江苏省常熟重点中学2023-2024学年高一上学期12月学业水平调研数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省常熟重点中学2023-2024学年高一上学期12月学业水平调研数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 966.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-19 07:32:47 | ||
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文档简介
2023～2024年度第一学期高一年级十二月份学业水平调研
数学试题（1-12班）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A... B. C. D.
2.函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A. B. C. D.
3.“为第一或第四象限角”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，（ ）
A.9 B.8 C.16 D.15
图1 图2
5.角的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数，都有，则的最小值是（ ）
A.2 B. C.1 D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.）
9.若角，，是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A.，
B.的值域为
C.若，且，则
D.若，则
12.已知函数函数，则（ ）
A.函数的值域为
B.存在实数，使得
C.若恒成立，则实数的取值范围为
D.若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是
三、填空題（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卷划线位置上.）
13.函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数______.
14.已知函数为偶函数，则______.
15.写出一个同时满足下列条件的非常数函数______.
①在单调递减 ②值域 ③
16.校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面（墙面与地面垂直）（如图），现在一支架斜杆长为，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为______；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为，面积为，则此时斜杆长度应设计为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.已知
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
18.如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点.过点作圆的切线，分别交轴、轴于点与.
（1）若，求的坐标
（2）若的面积为2，求的值；
（3）求的最小值.
19.设集合，.
（1）若为空集，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
20.已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若不等式在上有解，求的取值范围.
21.设（为实常数），与的图像关于原点对称.
（1）当，若关于的方程有两个不等实根，求的范围；
（2）当，求方程的实数根的个数，并加以证明.
22.已知.
（1）求函数在的最小值.
（2）对于任意，，都有成立，求的取值范围.
2023～2024年度第一学期高一年级十二月份学业水平调研
数学试题答案（1-12班）
一、单项选题：
1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. B 7. B 8. D
二、多项选择题：
9. AB 10. BD 11. AC 12. BCD
三、填空题：
13. 14. 15.（答案不唯一） 16.，13.
四、解答题：
17.解：（1）
（2），
当为第一象限角时，，
当为第四象限角时，，
（3）因为，
所以
18.（1）由题意得，所以，即.
（2）由题意得为锐角，故在第一象限，则，在，轴正半轴上，
由题意可知，故，故，
，故，则，
由的面积为2，得，即.
所以，
又，故，即，
所以，解得；
（3）由题意是锐角，则，，
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为16.
19.（1）依题意，不等式解集为空集，
于是，即，
解得，所以.
（2）不等式，解得，
即，，
当时，，则；
当时，，则，而，显然不是的子集；
当时，，则，
由，得，解得，
所以的取值范围是或.
20.（1）由对数函数单调性可知，当时，，
令，，即可得，，
由二次函数性质可知当时，，当时，；
因此可得当时，该函数的值域为.
（2）当时，可得，
原不等式可化为在上有解，
即可得在上有解，易知函数在上单调递增，
所以，得；
即的取值范围是.
21.（1）设点为图象上任意一点，关于原点的对称点为，
由题意可知在上，则有，，故
时，
由可得，，即
令，则有两个不等正根
则有，，解之得，
（2）令
由，可知，
则时，与均单调递增，故在上单调递增，
又时，，
故在上有唯一零点；
又当时，恒成立，即在上无零点.
综上可知，方程有且仅有一个实数根.
22.（1）因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，函数在的最小值为0.
（2）设，
由（1）知，函数在的最小值为0.
则由任意，，都有成立，
可得在上恒成立，
只需在上恒成立即可.
因为，在上恒成立，所以
因为，所以，，
所以.
由可得，
.
因为单调递增，所以，
即在上恒成立.
因为，
所以，在上恒成立.
因为，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
所以，在上恒成立.
因为在上为减函数，
所以在处取得最大值1，所以，.
综上所述，.
数学试题（1-12班）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A... B. C. D.
2.函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A. B. C. D.
3.“为第一或第四象限角”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，（ ）
A.9 B.8 C.16 D.15
图1 图2
5.角的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数，都有，则的最小值是（ ）
A.2 B. C.1 D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.）
9.若角，，是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A.，
B.的值域为
C.若，且，则
D.若，则
12.已知函数函数，则（ ）
A.函数的值域为
B.存在实数，使得
C.若恒成立，则实数的取值范围为
D.若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是
三、填空題（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卷划线位置上.）
13.函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数______.
14.已知函数为偶函数，则______.
15.写出一个同时满足下列条件的非常数函数______.
①在单调递减 ②值域 ③
16.校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面（墙面与地面垂直）（如图），现在一支架斜杆长为，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为______；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为，面积为，则此时斜杆长度应设计为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.已知
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
18.如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点.过点作圆的切线，分别交轴、轴于点与.
（1）若，求的坐标
（2）若的面积为2，求的值；
（3）求的最小值.
19.设集合，.
（1）若为空集，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
20.已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若不等式在上有解，求的取值范围.
21.设（为实常数），与的图像关于原点对称.
（1）当，若关于的方程有两个不等实根，求的范围；
（2）当，求方程的实数根的个数，并加以证明.
22.已知.
（1）求函数在的最小值.
（2）对于任意，，都有成立，求的取值范围.
2023～2024年度第一学期高一年级十二月份学业水平调研
数学试题答案（1-12班）
一、单项选题：
1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. B 7. B 8. D
二、多项选择题：
9. AB 10. BD 11. AC 12. BCD
三、填空题：
13. 14. 15.（答案不唯一） 16.，13.
四、解答题：
17.解：（1）
（2），
当为第一象限角时，，
当为第四象限角时，，
（3）因为，
所以
18.（1）由题意得，所以，即.
（2）由题意得为锐角，故在第一象限，则，在，轴正半轴上，
由题意可知，故，故，
，故，则，
由的面积为2，得，即.
所以，
又，故，即，
所以，解得；
（3）由题意是锐角，则，，
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为16.
19.（1）依题意，不等式解集为空集，
于是，即，
解得，所以.
（2）不等式，解得，
即，，
当时，，则；
当时，，则，而，显然不是的子集；
当时，，则，
由，得，解得，
所以的取值范围是或.
20.（1）由对数函数单调性可知，当时，，
令，，即可得，，
由二次函数性质可知当时，，当时，；
因此可得当时，该函数的值域为.
（2）当时，可得，
原不等式可化为在上有解，
即可得在上有解，易知函数在上单调递增，
所以，得；
即的取值范围是.
21.（1）设点为图象上任意一点，关于原点的对称点为，
由题意可知在上，则有，，故
时，
由可得，，即
令，则有两个不等正根
则有，，解之得，
（2）令
由，可知，
则时，与均单调递增，故在上单调递增，
又时，，
故在上有唯一零点；
又当时，恒成立，即在上无零点.
综上可知，方程有且仅有一个实数根.
22.（1）因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，函数在的最小值为0.
（2）设，
由（1）知，函数在的最小值为0.
则由任意，，都有成立，
可得在上恒成立，
只需在上恒成立即可.
因为，在上恒成立，所以
因为，所以，，
所以.
由可得，
.
因为单调递增，所以，
即在上恒成立.
因为，
所以，在上恒成立.
因为，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
所以，在上恒成立.
因为在上为减函数，
所以在处取得最大值1，所以，.
综上所述，.
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