2023～2024 年度第一学期高二年级十二月阶段性学业水平调研
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知等比数列 an 中， a2 = 2， a6 = 8，则 a4 =（ C ）
A. 4 或-4 B. -4 C. 4 D. 8
x2 y2
2. 已知直线 l : 2x + 3y = 0 与双曲线C : =1(a 0,b 0)无公共点，则C 的离心率的取值范围是（ D ）
a2 b2
13 13 13 13
A． ,+ ,+ B． C． 1, D． 1,2 3 2
3
2 2
3. 已知圆C1 : x + y 4 = 0 与圆C
2 2
2 : x + y 4x + 4y 12 = 0 相交于 A, B 两点，则两圆的公共弦 AB =
（ B ）
A. 2 2 B. 3 2 C. 2 D. 2
4. 已知抛物线C : y2 = 2 px( p 0)经过点M (x0 ,3)，点M 到抛物线C 的焦点 F 的距离为 3，则抛物线C 的
准线方程为（ A ）
3
A. x = B. x = 3 C. x = 1 D. x = 2
2
5 1
5. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率 e = （其中 = ）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄
2
x2 y2
金椭圆方程为 + =1(a b 0) ，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作 O , P 为黄金椭圆上除顶点外
a2 b2
任意一点，过 P 作 O 的两条切线，切点分别为 A, B ，直线 AB与 x, y轴分别交于M , N 两点，则
b2 a2
+ =
2 2 （ A ）
OM ON
1 1
A． B． C． D．
x2 y2
6. 已知 F1, F2 是椭圆 + =1的左、右焦点， P 是椭圆上任意一点，过 F1引 F1PF2 的外角平分线的垂
25 16
线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ A ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
7. 设已知数列 a 的前 nn 项和为 Sn ， a1 =1，当 n 2时， an + 2Sn 1 = n ，则 S2021等于（ D ）
A. 1008 B. 1009 C. 1010 D. 1011
x2
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(x1, y1 )，B(x2 , y2 )在椭圆C : + y
2 =1上，且直线OA ，OB 的斜
2
1
率之积为 ，则 x2 2 2 21 y1 + x2 y2 =（ A ）
2
5
A. 1 B. 3 C. 2 D.
2
{#{QQABbQSUggiIABIAABgCQQ2ICEKQkBGCCAoOhEAAoAAAABNABAA=}#}
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 以下四个命题为真命题的是（ BD ）
1 15
A. 过点 ( 10,10)且在 x轴上的截距是在 y 轴上截距的 4倍的直线的方程为 y = x +
4 2
5
B. 直线 xcos + 3y + 2 = 0（ R）的倾斜角的范围是 0, 6
,
6
C. 直线 x + y 1= 0与直线2x + 2y +1= 0之间的距离是 2
D. 直线 (2+m) x + 4y 2+m = 0(m R)过定点 ( 1,1)
10. 设 A(x 21, y1 ), B (x2 , y2 )是抛物线 y = 4x上两点，O 是坐标原点，若OA⊥OB ，下列结论正确的为（ACD）
2
A. y1 y2 为定值 B. 直线 AB过抛物线 y = 4x的焦点
C. S AOB 最小值为 16 D. O 到直线 AB的距离最大值为 4
a 1
11. 已知等比数列 an
99
的公比为 q ，其前 n项的积为Tn ，且满足 a1 1，a99a100 1 0 ， 0，则（ABD） a100 1
A. 0 q 1 B. a99a101 1 0
C. T n100 的值是Tn 中最大的 D. 使Tn 1成立的最大正整数 的值为 198
x2 y2
12. 已知 P 为双曲线 =1(a 0,b 0) 右支上的一个动点（异于顶点）， F 、 F
2 2 1 2
分别是双曲线的左、
a b
右焦点，△ PF1F2 的内切圆圆心为 I ，过 F2 作 F2 A ⊥ PI ，垂足为 A，下列结论正确的是（ AC ）
S PF F
A． I 在定直线上 B． 1 2 为定值
S IF1F2
C． OA 为定值 D． AP 为定值
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知直线 l1 : 2x + my +1= 0 与 l2 : 4mx + (m +1) y + 2 = 0垂直，则实数m 的值为 0 或-9 .
