北师大版八年级数学下册课件 1.4.1 角平分线的性质与判定

(共22张PPT)
第1章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时 角平分线的性质及判定
1.能够证明角平分线的性质定理及判定定理
2.进一步提高学生的推理能力
1.角平分线性质定理及判定定理的应用
2.角平分线相关定理证明及应用
教学目标
重难点
复习旧知，导入新课
什么叫角平分线？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.
你还记得角平分线上的点有什么性质吗？
导入新课
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能证明这个定理吗？
探究新知
已知：如图，∠AOC =∠BOC， 点 P 在 OC 上， PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
∠PDO =∠PEO，
∠AOC =∠BOC，
OP = OP，
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE.
知识要点
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
几何语言：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
小牛试刀
如图，OP 平分∠AOB，PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，垂足分别是 C、D. 下列结论中错误的是（ ）
A. PC = PD
B. OC = OD
C. ∠CPO =∠DPO
D. OC = PO
D
提出问题 探索新知
思考：你能写出角平分线性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
这个命题是假命题.角平分线是角内的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点.
此命题增加什么条件可变为真命题呢？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
探索新知
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：
作射线 OP.
即点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
(全等三角形的对应角相等)，
OP = OP ( 公共边 )，
PD = PE ( 已知 )，
B
A
D
O
P
E
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).
∴∠AOP =∠BOP
导入新知
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
且PD=PE.
∴ 点P在∠AOB的平分线上.
A
C
B
O
D
P
E
小牛试刀
在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
小牛试刀
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°.
∴在 Rt△ADE 中，
∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
1
2
1
2
归纳总结
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
巩固练习，提高能力
1.判定正误：(1) ∵ 如下左图，AD 平分∠BAC (已知)，
∴ ＝_____
( ).
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2) ∵ 如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB (已知).
∴ = _____
( ).
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
巩固练习，提高能力
2.在△ABC 中，∠ACB=90°， BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC =3 cm，那么AE+DE等于（ ）
A.2 cm B. 3 cm C.4 cm D.5 cm
A
B
C
D
E
B
巩固练习，提高能力
3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，则下列四个结论：
①AD 上任意一点到点 C、点 B 的距离相等；②AD 上任意一点到 AB，AC 的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF. 其中，正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
巩固练习，提高能力
4.如图，∠B=∠C=90°， DE平分∠ADC， AE平分∠DAB， 求证：E是BC的中点.
证明：过点E作EF⊥AD于F，
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ CD⊥BC， AB⊥BC.
∵ DE平分∠ADC， AE平分∠DAB，
∴ CE=EF，EF=BE.
∴ CE=BE.
即E是BC的中点.
C
E
D
B
A
F
巩固练习，提高能力
5. 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
巩固练习，提高能力
O
N
M
A
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示.
P.
课堂小结
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
互逆命题
课后作业
1.教材第30页习题1.9第1，2 题.
这节课你学到了什么？谈谈你的收获，
小结与反思