北师大版八年级数学下册课件 1.4.2 三角形内角平分线的性质

(共20张PPT)
第1章 三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时 三角形的内角平分线的性质
1.能够理解并证明三角形三条内角平分线的性质定理
2.进一步提高学生的推理能力
1.三角形三条内角平分线性质的应用
2.利用性质定理解决实际问题
教学目标
重难点
做一做 导入新课
做一做1： 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
导入新课
做一做 2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
垂线段相等
你能证明这个结论吗？
探究新知
求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：P 点在∠BAC 的角平分线上.
A
B
C
P
E
F
M
D
N
探究新知
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E，
∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF.
∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个
角的内部，到角的两边距离相等的点在
这个角的平分线上），
即∠A 的平分线经过点 P.
同理∠B、∠C的平分线也经过点P
A
B
C
P
E
F
M
D
N
学习新知
定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等.
几何语言：
如图，在△ABC 中，
∵ BM， CN， AH分别是△ABC的三条角平分线， 且PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC，
∴BM， CN，AH相交于一点P，且PD=PE=PF.
A
B
C
F
N
D
M
E
P
H
归纳新知
对比三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
小牛试刀
1. 已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点， PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____.
5
A
O
E
B
P
C
小牛试刀
2. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = _____.
25°
A
C
B
D
E
巩固练习，提高能力
1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D.
求证：（1）OC = OD；
（2）OP 是 CD 的垂直平分线.
O
C
D
B
P
E
A
巩固练习，提高能力
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
OP = OP，PC = PD，
∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）.
∴OC = OD（全等三角形对应边相等）.
O
C
D
B
P
E
A
巩固练习，提高能力
（2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线，
∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.
O
C
D
B
P
E
A
巩固练习，提高能力
2 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，
DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm.
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE.
在等腰 Rt△BDE 中，
巩固练习，提高能力
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
巩固练习，提高能力
3. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
l1
l2
l3
巩固练习，提高能力
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
课堂小结
　　三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
课后作业
教材第32页习题1.10第2，3 ，4题.
这节课你学到了什么？谈谈你的收获，
小结与反思