2 y
2
x =1(x 1)
14. 在△ ABC 中，A( 3,0)，B(3,0)，3sin B 3sin A = sinC ，则顶点C 的轨迹方程是 8 .
x2 y2
15. 若倾斜角为 的直线过椭圆 + =1(a b 0) 的左焦点 F 且交椭圆于 A, B 两点，若 AF = 3 BF ，
6 a2 b2
3
则椭圆的离心率为 .
3
x2 y2 2 2
16. 过椭圆 + =1上一动点 P 分别向圆C1 : (x + 3) + y
2 = 4和圆C2 : (x 3) + y
2 =1作切线，切点分别
36 27
2 2
为M , N ，则 PM + 2 PN 的取值范围为 90,165 .
{#{QQABbQSUggiIABIAABgCQQ2ICEKQkBGCCAoOhEAAoAAAABNABAA=}#}
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
x2 y2
17.（10 分）已知曲线C 的方程为 =1，根据下列条件，求实数m 的取值范围：
7 m 3 m
（1）曲线C 是椭圆；
（2）曲线C 是双曲线．
x2 y2 x2 y2
【解答】（1）∵曲线 C 的方程为 =1，∴ + =1，又曲线 C 椭圆，
7 m 3 m 7 m m 3
7 m 0
∴ m 3 0 ，解得3 m 7且m 5，∴实数 m 的取值范围为 (3,5) (5,7)；
7 m m 3
（2）∵曲线 C 是双曲线，∴ (7 m)(3 m) 0，解得m 3或m 7 ， 是
故实数 m 的取值范围为 ( ,3) (7,+ ) .
x2 y2 x2 y2
18.（12 分）已知双曲线C : =1(a 0,b 0)与 + =1有相同的焦点，且经过点 P( 2, 2 ) .
a2 b2 5 2
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线 l 与双曲线C 交于 A, B 两点，且 AB的中点坐标为 (1,2)，求直线 l 的斜率.
2 2
x2 y2 x y
【解答】（1）由 + =1的焦点坐标为 ( 3，0)，( 3，0) .由双曲线C : =1(a 0,b 0)与
5 2 a2 b2
x2 y2 x
2 y2
+ =1有相同的焦点.所以双曲线C : =1(a 0,b 0)的焦点坐标为 ( 3，0)，( 3，0)
5 2 a2 b2
2 2
故 c = 3，在双曲线中：a
2 + b2 = c2 = 3①，又双曲线C 经过点P ( 2, 2 )，所以 =1②
a2 b2
y2
解得：a2 =1,b2 = 2所以双曲线C 的方程为： x2 =1.
2
（2）由题知直线斜率存在且不为 0，设直线 l的方程为： y = kx +m由直线 l与双曲线C 交于 A, B 两点，
y = kx +m
设 A(x1, y1 ) , B (x 2
2 2 2
2 , y2 )所以 y 消去 y 整理得： (k 2) x + 2kmx +m + 2 = 0
x
2 =1
2
2km x + x km
所以 x + x = 1 2 = ， y1 + y2 = (kx1 +m)+ (kx2 +m) = k (x1 + x2 )+ 2m1 2
k 2 2 2 k 2 2
2km 4m y1 + y2 2m= k + 2m = 所以 = 由 AB 的中点坐标为 (1,22 2 )
k 2 k 2 2 k
2 2
x1 + x2 km km
= =1 =1 2 k 2 2 k 2 2
所以 ，所以 k =1 .
y1 + y2 2m= = 2
2m
= 2
2 2 2 k 2 k 2
19.（12 分）已知点 P (2,0)及圆C : x2 + y2 6x + 4y + 4 = 0 .
