2023-2024学年高二（上）数学第二次月考试卷 参考答案
一、二 单、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C B C D B A AC ABD AC ABD
8．【答案】A
x2 y2
【解析】因为 P是焦点为 F1， F2的椭圆 1上的一点，25 16
PQ为 F1PF2的外角平分线，QF1 PQ，
设 F1Q的延长线交 F2P的延长线于点 M，所以 | PM | | PF1 |，
PF1 PF2 2a 10, MF2 PF1 PF2 ，
所以由题意得OQ是△F1F2M的中位线，所以 |OQ | a 5，
所以 Q点的轨迹是以 O为圆心，以 5为半径的圆，
所以当点 Q与 y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离 d 5 4 1.故选：A．
12．【答案】ABD
2
【解析】抛物线 x 2py p 0 上的点 A到抛物线焦点 F距离的最小值为 1，
p
则有 1，解得 p=2，A正确；
2
抛物线的方程为 x2 4y，焦点 F (0,1)，准线 l : y 1，设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，
M ( x对于 B，点 1
x2 , y1 y2 )，由抛物线的定义知， | AF | | BF | y 1 y 1 8，
2 2 1 2
y y 6 y1 y有 1 2 ，所以 M到 x轴距离 2 3，B正确；
2
对于 C， AF ( x1 ,1 y1), FB (x2 , y2 1)，由 AF 2FB得：1 y1 2(y2 1)，即 y1 2y2 3，
又 | AF | 2 | FB |，即 y1 1 2(y 1) y 2y 1
1
2 ，则 1 2 ，解得 y1 2, y2 ，2
于是得 | AB | | AF | | BF | y
9
1 1 y 2 1 ，C不正确；2
对于 D，抛物线 x2 4y中，
当 x=2时， y 1 3，因此点 P 2,3 在抛物线 x2 4y上方，
过点 P作 PP l于 P ，交抛物线于点 Q，连 QF，
过 A作 AA l于 A ，连 AF，AP， PA ，如图，
显然 | AP | | AF | | AP | | AA | | PA | | PP | | PQ | |QP | | PQ | |QF |，当且仅当点 A与 Q重合时取等号，
所以 ( AP AF )min | PP | 4 ，D正确．故选：ABD
三 填空题
13． 8 14.10 15. (3, 4) 16. (1 2 2, 1]
【解析】令 y 3 4x x 2 ，即 y 3 4x x2 ，两边平方得到 (y 3)2 4x x 2 ，
即 (x 2)2 (y 3)2 4 ，又由 y 3 4x x2 ，易知， y 3，
所以曲线 y 3 4x x 2 表示以C(2,3)为圆心， r 2为半径的半圆，如图所示，
b 1
令 y1 x b， 当 y1 x b与圆相切时， 2，
2
得到b 2 2 1（舍去）或b 1 2 2，
当 y1 x b过点 A(4,3)时，b = -1，
又因为方程 x b 3 4x x2 有两个不等的实根，由图知1 2 2 b 1，故答案为：1 2 2 b 1．
四、解答题：
17．【详解】（1） 直线 l与直线m : 2x y 0垂直， 2a 2 0，解得 a 1．--------------4分
（2）当 a 0时，直线 l化为： y 1．不满足题意．--------------6分
a 0 l (0, a 2
a 2
当
时，可得直线 与坐标轴的交点 )，
2
,0
a
．--------------8 分
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a 2 a 2直线 l在两轴上的截距相等， ，解得： a 2．--------------9 分
2 a
该直线的方程为： x y 0， x y 2 0．--------------10分
19．【详解】（1）连接 MC1，MC2（图略），
∵圆 M与圆 C1外切，且圆 M与圆 C2内切，
∴｜MC1｜＝r＋1，｜MC2｜＝r－1，
∴｜MC1｜－｜MC2｜＝2＜｜C1C2｜＝2 ，
∴点 M的轨迹是以 C1（－ ，0），C2（ ，0）为焦点的双曲线的右支，
y2
∴点M的轨迹方程是 x2 1(x 1)．……………………………………6分
2
（2）法一：设被点 B（1，1）平分的弦所在的直线方程为 y＝k（x－1）＋1，
y2
代入双曲线方 x2 1，得（k2－2）x2－2k（k－1）x＋k2－2k＋3＝0，
2
∴Δ＝[－2k（k－1）]2－4（k2－2）（k2－2k＋3）＞0，解得 k＜ ．
设弦的两端点为 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1＋x2＝ ．
∵点 B（1，1）是弦的中点，∴ ＝1，∴k＝2＞ ．
故双曲线上不存在被点 B（1，1）平分的弦．………………………………………………………12分
法二：设双曲线上存在被点 B平分的弦 MN，且点 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
且
由①－②得（x1＋x2）（x1－x2）－ （y1＋y2）·（y1－y2）＝0，
∴kMN＝ ＝2，
∴直线 MN的方程为 y－1＝2（x－1），即 y＝2x－1．
由 消去 y，得 2x2－4x＋3＝0．
