 2 a),B(b, 2 b) ,
由于函数 y ex 和 y ln x互为反函数，二者图像关于直线 y x对称，
而 A,B为 y ex 和 y ln x的图象与直线 y 2 x的交点,故 A,B关于 y x对称，
故 a 2 b, a b 2 .故选：B.
8．A
f x 1 e
x 1 1 ex 1 1 1 1 1 1[详解]因为
2 1 ex 2 1 ex 2 1 ex
x ，定义域为R ， 2 1 e
1
因为 y 1 e x在定义域上单调递增，则 y 在定义域上单调递减，
1 e x
所以 f x 1 1 x 在定义域R 上单调递减，2 1 e
1 1 1
x 0 ex 时， 0,1 , ,1
1 e x 2
, f x 0, , f x 0 ， f 0 2
0
1 1 1
x 0 x时， e 1, , x 0, , f x ,0
, f x 1 ；
1 e 2 2
则 x 0时， f x f x 1 0 1,
x 0时， f x f x 0 1 1， x 0时， f x f x 0 0 0 .
9．BCD
[详解]AD选项，可以看出函数为偶函数，且在 0, 上单调递减，
故 a<0 a，此时 a 0, f x x a 0在 0, 上恒成立，A错误，D正确.
2
当 a 2时， f x x 2，选项 D符合．
当 a 0时， a 0, f x 的定义域为R ，
B 2选项，可以看出 a 0且 a为偶数，当a 2时， f (x) = x - 2满足要求，选项 B正确．
C选项，当 a 3时， f x x3 3满足，选项 C正确．
10．ABD
[详解]因为不等式 ax2 bx c 0的解集为{x∣x 1或 x 3}，则 1，3是方程 ax2 bx c 0的两根，则
答案第 2页，共 8页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
a 0
b
1 3 ，解得 a 0,b 2a,c 3a 0 ，故 A正确，C错误；
a
c
1 3 a
因为 a b c a 2a 3a 4a 0，故 B正确；
1
不等式 cx2 bx a 0可以化简为3x2 2x 1 0，解得 x 1，故 D正确；
3
11．BC
t 4x x2 x 2 2 4[详解]A ： ，在[0, 2)上递增，在 (2,4]上递减，
4x x
2 0 0 x 4
y t 在定义域上递增，故 f x 4x x2 的单调递增区间为[0, 2)，错；
B：由 f x 是定义在R 上的幂函数，则必过 (0,0), (1,1)，故 f 0 f 1 1，对；
a a2 aC a：由 t x2 ax ( x ) 2 ，则 ( , )上递增， ( , )2 上递减，2 4 2
y 2t 2 a a在定义域上递增，故 y 2 x ax在 ( , )内单调递增，则 1 a 22 ，2
所以 a的取值范围是 2, ，对；
D：令 t 1 x 1，则 x (t 1)2 0，故 f t 2(t 1)2 1 2t 2 4t 3，
f x 2x2所以 4x 3且 x [1, )，错.
12．ABD
[详解]对于 A，如图，作出函数 y f x 的图象，
由图可知，若 y f x 的图象与直线 y t有三个交点，则实数 t 0,1 ，故 A正确；
对于 B，如图1，作出函数 y f x , y k的图象，
由题意得两函数交点得横坐标为 x1, x2 , x3，不妨设 x1 x2 x3，
答案第 3页，共 8页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
则 x1, x2关于 x 1对称，故 x1 x2 2，
由图可知 2 x3 3，所以 4 x1 x2 x3 5 ，故 B正确；
对于 C，由函数 y f x 的图象可知，当0≤f x ≤1时，0 x 3，
则由0 f f x 1，可得0 f x 3，
x 2 x 2
则
0 x 1 3
或 2 ，
0 x 4x 3 3
解得 2 x 2或2 x 3，
所以不等式0 f f x 1的解集是 2,3 ，故 C错误；
对于 D，当 a 0时， f x f x 显然不成立，故 a 0舍去，
当 a 0时， f x a 可以通过 f x 向左平移 a个单位得到，
如图 2 ，显然 f x a f x 不成立，舍去，
当 a<0时， f x a 可以通过 f x 向右平移 a 个单位得到，如图 3，
以射线 y x 1 a与 y= x2+4x 3相切为临界，
即 x 1 a x2 4x 3，则 x2 5x 4 a 0，
所以 25 4 4 a 0 9 9，解得 a ，所以 a ，
4 4
9
综上所述，实数 a的取值范围是 , ，故 D正确.