(1)若直线 l1 过点 P 且与圆心C 的距离为1，求直线 l1 的方程．
{#{QQABbQSUggiIABIAABgCQQ2ICEKQkBGCCAoOhEAAoAAAABNABAA=}#}
(2)设直线 ax y +1= 0与圆C 交于 A, B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P (2,0)的直线 l2 垂直平分弦
AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)设直线 l的斜率为 k(k存在)，则方程为 y－0＝k(x－2)，即 kx－y－2k＝0.
3k + 2 2k 3
又圆 C的圆心为(3，－2)，半径 r＝3，由 ＝1，解得 k＝ .
k 2 +1 4
3
所以直线方程为 y = (x 2)，即 3x＋4y－6＝0.
4
当 l的斜率不存在时，l的方程为 x＝2，经验证 x＝2也满足条件
2 2
(2)把直线 y＝ax＋1代入圆 C的方程，消去 y，整理得(a＋1)x ＋6(a－1)x＋9＝0.
2 2
由于直线 ax－y＋1＝0交圆 C于 A，B两点，故 Δ＝36(a－1)－36(a＋1)>0，解得 a<0.
则实数 a的取值范围是(－∞，0)．设符合条件的实数 a存在．由于 l2垂直平分弦 AB，故圆心 C(3，－2)
1 1 1
必在 l2上．所以 l2的斜率 kPC＝－2.而 kAB＝a＝－ ，所以 a＝ .由于 ( ,0)，故不存在实数 a，
k 2PC 2
使得过点 P(2,0)的直线 l2垂直平分弦 AB.
2 n 1 n
20.（12 分）已知数列 an 满足a1 +3a2 +3 a3 + +3 a b nb = n +1 bn = ，数列 n 的首项为 2，且满足 n+1 ( ) n
3
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
4
(2)记集合M = n b b (b +1) ,n
*
n n+1 n N ，若集合M 的元素个数为 2，求实数 的取值范围；
an
2
1 n 1 n +1
(3)设 cn = 2 2 ，证明： ． bn k=1 ck 4
2 n 1 n 2 n 2 n 1
【解答】（1）由a1 +3a2 +3 a3 + +3 an = 可得：n 2时，a1 + 3a2 + 3 a3 + + 3 an 1 = ，
3 3
n 1 n n 1 1 1 1 1
相减可得3 an = = ，故a
*
n = ，当n =1n 时，a1 = 也符合上式，故an = ,n N ， 3 3 3 3 3 3n
b b b
nb = (n +1)b n+1 n = 0 n
由 n+1 n 可得 ，所以数列 为公差为 0 的等差数列，且首项为 2，
n +1 n n
b
所以 n = 2 ，则bn = 2n,n N
*
.
n
4 n (n +1)(2n +1* )
（2）由b = 2n,n N 和M = n bnbn+1 (bn +1) ,n
*
N 可得M = n | ,n N
*
n ，
a
n
n 3
2
n (n+1)(2n +1) (n+1)(n+ 2)(2n+3) (n+1) (2n 1) 7
记Pn = ，则Pn+1 = ，所以P P = ，
3n 3n+1 n+1 n 3n+1
当 n =1时，P2 P1 0，当n 2时，P2 P3 P4 ，此时 Pn 单调递减，
30 28 20 20 28
而 P (2) = , P (1) = 2, P (3) = , P (4) = ,由于集合 M 的元素个数为 2，所以M 2,3 ，故 .
9 9 9 9 9
2
1 1 1 16n4
（3）由cn = 2 得 c = 2 ， = ，
b2 n 2 n 4n
4 2
cn 64n 16n +1
2
1 16n4 16n4 n2 1 1 1 1 1 1 1
由于 = = = + = + ，
c 64n4
n 16n
2 +1 64n4 16n2 4n2 1 4 4 4n2 1 4 8 2n 1 2n +1
2
n 1 n 1 1 1 1 1 1
因此 + 1 + + + c 4 8 3 3 5 2n 1 2n +1
k=1 k
n 1 1 n 1 n 1 n +1
= + 1 + + = .
