数学试题答案
1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.A 7.A 8.B
9.ABD 10.CD 11.BC 12.ACD
12.【解析】设椭圆的左焦点为 F ，则 | AF | | BF |，所以 | AF | | BF | | AF | | AF |为定值 6， A正确；
ABF的周长为 | AB | | AF | | BF |，因为 | AF | | BF | 为定值 6，易知 | AB | 的范围是 (0,6) ，所以 ABF的周
长的范围是 (6,12) ， B错误；
y 3 3 3 3 3 3 3将 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 可 解 得 A( , ) ， B( , ) ， 又 易 知 F ( 6,0) ， 所 以
2 2 2 2 2
AF BF ( 6 3 3)( 6 3 3) ( 3 ) 2 0 ，所以 ABF为直角三角形，C正确；
2 2 2
1
将 y 1与椭圆方程联立，解得 A( 6,1)， B( 6,1) ，所以 S ABF 2 6 1 6 ，D正确．2
三、填空题
2 3 4
13.3 14. 15. ( , 0, ) 16. 5 5,5 5 15 5 5
16.【解析】直线 m 2 x m 1 y 3m 4 0化为
x y 3 0 x＝1
m(x y 3) 2x y 4 0，令{ ，解得{ ．
2x y 4 0 y＝ 2
∴直线 m 2 x m 1 y 3m 4 0过定点Q（1， 2）．
∴点M 在以 PQ为直径的圆上，
圆心为线段 PQ的中点C（ 1， 1），半径 r 22 1 5 ．
MN CN r 32 2线段 长度的最大值 4 5 5 5．
MN CN r 32 42线段 长度的最大值 5 5 5．
故答案为 5 5,5 5 .
四、解答题
17.【解析】
（1）由题意可得，男生优秀人数为 100 × 0.01 + 0.02 × 10＝30，
女生优秀人数为 100× 0.015 + 0.03 × 10＝45．
5 1
（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是 = ，
30+45 15
1 / 4
{#{QQABDQSQoggoABIAABhCQQ36CkGQkBACAKoOAFAIoAAAABFABAA=}#}
30 × 1所以样本中包含男生人数为 = 2，女生人数为 45 × 1 = 3，
15 15
设两名男生为 1， 2，三名女生为 1， 2， 3，
则从 5人中任意选取 2人构成的所有基本事件为：
{ 1, 2}，{ 1, 1}，{ 1, 2}，{ 1, 3}，{ 2, 1}，
{ 2, 2}，{ 2, 3}，{ 1, 2}，{ 1, 3}，{ 2, 3}共 10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件 ：“选取的 2人中至少有一名男生”，
则事件 包含的基本事件有：
{ 1, 2}，{ 1, 1}，{ 1, 2}，{ 1, 3}，
{ 2, 1}，{ 2, 2}，{ 2, 3}共 7个，
所以 = 7 7，即选取的 2人中至少有一名男生的概率为
10 10
18.【解析】
(1)设线段 BC 的中点为 D．
因为 (6, 7)， (0, 3)，
所以 BC 的中点 (3, 5)，
0 4
所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 = ，
5 0 3 4
即 5 20 = 0．
(2)因为 (6, 7)， (0, 3)，
所以 BC 3 ( 7) 2边所在直线的斜率 = = ，0 6 3
3
所以 BC 边上的高所在直线的斜率为 ，
2
3
所以 BC 边上的高所在直线的方程为 = 4 ，
2
即 3 2 12 = 0．
19.【解析】
(1)设动点 ( , )，
+1 2+ 2 1
根据题意得， 2 2 = ，化简得， + 2
2 + 2 = 4，
2 + 2
所以动点 M的轨迹方程为 + 2 2 + 2 = 4．
2 / 4
{#{QQABDQSQoggoABIAABhCQQ36CkGQkBACAKoOAFAIoAAAABFABAA=}#}
(2)设过点(2,0)的直线方程为 = ( 2)，
4 3 3
圆心到直线的距离 = ≤ 2，解得 ，
2+1 ≤ ≤3 3
3
所以 2的最小值为 ．3
20.【解析】
x2 y2
（1）解： 1 依题意，设所求椭圆方程为 2 + 2 = 1 a > b > 0 ，其半焦距 c = 6．a b
∵点 P 5，2 在椭圆上，
∴2a = PF 2 2 2 21 + PF2 = 5+ 6 + 2 + 5 6 + 2 = 6 5．
∴a = 3 5，从而b2 = a2 c2 = 9．
x2 y2
故所求椭圆的标准方程是 + = 1．
45 9
（2）由 MF1 ⊥ MF2得，
→ →
∴MF1 MF2= 6 x0， y0 6 x0， y0
= x20 36 + y20 = 0，即x20 = 36 y20，
代入椭圆方程得y2 = 9 30 ，故 y =±4 0 2
21.【解析】
（1）证明：∵F,G 分别为 PB,EB 中点，∴FG∥ PE，
FG 平面PED,PE 平面PED， FG∥ 平面PED .