4
1
13． / 0.125
8
[ a a
1
详解]设 f x x ，则 f 2 2 ，则 a 3 f x x 3，则 ，
8
3 1
所以， f log1 4 f 2 2 .
2 8
25
14．
9
5
[详解]由3a 5可知 log3 5 a，则 a 3b log 35 3log 27 3 log 35 3log 33 log 35 log 33 log3 3 ，3
2
5 5 2
a 3b log3 2log
5 log3
则9 9 3 3 3 3 3 3 5 25 .
3 9
答案第 4页，共 8页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
15． 2,3 [详解] y ln t在 0, 单调递增，故 t 2ax x2在 3, 4 单调递减，则 a 3，
又∵ t 2ax x2 0在 3, 4 恒成立，
则8a 16 0，故 a 2，∴ 2 a 3，故答案为： 2,3
x 1 x 1
16．2 [详解]函数 f (x) x 2 2 2 x 的定义域为R ，则 f ( x) x x x 2 1 2 1 1 2x
2x 1 2 2x 1
所以 f (x) 2 f ( x) x
2x
x 2
1 1 2x 2x 1
x 1 x
又 f (x) x 2 x 2(2 1) 2 x x 2
2
，
2 1 2x 1 2x 1
函数 y x 2
2
在R 上为增函数，函数 y 在R 上为增函数，
2x 1
所以函数 f (x)在R 上为增函数，
当实数m,n满足 f (m2 ) f (n2 3) 2，可得m2 n2 3 0，即m2 n2 3，
2 2
又当m 0时，m 1 n2 有最大值，且m 1 n2 m2 (1 n2 )
m (1 n )
2，
2
当且仅当m2 1 n2，即m2 2,n2 1时，等号成立，
故m 1 n2 的最大值为 2 .故答案为： 2 .
3
17．(1) ；(2)6 .大题评分标准自行制订
2
1 2
[详解]（1）原式 25 2 1 27
3
( 3) 2 5 4 4 3 1 ；
4 8 2 2 9 9 2
（2）原式 2 log5 2 2 log2 5 2 log2 3 2 log2 3 2 4 2 6 .
18．(1) RA B {x | x 2或 x 6} (2) , 5 3,
[详解]（1）若 a 1，则 A x 2 x 4 , RA {x | x 2或 x 4}，
所以 RA B {x | x 2或 x 6} .
（2） “ x A ” 是 “ x B ” 的充分条件 A B
①当 A 时， 2a a 3，即 a 3时，满足题意；
a 3 a 3
②当 A 时，依题意有 a 3 2或 2a 6，解得：
a 5，
综上， a的取值范围是 , 5 3, .
答案第 5页，共 8页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
19．(1)8 (2)答案见解析
[详解]（1）由题意可知： f 2 4a 2b 4 3 1，可得 2a b 1，
1 2
所以 (2a 1 2 b 4a b 4a b) 4 2 4 8，a b a b a b a b
b 4a
当且仅当 时等号成立，
a b
因为 2a b 1， a 0，b 0，
1
所以当 a ，b
1 1 2
时，等号成立，此时 取得最小值 8；
4 2 a b
2
（2）由上可知 2a b 1，得 ax b 2 x 3 1，
即 ax2 2a 1 x 2 0，即 ax 1 x 2 0 .
当 a 0时，此时不等式为 2 x 0，故解集为 , 2 ；
1 1
当 0 2时，此时 a<0，故不等式的解集为 , 2
a
；
a
1 1 1 2
当 2时，即 a ，此时不等式为 x 2 0，
a 2 2
故不等式的解集为 , 2 2, ；
1
2 1
1
当 时，即0 a ，故不等式的解集为 , 2
a 2
, ；
a
1 1 , 10 2 a 当 时，即 ，不等式的解集为 2, .a 2 a
综上所述：当 a 0时，解集为 , 2 1；当 a<0 ，解集为 , 2 ；
a
a 1当 ，解集为 , 2 2, 1；当0 a 时解集为 , 2 1 ,
2 2 a
；
a 1
1
当 ，解集为 ,
2, .