4 8 2n +1 4 8 4 4 4
{#{QQABbQSUggiIABIAABgCQQ2ICEKQkBGCCAoOhEAAoAAAABNABAA=}#}
x2 y2
21.（12 分）已知双曲线C : =1(a 0,b 0)的左焦点为F ( 2 3,0)，渐近线方程为 y = 2x .
a2 b2
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若双曲线C 的左、右顶点分别为 A, B ，过点T (3,0)的直线与双曲线C 的右支交于M , N 两点，M 在
第一象限，直线 AM 与 BN 交于点Q .求证：点Q 在定直线上.
c = 2 3
b a = 2 x2 y2
【解答】（1）由题意知， = 2 ，解得 ，所以双曲线 C 的方程为 =1.
a b = 2 2 4 8
c2 = a
2 +b2
（2）证明： A( 2,0)， B(2,0)，由题知过点 T 的直线 l的斜率必不为 0，设直线 l的方程为 x = ty + 3，
M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，
x2 y2
=1
(2t 2联立 4 8 1)y
2 +12ty +10 = 0 ，
x = ty + 3
= (12t)2 4 10(2t2 1) = 64t2 + 40 0，
12t 10
则 y1+y2 = ， y1y2 = ，
2t 2 1 2t 2 1
又因为过点 T的直线 l与双曲线C 的右支交于M 、 N ，M 在第一象限内，
10 2 2
所以 x1 > 0， x2 0， y1 0 ， y2 0 ，所以 y1y2 0，即 0 ，解得 t ，
2t 2 1 2 2
y
1 y2
设直线 AM 方程为y = (x + 2)，直线BN 方程为 y = (x 2) ，
x + 2 x2 21
y1
y = (x + 2)
x1 + 2 y1 y2 2y2 2y1
联立 ( )x = ，
y2 x + 2 x 2 x 2 x + 2y = (x 2) 1 2 2 1
x2 2
5
即[(ty2 +1)y1 (ty1 +5)y2 ]x = 2(ty1 +5)y2 2(ty2 +1)y1 ，又 ty1y2 = (y1 + y2 ) ，
6
10 20 4
(y + y ) 10y 2y y + y
所以 4ty1y 10y 2y
1 2 2 1 2 1
2 2 1 3 3 3 4
4
x = = = = ，点 Q 在直线
x = 上.
3
y1 5y2 y1 5y2 y1 5y2 3
{#{QQABbQSUggiIABIAABgCQQ2ICEKQkBGCCAoOhEAAoAAAABNABAA=}#}
x2 y2
22.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点M (x0 , y0 )是椭圆C : + =1上一点，以M 为圆心作一个
20 5
半径 r = 2 的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C 交于点 P,Q．
（1）若点M 在第一象限且直线OP,OQ互相垂直，求圆M 的方程；
（2）若直线OP,OQ的斜率都存在，且分别记为 k1， k2 ，求证： k1k2 为定值；
2 2
（3）探究 OP + OQ 是否为定值，若是，则求出 OP OQ 的最大值；若不是，
请说明理由．
【解答】（1）解：由题意可知，|OQ|＝|OP|且 OP⊥OQ，故|OM|＝ ，
所以 ①，因为点 M（x0，y0）是椭圆 C： ＝1 上一点，
则有 ②，由①②可得，x0＝2，y0＝2，故 M（2，2），
所以圆 M 的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；
（2）证明：设直线 OP 的方程为 y＝k1x，直线 OQ 的方程为 y＝k2x，
因为 OP 与 OQ 均与圆 M 相切，
联立方程 ，可得 ，
同理可得， ，
由Δ＝0，可得 k1，k2 是方程 的两个不相等的实数根，
所以 （*），又点 M（x0，y0）是椭圆 C： ＝1 上一点，
则有 ，代入（*），可得 ，故 k1k2 为定值；
（3）解：（i）当直线 OP，OQ 不落在坐标轴上时，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
由（2）可知，4k1k2+1＝0，则 ，
因为点 P，Q 在椭圆 C 上，则有 ，整理可得， ，
所以 ，故|OP|2+|OQ|2＝25；
（ii）当直线落在坐标轴上时，则有|OP|2+|OQ|2＝25．
综上所述，|OP|2+|OQ|2＝25，则|OP| |OQ| ，当且仅当|OP|＝|OQ|时取等号，
故|OP|2+|OQ|2 为定值，|OP| |OQ|的最大值为 ．
{#{QQABbQSUggiIABIAABgCQQ2ICEKQkBGCCAoOhEAAoAAAABNABAA=}#}2023～2024 年度第一学期高二年级十二月阶段性学业水平调研
