【同步培优微专题】专题5 线段计算（2）方程的思想（含答案）

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专题 线段计算（二）方程的思想
一、由比值关系引入未知数列方程
1．如图，点C在线段AB上，M是AC的中点，N是BC的中点，若AC∶CB＝3∶2，且MC＋NB＝12．5 cm，求MC的长．
2．如图，线段AB被点C，D分成了3∶4∶5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，
求AB的长．
二、由倍分关系引入未知数列方程
3．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．
（1）如图1，若AB＝6 cm，BC＝4 cm，D为线段AC的中点，求线段BD的长；
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12 cm，求线段AC的长．
4．已知线段AB，反向延长线段AB至C，使BC＝AB，D为BC的中点，E为BD的中点．
（1）①补全图形；
②若AB＝4，则AE＝ ．
（2）若AE＝2，求AC的长．
专题 线段计算（二）方程的思想
一、由比值关系引入未知数列方程
1．如图，点C在线段AB上，M是AC的中点，N是BC的中点，若AC∶CB＝3∶2，且MC＋NB＝12．5 cm，求MC的长．
【答案】设AC＝3x cm，CB＝2x cm，则1．5x＋x＝12．5，x＝5，∴MC＝1．5x＝7．5 cm．
2．如图，线段AB被点C，D分成了3∶4∶5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，
求AB的长．
【答案】设AC＝3x cm，则CD＝4x cm，DB＝5x cm．
∵M是AC的中点，∴CM＝AC＝x cm．
∵N是DB的中点，∴DN＝DB＝x cm．
∵MN＝MC＋CD＋DN，又MN＝40 cm，
∴x＋4x＋x＝40，8x＝40，x＝5．
∴AB＝AC＋CD＋DB＝12x＝12×5＝60(cm)．
二、由倍分关系引入未知数列方程
3．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．
（1）如图1，若AB＝6 cm，BC＝4 cm，D为线段AC的中点，求线段BD的长；
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12 cm，求线段AC的长．
【答案】（1）BD＝1 cm；
（2）设BD＝x，则AB＝4BD＝4x，CD＝3BD＝3x，
AC＝AB＋BC＝AB＋CD－BD＝4x＋3x－x＝6x，AE＝AB＝2x，
∴EC＝AC－AE＝4x＝12，∴x＝3，∴AC＝6x＝18．
4．已知线段AB，反向延长线段AB至C，使BC＝AB，D为BC的中点，E为BD的中点．
（1）①补全图形；
②若AB＝4，则AE＝ ．
（2）若AE＝2，求AC的长．
【答案】（1）①略；②1．5；
（2）设AB＝2x，则AC＝3x，
∵BD＝CD＝2．5x，∴AD＝0．5x，
∴DE＝0．5x＋2，2(0．5x＋2)＝2．5x，x＝，
∴AC＝8．
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