2 a
x2 60x 500,0 x 40,100x N
20．(1) P
5 9000 (2)当年产量为 30百台时，最大利润为 400万元
x 625,40 x 100,100x N 2 x
[ ] 1 0 x 40 P 80x x2 20x 500 x2详解 （ ）当 时， 60x 500；
P 80x 165 x 9000当 40 x 100时， 1125 500
5 x 9000 625，
2 x 2 x
所以企业获得年利润 P（万元）关于年产量 x（百台）的函数关系式为：
答案第 6页，共 8页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
x2 60x 500,0 x 40,100x N
P 5 x 9000
．
625,40 x 100,100x N 2 x
（2）当0 x 40时， P x 30 2 400，当 x 30时， P取得最大值为 400；
当 40 x 100时， P 625 5 x 3600 625 5 2 x 3600 ≤ 325，2 x 2 x
3600
当且仅当 x 时取等号，故当 x 60时， P取最大值为 325；
x
综上所述：当年产量为 30百台时，最大利润为 400万元．
21．(1) f x 在R 上单调递增，证明见解析 (2)[0, )
[详解]（1）函数 f x 的定义域为R ，
x
f x 3 m 3
x 1 m 1 m 1
x 1 ，3 1 3x 1 3x 1
因为 f x 为奇函数，所以 x R, f x f (x)，
m 1 m 1
所以1 1 ，
3 x 1 3x 1
2 (m 1) 1 1
x
则 x x (1
1 3
m)
3 1 3 1
3x
z 1 m，所以m 1；
1 1 3
函数 f x 2 1 x ，在R上单调递增.3 1
下面用单调性定义证明：
任取 x1, x2 R ，且 x1 x2，则
x1 x2
f (x1) f (x ) 1
2
2 x 1
2 2 2 = 2(3 3 )
3 1 1 3x2 1 3x2 1 3x1 1 (3x1 1)(3x2 1)
因为 y 3x 在R 上单调递增，且 x x1 x21 x2，所以3 3 0，
又 (3x1 1)(3x2 1) 0，所以 f (x1) f (x2)，所以函数 f x 在R 上单调递增.
（2）因为 f x 为奇函数，所以 f x f (x)，
由 f at2 2t 2 f 1 t ≥ 0得 f at 2 2t 2 f 1 t ， 即 f at 2 2t 2 f t 1 ，
由（1）可知,函数 f x 在R 上单调递增， 所以 at 2 2t 2 t 1，
1 1 1 1 2 1
即不等式 at 2 t 1 0 对一切 t 1,4 恒成立, 则 a 2
，t t t 2 4
答案第 7页，共 8页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
1 1
又 ,1
1 1 1 1 ，所以当 时， 2 取最大值，最大值为 0，t 4 t t t
a 1 1所以要使 2 恒成立，则 a 0，所以 a的取值范围为[0, ) .t t
22．(1) 1, (2)存在实数 符合条件， 的取值范围是 3,
[详解]（1）由 f 2 1，得 loga a2 b 1，即 a2 a b 0，①
由 f loga6 2，得 loga 6 b 2，即6 b a2，②
2 3由①②得 2a a 6 0，解得a 2，或 a （舍），b 2，
2
x
所以 f x log 2 2 , 由 2x2 2 0得 x 1，故 f x 的定义域为 1, .
（2）假设存在实数 ， n m 1，使得 f x 在区间 m,n 上的值域是 2m , 2n .
令u 2x 2， u 0 ，则u在 1, 上单调递增，
而 y log2u在 0, 上单调递增，故 f x 在 1, 上单调递增，
log2 2m 2 2m m
2
2 2 2 2
2m
所以 ，即 n
.
log
n n 2
2 2 2 2n 2 2 2 2 2
令 t1 2
m
， t2 2
n 2
， t0 2 t1, t2 2 ，则 t1， t2 为方程 t t0t 2t0 0的两个不等实数根且 t1, t2 2，
Δ t20 8t0 0
t0 0或t0 8
2 t
方法一：令 g t t t t 2t ，则 0 0 0 2 ，即 t0 4 ，解得 t0 8 .
2
g 2 0 4 2t0 2t0 0
即 2 8， 3，故存在实数 符合条件， 的取值范围是 3, .
2 t 2
方法二：设 g t t2 t0t 2t0，由 g t 0 t
t
得 ，转化为函数 与 有两个交点，
0 , t 2 y = t y =t 2 0 t - 2
t 2 (m + 2m t 2 0 y )
2
m 4设 = - > ，则 = = = + + 4 8 l，所以 t = 2 > 8，
t - 2 m m 0
故存在实数 符合条件， 的取值范围是 3,
答案第 8页，共 8页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}淮北名校2023-2024 高一（上）第三次月考数学试 题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 A x Z| 2 x 3 ， B ∣x 2 x 2 ，则 A B （ ）
A． x∣ 2 x 2 B． 0,1 C． 1,0,1 D． 0,1,2
0.5
2．设 a 30.1,b 1 , c log0.3 0.5，则 a,b,c的大小关系（ ）
3
A．b
3．“不等式mx2 x 4m 0在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
1 1 1 1
A．m B．0 m C．m D．m
4 4 8 8
4．函数 f x log2 2x log2 4x 的值域为（ ）
1 1 3
A．R B． , C． ,
,
24
D．
4 2
5．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一
些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立
自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”
问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司 2020年全年投入芯
片制造方面的研发资金为 120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增
长 9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200亿元的年份是（ ）
参考数据： lg1.09 0.0374， lg2 0.3010， lg3 0.4771.