（2）解： EA 平面ABCD，EA∥ PD， PD 平面ABCD .
又 四边形ABCD为矩形， DA,DC,DP两两垂直 .
故以 D 为坐标原点，DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间
直角坐标系，、
则 P(0,0, 2),B(2, 2,0),C(0, 2,0),E(2,0,1),F (1,1,1),G(2,1, 1),H (0,1,1)，PC (0, 2, 2),CB (2,0,0)
2
n PC 0 2y 2z 0
设平面 PBC 的法向量为 n (x, y, z) ，则 ，即 ，所以可取 n (0,1,1)，
n CB 0 2x 0
3 / 4
{#{QQABDQSQoggoABIAABhCQQ36CkGQkBACAKoOAFAIoAAAABFABAA=}#}
同理可取平面 FGH 的法向量为m (0,1,0) ，设平面 FGH 与平面 PBC 的夹角为 ，
则 cos | m n | 2 [0, ] FGH PBC ，又 ，∴平面 与平面 夹角为 .
|m | | n | 2 2 4
22.【解析】
(1)把圆 2 + 2 8 12 + 36 = 0，
化为标准方程得( 4)2 + ( 6)2 = 16，
所以圆心坐标为(4,6)，半径为 = 4，
则两圆心间的距离 = (4 1)2 + (6 2)2 = 5，
因为两圆的位置关系是外切，
所以 = + ，即 4 + 5 = 5，解得 = 4，
故 m的值为 4；
(2)因为圆心 C的坐标为(1,2)，
1 5
所以圆心 C到直线 l的距离 = = ，
5 5
所以( 5 )2 = ( 1 | |)2 + 2 = ( 2 5 )2 + ( 5 )2，
2 5 5
即 5 = 1，解得 = 4，
故 m的值为 4．
4 / 4
{#{QQABDQSQoggoABIAABhCQQ36CkGQkBACAKoOAFAIoAAAABFABAA=}#}高二上学期第二次月考
数学试题
（本试卷总分 150分，总时量 120分钟）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 2椭圆C : 4x y2 16的焦点坐标为（ ）
A． ( 2 3,0) B． ( 2 5,0) C． (0, 2 3) D． (0, 2 5)
2. 已知向量 a (2, 4,5)，b (3, x, y)分别是直线 l1, l2的方向向量，若 l1∥ l2 ，则（ ）
A． x 6, y 15 B． x 3, y 15 C． x 8 , y 10 D． x 6, y 15
3 3 2
3. 在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照 3（语文、数学、英语）+2（物
理、历史）选 1 + 4（化学、生物、地理、政治）选 2的模式设置的，则在选考的科目中甲、
乙两位同学恰有两科相同的概率为( )
A.1 B.1 C. 5 D.1
4 3 12 2
4. 已知直线 l1的方向向量 a (2, 4, x)，直线 l2的方向向量b (2, y, 2)，若 | a | 6，且 a b，
则 x y的值是( )
A． 1或 3 B．1或 3 C． 3 D．1
5. 若直线 x y k 0与圆 (x 1)2 y2 2有两个不同的交点，则（ ）
A．0 k 3 B． 1 k 3 C． k 1或 k 3 D． 1 k 3
6. 已知平行六面体 ABCD A 'B 'C 'D '中， AB 4， AD 3， AA ' 5， BAD 90 ，
BAA ' DAA ' 60 ．则 AC '的长为（ ）
A． 85 B． 97 C．12 D． 2 30
7. 光线从 A( 3,4)点射出，到 x轴上的 B点后，被 x轴反射到 y轴上的 C点，又被 y轴反射，
这时反射线恰好过点D( 1,6)，则 BC所在直线的方程是（ ）
A．5x 2y 7 0 B．3x y 1 0 C．3x 2y 4 0 D． 2x y 3 0
8. 四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是一个平行四边形， PA 底面 ABCD， AB (2, 1, 4)，
1 / 4
{#{QQABDQSQoggoABIAABhCQQ36CkGQkBACAKoOAFAIoAAAABFABAA=}#}
AD (4, 2,0)， AP ( 1,2, 1)．则四棱锥 P-ABCD的体积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．48