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知等比数列 an 中， a2 = 2， a6 = 8，则 a4 =（ ）
A. 4 或-4 B. -4 C. 4 D. 8
x2 y2
2. 已知直线 l : 2x + 3y = 0 与双曲线C : =1(a 0,b 0)无公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）
a2 b2
13 13 13 13
A． ,+ ,+ B． C． 1, D． 1,
2 3
2 3
3. 已知圆C1 : x
2 + y2 4 = 0 与圆C2 : x
2 + y2 4x + 4y 12 = 0 相交于 A, B 两点，则两圆的公共弦 AB =
（ ）
A. 2 2 B. 3 2 C. 2 D. 2
4. 已知抛物线C : y2 = 2 px( p 0)经过点M (x0 ,3)，点M 到抛物线C 的焦点 F 的距离为 3，则抛物线C 的
准线方程为（ ）
3
A. x = B. x = 3 C. x = 1 D. x = 2
2
5 1
5. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率 e = （其中 = ）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄
2
x2 y2
金椭圆方程为 + =1(a b 0) ，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作 O , P 为黄金椭圆上除顶点外
a2 b2
任意一点，过 P 作 O 的两条切线，切点分别为 A, B ，直线 AB与 x, y轴分别交于M , N 两点，则
b2 a2
+ =
2 2 （ ）
OM ON
1 1
A． B． C． D．
x2 y2
6. 已知 F1, F2 是椭圆 + =1的左、右焦点， P 是椭圆上任意一点，过 F1引 F1PF2 的外角平分线的垂
25 16
线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
7. 设已知数列 a nn 的前 项和为 Sn ， a1 =1，当 n 2时， an + 2Sn 1 = n ，则 S2021等于（ ）
A. 1008 B. 1009 C. 1010 D. 1011
x2
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(x1, y1 )，B(x2 , y
2
2 )在椭圆C : + y =1上，且直线OA ，OB 的斜
2
1
率之积为 ，则 x21 y
2
1 + x
2
2 y
2
2 =（ ）
2
5
A. 1 B. 3 C. 2 D.
2
{#{QQABbQSUggiIABIAABgCQQ2ICEKQkBGCCAoOhEAAoAAAABNABAA=}#}
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 以下四个命题为真命题的是（ ）
1 15
A. 过点 ( 10,10)且在 x轴上的截距是在 y 轴上截距的 4倍的直线的方程为 y = x +
4 2
5
B. 直线 xcos + 3y + 2 = 0（ R）的倾斜角的范围是 0, ,
6
6
C. 直线 x + y 1= 0与直线2x + 2y +1= 0之间的距离是 2
D. 直线 (2+m) x + 4y 2+m = 0(m R)过定点 ( 1,1)
10. 设 A(x1, y1 ), B (x2 , y2 )是抛物线 y
2 = 4x上两点，O 是坐标原点，若OA⊥OB ，下列结论正确的为（ ）
A. y1 y2 为定值 B. 直线 AB过抛物线 y
2 = 4x的焦点
C. S AOB 最小值为 16 D. O 到直线 AB的距离最大值为 4
a99 1
11. 已知等比数列 a 的公比为 qn ，其前 n项的积为Tn ，且满足 a1 1，a 099a100 1 0 ， ，则（ ） a100 1
A. 0 q 1 B. a99a101 1 0
C. T100 的值是Tn 中最大的 D. 使Tn 1成立的最大正整数 n的值为 198
x2 y2
12. 已知 P 为双曲线 =1(a 0,b 0) 右支上的一个动点（异于顶点）， F1 、 F2 分别是双曲线的左、
a2 b2
右焦点，△ PF1F2 的内切圆圆心为 I ，过 F2 作 F2 A ⊥ PI ，垂足为 A，下列结论正确的是（ ）
S PF F
A． I 在定直线上 B． 1 2 为定值
S IF1F2
C． OA 为定值 D． AP 为定值
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知直线 l1 : 2x + my +1= 0 与 l2 : 4mx + (m +1) y + 2 = 0垂直，则实数m 的值为 .