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
6．已知命题 p为“ x [ 2,1]， x2 2ax 3a 0 ”．若 p为假命题，则实数 a的取值范围是
（ ）
4 4
A．a 1 B． a 1 C． a 1 D． a 1
7 7
7．已知函数 y ex 和 y ln x的图象与直线 y 2 x交点的横坐标分别 a，b，则 a b （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第 1页，共 4页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x R ，
用 x 表示不超过 x的最大整数，则 y x 称为高斯函数.例如： 3.6 4, 3.6 3 .已知函
x
数 f x 1 e ，则函数 y f x f x x 的值域是（ ）2 1 e
A． 1,0 B． 0 C． 0,1 D． 1,0,1
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9 a．已知函数 f x x a a R 的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知不等式 ax2 bx c 0的解集为{x∣x 1或 x 3}，则下列结论正确的是（ ）
1
A．a<0 B．a b c 0 C．c 0 D．cx2 bx a 0的解集为 x∣ x 13
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 4x x2 的单调递增区间为 , 2
B．若 f x 是定义在R 上的幂函数，则 f 0 f 1 1
C 2．函数 y 2 x ax在 ,1 内单调递增，则 a的取值范围是 2,
D．若 f 1 x 2x 1，则 f x 2x2 4x 3
x 1 , x 212．已知函数 f x 2 ，则下列说法正确的是（ ）
x 4x 3, x 2
A．若 y f x 的图象与直线 y t有三个交点，则实数 t 0,1
B．若 f x k有三个不同实数根 x1, x2 , x3，则 4 x1 x2 x3 5
C．不等式0 f f x 1的解集是 0,3
9
D．若 f x a f x 对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是 ,
4
第 2页，共 4页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
y f x 1 13．已知幂函数 的图象经过 2, ，则 f log 48 1 2
14．已知3a 5， log273 b，则9a 3b ．
15．设函数 f x ln 2ax x2 在区间 3, 4 上单调递减，则 a的取值范围是 .
x 1
16．已知函数 f (x) x 2 ,若实数m,nx 满足 f (m
2 ) f (n2 3) 2,则 2 的最大值
2 1 m 1 n
为 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）化简求值：
1 2
(1) 1 2 36 π0 33 ( 1.5) 2 ；
4 8
25
(2) log54 log2 log
log5 2
9 2
3 5 .
18．（12分）已知集合 A x∣2a x a 3 ,B {x∣x 2或 x 6} .
(1)若 a 1，求 RA B；
(2)若 “ x A ” 是 “ x B ” 的充分条件，求 a的取值范围.
19．（12分）设函数 f (x) ax2 (b 2)x 3的图象过点 (2,1) .
1 2
(1)若 a 0，b 0，求 的最小值；
a b
(2)解关于 x的不等式 f (x) 1.
第 3页，共 4页
{#{QQABZQwUoggIAAIAABhCUQX4CEKQkAECAAoOgEAIoAAAABFABAA=}#}
20．（12分）以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、
智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，
具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权
的高级设备，并从 2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本
500万元，每生产 x百台高级设备需要另投成本 y万元，且
x2 20x,0 x 40,100x N
y 165 ，每百台高级设备售价为 80万元，且高级设
x
9000
1125,40 x 100,100x N
2 x
备年产量最大为 10000台．
(1)求企业获得年利润 P（万元）关于年产量 x（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
x
21．（12分）已知函数 f x 3 m x 为奇函数．3 1
(1)判断函数 f x 的单调性，并加以证明．
(2) 2若不等式 f at 2t 2 f 1 t ≥0 对一切 t 1,4 恒成立，求实数 a的取值范围．
22．（12 x分）设函数 f x loga a b （a 0且a 1，b R），已知 f 2 1，f loga 6 2 .
(1)求 f x 的定义域；
(2)是否存在实数 ，使得 f x 在区间 m,n 上的值域是 2m , 2n ？若存在，请求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
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