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分．
9. 若 a,b,c是空间任意三个向量， R，下列关系中，不．成．立．的是（ ）
A． | a b | | b a | B． (a b) c a (b c)
C． (a b) a b D．b a
10. 已知直线 l : 3x y 1 0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 l的倾斜角是
6
B．若直线m : x 3y 1 0，则 l m
C．点 ( 3,0)到直线 l的距离是 2
D．过 (2 3,2)与直线 l平行的直线方程是 3x y 4 0
11.已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点 P，使 | PM | 4，则称该直线为“点 M相关直线”，
下列直线中是“点M相关直线”的是（ ）
A． y x 1 B． y 2 C． 4x 3y 0 D． 2x y 1 0
2 2
12. x y设椭圆 1的右焦点为F，直线 y m(0 m 3)与椭圆交于 A,B两点，则（ ）
9 3
A． | AF | | BF |为定值 B． ABF的周长的取值范围是[6,12]
C 3．当m 时， ABF为直角三角形 D．当m 1时， ABF的面积为 6
2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
2 2 c 1
13. x y若椭圆 1(m 4)的离心率 e 为 ，则m ．
4 m a 2
14. 已知 A，B 1 2，C三点不共线，O是平面 ABC外任一点，若OP OA OB OC，
5 3
且P 平面 ABC，则 ．
15. 已知空间向量 a (3,0, 4),b ( 3,2,1)，则向量b在向量a上的投影向量是 ．
2 / 4
{#{QQABDQSQoggoABIAABhCQQ36CkGQkBACAKoOAFAIoAAAABFABAA=}#}
16. 过点P 3,0 做直线 m 2 x m 1 y 3m 4 0的垂线，垂足为M ，已知点N 2,3 ，
则 MN 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （10分）某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机
抽取 100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布
直方图．
（1）若所得分数大于等于 80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5人，从这 5人中任意选取 2人，求
至少有一名男生的概率．
18. （12分）已知三角形的三个顶点是 A(4,0)，B(6, 7)，C(0, 3)．
（1）求 BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求 BC边上的高所在直线的方程．
|MA | 1
19. （12分）已知 A( 1,0)，B(2,0)，动点 M满足 |MB | 2 ，设动点 M的轨迹为 C，
（1）求动点 M的轨迹方程；
y
（2）点 P(x, y)在轨迹 C上，求 的最小值．
x 2
3 / 4
{#{QQABDQSQoggoABIAABhCQQ36CkGQkBACAKoOAFAIoAAAABFABAA=}#}
x2 y2
20. （12分）已知椭圆 C: 2 + 2 = 1 a > b > 0 的左、右焦点分别是F1 6，0 ，F2 6，0 ，且a b
该椭圆过点 P 5，2 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点 M x0，y0 满足 MF1 ⊥ MF2，求y0的值.
21. （12分）如图，四边形 ABCD是正方形，EA 平面 ABCD，EA∥ PD，AD PD 2EA 2，
F ,G,H 分别为 PB,EB,PC的中点．
（1）求证： FG∥ 平面 PED；
（2）求平面 FGH与平面 PBC夹角的大小．
22. （12分）已知关于 x，y的方程C : x2 y2 2x 4y m 0．
（1）若圆 C与圆 x2 y2 8x 12y 36 0外切，求 m的值；
（2 4 5）若圆 C与直线 l : x 2y 4 0相交于 M，N两点，且 |MN | ，求 m的值．
5
4 / 4
{#{QQABDQSQoggoABIAABhCQQ36CkGQkBACAKoOAFAIoAAAABFABAA=}#}