14. 在△ ABC 中， A( 3,0)， B(3,0)，3sin B 3sin A = sinC ，则顶点C 的轨迹方程是 .
x2 y2
15. 若倾斜角为 的直线过椭圆 + =1(a b 0) 的左焦点 F 且交椭圆于 A, B 两点，若 AF = 3 BF ，
6 a2 b2
则椭圆的离心率为 .
x2 y2 2 2
16. 过椭圆 + =1上一动点 P 分别向圆C1 : (x + 3) + y
2 = 4和圆C2 : (x 3) + y
2 =1作切线，切点分别
36 27
2 2
为M , N ，则 PM + 2 PN 的取值范围为 .
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
x2 y2
17.（10 分）已知曲线C 的方程为 =1，根据下列条件，求实数m 的取值范围：
7 m 3 m
（1）曲线C 是椭圆；
（2）曲线C 是双曲线．
{#{QQABbQSUggiIABIAABgCQQ2ICEKQkBGCCAoOhEAAoAAAABNABAA=}#}
x2 y2 x2 y2
18.（12 分）已知双曲线C : =1(a 0,b 0)与 + =1有相同的焦点，且经过点 P( 2, 2 ) .
a2 b2 5 2
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线 l 与双曲线C 交于 A, B 两点，且 AB的中点坐标为 (1,2)，求直线 l 的斜率.
19.（12 分）已知点 P (2,0)及圆C : x2 + y2 6x + 4y + 4 = 0 .
(1)若直线 l1 过点 P 且与圆心C 的距离为1，求直线 l1 的方程．
(2)设直线 ax y +1= 0与圆C 交于 A, B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P (2,0)的直线 l2 垂直平分弦
AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．
2 n 1 n
20.（12 分）已知数列 an 满足a b1 +3a2 +3 a3 + +3 an = ，数列 n 的首项为 2，且满足nbn+1 = (n +1)bn
3
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
4
(2)记集合M = n bnbn+1 (bn +1) ,n
*
N ，若集合M 的元素个数为 2，求实数 的取值范围；
an
2
1 n 1 n +1
(3)设 cn = 2 2 ，证明： ． bn k=1 ck 4
x2 y2
21.（12 分）已知双曲线C : =1(a 0,b 0)的左焦点为F ( 2 3,0)，渐近线方程为 y = 2x .
a2 b2
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若双曲线C 的左、右顶点分别为 A, B ，过点T (3,0)的直线与双曲线C 的右支交于M , N 两点，M 在
第一象限，直线 AM 与 BN 交于点Q .求证：点Q 在定直线上.
x2 y2
22.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点M (x0 , y0 )是椭圆C : + =1上一点，以M 为圆心作一个
20 5
半径 r = 2 的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C 交于点 P,Q．
（1）若点M 在第一象限且直线OP,OQ互相垂直，求圆M 的方程；
（2）若直线OP,OQ的斜率都存在，且分别记为 k1， k2 ，求证： k1k2 为定值；
2 2
（3）探究 OP + OQ 是否为定值，若是，则求出 OP OQ 的最大值；若不是，
请说明理由．
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