山东省临沂市名校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

临沂市名校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
2023.12.12
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．该数列从第一项起依次是则该数列第18项为（ ）
A．200 B．162 C．144 D．128
2．已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．3 B．6 C．3或 D．6或
3．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是抛物线上的一点，为的焦点，若，则的纵坐标为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上．已知某行星在绕太阳运动的过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知O为坐标原点，直线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ）
A．2 B．4 C． D．3
7．在三棱柱中，D，E，F，G分别为棱的中点．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设A是抛物线上的动点，B是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．27
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．圆与圆的位置关系可能为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
10．已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5
C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为11
11．已知椭圆的两个焦点为，是上任意一点，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线（）的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线与另一条渐近线的交点为，若，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等比数列中，，，且，则______．
14．已知等差数列，的前n项和分别为，且，则______．
15．已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交C于A，B两点，若AB的长等于虚轴长的3倍，则的周长为______．
16．已知斜率为1的直线与圆交于A，B两点，P为弦AB的中点，若P的横坐标为m，则m的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式
（2）若，求的前n项和．
18．（12分）
已知圆．
（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径；
（2）若直线与圆交于两点，且，求的值．
19．（12分）
任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必将入循环图“”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），
；
（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；
（2）若，求m所有可能的取值范围．
20．（12分）
已知椭圆的焦距为4，短轴长为2．
（1）求C的长轴长；
（2）若斜率为的直线交于两点，求的最大值．
21．（12分）
如图，在三棱柱中，底面为正三角形，为的中点，平面平面．
（1）证明：平面．
（2）若，二面角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．
22．（12分）
已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1．
（1）求的方程．
（2）过点的直线与相交于两点，过点的直线与相交于两点，且不重合，判断直线AC是否过定点．若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
临沂市名校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学
参考答案
1．B【详解】 偶数项分别为2，8，18，32，50，即，即偶数项对应的通项公式为，则数列的第18项为第9个偶数，即．故选B．
2．B【详解】 解：设数列的公比为，则，所以，，
所以，故选：B．
3．C 由题意得圆M的圆心为，则点关于直线对称的点为，所以所求的圆的方程为．
4．B 由题意得C的焦点，准线为直线．因为，所以P到直线的距离为11，则P的纵坐标为．
5．D 由题意知，，则该行星运动轨迹的离心率．
6．A 设直线与x轴交于D点，由双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，从而推出为等腰直角三角形．由得，则．
7．C 因为，，．
所以，．
因为，
所以．
8．C 设，则，当时，取得最小值28，所以，所以．
9．BCD 由题意得，圆M与圆O的半径之差为，因为，所以圆O与圆M的位置关系可能为相交、外切、外离．
10．ACD 【详解】 由，得，所以数列是首项为20，公差为的等差数列，则，令，得，即，故A正确；易知利用二次函数性质可知担当最大时，n的值为5或6，故B错误；由，所以，，所以数列是等差数列，故C正确；令，则，解得，所以时，n的最大值为11，故D正确．故选：ACD．
11．ABD 因为．所以，，．所以，，，．
12．BC 不妨设C的一条渐近线的方程为，则直线AF的斜率为，则．设，联立直线AF的方程为，可得，．同理可得点A的纵坐标为，因为，所以．因为，所以或．
13．64
14．
15．36 由题意得，则，所以的周长为．
16．设，，AB的中点，由得
，则．得．
因为在圆M内，所以，得．
17．【详解】 （1）由，
当时，可得，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由，可得，则，
令，可得，
当，可得，
当时，可得
，
因为，所以，
所以．
18．解：（1）由得
则圆M的标准方程为，
圆M的圆心坐标，半径为．
（2）由，得圆心M到直线的距离为，
则圆心M到直线的距离，得或．
19．【详解】 （1）当时，则按运算法则得出
，
即使得需要16步雹程；
（2）若，则或1，
当时，，或5，若，则；若，则；
当时，或1，
故m所有可能的取值集合．
20．解：（1）由题意得得
所以C的长轴长．
（2）由（1）可知的方程为．
设，，．
由得，
由，得．
由韦达定理得
则
．
当时，取得最大值，且最大值为．
21．（1）证明：连接交于O，连接OD，则OD为的中位线．所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：在正中，，
因为平面平面且交于BC，
所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，即．
在中，，，由余弦定理可得，，
连接，则，所以为正三角形，连接，则，
所以平面．
如图，以D为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，．
所以，，，
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为．
则令，得．
设平面与平面所成的角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
22．解（1）由题意得的最小值为，则，得．
所以D的方程为．
（2）因为不重合，所以直线AB，BC，AC的斜率必然存在．
设，，．
直线AB的斜率．
得．
直线BC的斜率．
得．
由，消去可得，
直线AC的斜率，
所以直线AC的方程为．
故直线AC过定点．