福建省南安市本真高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含解析）

南安市本真高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试题
一 单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则最小值为
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
7.若，使成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合的关系如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.若为自然数集，，则
10.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
11.在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）
A. B.
C. D.
12.定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（ ）
A.不等式解集为
B.不等式解集为
C.解集为
D.解集为.
三 填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知集合，则集合的个数为__________个.
14.设为上的奇函数，且当时，，则__________.
15.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围为__________.
16.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为__________；
若与有3个交点，则实数的取值范围是__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17（本小题10分）设全集为，集合
（1）若，求；
（2）问题：已知__________，求实数的取值范围.
从下面给出的两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答（请选出一种方案进行解答，若选择多个方案分别解答，则按第一个解答计分）
①；②.
18.（本小题12分）
（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
19.（本题12分）已知命题.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）命题：关于的一元二次方程的一根小于0，另一根大于3，若至少有一个是真命题，求实数的取值范围.
20.（本小题12分）
2023年，8月29日，华为Mate60Pro在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的表达式；
（2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
21.（本小题12分）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若，求的取值范围.
22.（本小题12分）已知函数.
（1）若函数在区间上的最小值为，求实数的值；
（2）对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案
1.【答案】D
由，又
所以故选：D
2.【答案】B
【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题，
注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.故选：B
3.【答案】D
解：由题意可得，
所以的一个充分不必要条件可以是选项，故选
4.【答案】C
【详解】对于中，由，其中的符号不确定，所以不正确；
对于中，因为，可得，
所以，即，所以B不正确；
对于中，由，可得，所以，所以正确；
对于D中，由，可得，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以D不正确.故选：C.
5.【答案】A
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.故选：A.
6.【答案】D
【详解】，解得，
所以的定义域是，
对于有，
所以函数的定义域为.故选：D
7.【答案】C
设
由得，故选C
8.【答案】A
解：由于函数满足对任意，都有成立，
所以在上单调递增，所以，解得，
所以的取值范围是.故选：A
9.【答案】ABD
10.【答案】BD
【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除选项.
函数均为偶函数.
又二次函数在上为增函数.
，当时，函数可化为，在上为增函数.
故选项B，D满足条件.故选：BD
11.【答案】CD
【详解】A选项，，所以选项不符合.
B选项，，
当且仅当时等号成立，所以选项不符合.
C选项，对于函数，
当时，，当且仅当时等号成立.
当时，，当且仅当时等号成立，
综上所述，的最小值是2，符合题意.
D选项，，
，
当且仅当时等号成立，所以选项符合.故选：CD
12.【答案】AD
解：由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数，
则函数为偶函数，在上为减函数，
函数的图象可由的图象向左平移1个
单位得到，作出以即得大致图象如图，
则不等式可化为或，
由图象可知，故（A）正确，（B）错误；
由于为偶函数，故可化为，
即，解得，故（C）错误，（D）正确，故选：AD
13.【答案】8
解：依题意，集合，
所以可能为：，共8个.
故答案为：8
14.【答案】-3
解：由是奇函数，则，
所以故答案为：-3
15.【答案】
【详解】，
由解得或，
画出的图象如下图所示，
由于函数的定义域为，值域为，
由图可知，的取值范围是.故答案为：
16.【答案】（1）；（2）.
（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以.
所以.
综上：.
（2）图象如下图所示：.
单调增区间：单调减区间：.
因为方程有三个不同的解，由图象可知，，即.
17.解：（1）集合或
则，
当时，，
故
（2）当选①时，所以，（※）
即
得到
当选②时，
当，即时，满足，解得；
当即时，由，得，（※※）
即，解得.
综上所述，的取值范围是.
18.解：（1），
等号当且仅当时取得，所以的最小值为9；
（2）因为所以，
所以，（当且仅当时等号成立）.
又，所以，故的最大值为12.
19.解：（1）由题意，若为真，则解得或，
（2）法一：若为真，，
方程两根为-1和
则由题意得，所以
当均为假时，有，可得
因此，如果中至少有一个为真时，或
法二：设
若为真，则有解得
当均为假时，有，可得
因此，如果中至少有一个为真时，或
【备注】若讨论一真一假和两真：
真假：假真：都真：
所以，或
20.解：（1）当时，，
当时，，
（2）若，
当时，万元；
若，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
年年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元.
21.（1）由函数是定义在上的奇函数，所以得，
又因为，所以，
经检验，当时，是奇函数，所以
（2）.由（1）可知，设
所以
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上是增函数.
（3）.由函数是定义在上的奇函数且，
则，所以，解得，
所以的取值范围是.
22.（1）.函数的开口向上，对称轴，
当时，在区间上的最小值为：
，符合.
当时，在区间上的最小值为：
，不符合.综上所述，的值为2.
（2）.依题意，对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，
所以在区间上的“最大值”小于在区间上的最大值，
对于，任取，
，
由于，所以，
所以在区间上递增，最大值为.
函数的开口向上，对称轴，
当时，，
则，所以.
当时，，
则，所以.综上所述，的取值范围是.