又Δ＝－8＜0，∴直线 MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点 B平分的弦．
18．【详解】（1）设圆 M的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为圆 M经过点 A（－1，2），B（6，3），且圆心在直线 x＋y－2＝0上，
依题意有
解得 D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆 M的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝25．………………………………………………………6分
（2）设圆心到直线 l的距离为 d，
则弦长 L＝2 ＝8 ＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为 y－2＝k（x＋2），即 kx－y＋2k＋2＝0，
d＝ ＝3，解得 k＝0，k＝－ ，
所以所求直线 l的方程为 y＝2或 15x＋8y＋14＝0．………………………………………………………12分
20．【详解】（1）法一：取 AC,CD中点O,G，连接DO,BF ,EG,FG ，
AD AC CD， ACD为等边三角形， DO AC ，
平面 ACD 平面 ABC，平面 ACD 平面 ABC AC，DO 平面 ACD，
DO 平面 ABC，又 BE 平面 ABC， DO//BE，
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1
AF 3FC， AO OC AC ， F为OC中点，又G为CD中点，
2
FG 1 //DO， FG DO，
2
DO CD2 CO2 42 22 2 3，∴FG 3，
FG//BE， FG BE， 四边形 BFGE为平行四边形， BF //EG，
EG 平面CDE，BF 平面CDE，
BF //平面CDE .…………………………………………………………………………………………………6分
（2）连接OB， AB BC ， OB AC，又 DO 平面 ABC，
DO, AC,OB两两互相垂直，则以O为坐标原点，OB,OC,OD正方向为 x, y, z轴正方
向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则C 0,2,0 ，D 0,0, 2 3 ， A 0, 2,0 ，E 2,0, 3 ，
CD 0, 2,2 3 ， AD 0,2,2 3 ，DE 2,0, 3 ，
设平面 ADE的法向量 n x, y, z ，
AD n
2 y 2 3z 0
则 ，令 z 2，解得： x 3， y 2 3， n 3, 2 3,2 ，
DE n
2x 3z 0
CD n
cos CD,n 8 3 2 57 ，
CD n 4 19 19
即DC与平面 ADE 2 57所成角的正弦值为 .…………………………………………………………………………12分
19
法二：题（1）也可以利用坐标法，如题（2）建系，得B 2,0,0 ，C 0,2,0 ，D 0,0, 2 3 ，F 0,1,0 ， E 2,0, 3 ，
所以 BF 2,1,0 ，CD 0, 2,2 3 ，CE 2, 2, 3 ，设平面CDE的法向量 n0 x0 , y0 , z0 ，
CD
n 2 y 2 3z 0 3 3
则 ，取 z 3，则 y 3， x ，得 n0 ( ,3, 3)
CE n 2x 2 y 3z 0 2 2
则BF n0 0，所以 BF n，所以 BF //平面CDE .
21.【详解】（1）由题过点 A的切线方程为 y 4 k(x 2)，………………………………………1分
y 4 k(x 2) 2
法一: 联立 ，因为y2 8x x
y
，故消去 x得 ky2 8y 16k 32 0，……………2分
8
由 64 4 k ( 16k 32) 0，…………………………………………………………………3分
整理得： k 2 2k 1 0，解得 k 1，……………………………………………………………4分
所以切线 l的方程为： y x 2 .………………………………………………………………5分
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y k(x 2) 4
法二: ，
y
2 8x
消去 y得 k 2x2 (4k 2 8k 8)x 4(k 2)2 0，………………………………………2分
由 (4k 2 8k 8)2 4 k 2 4(k 2)2 0，得 (k 2 2k 2)2 [k(k 2)]2 0，
即 (k 2 2k 2)2 (k 2 2k) 0，再利用平方差公式得： 2(2k 2 4k 2) 0，即 k 2 2k 1 0，得 k 1，
………………………………………………………………………………………………………………4分
所以切线 l的方程为： y x 2 .…………………………………………………………………………5分
（提醒：利用法二运算的过程中需明确算理，不可盲目运算导致耗时过多。注意式子结构复杂、所含字母较多
时，要明确主元，并根据主元进行降幂排列；在求解方程时，切不可无视方程次数盲目展开，而应先约分化简，并观
察式子结构，利用平方差进行因式分解，以达到降次求解方程的目的。
对比两种直线方程假设的方式，会发现消去字母 x运算较为容易。这是抛物线与另两种圆锥曲线不同之处，因
为抛物线存在一次项。所以不能“惯性”地将直线代入抛物线。
运算是数学的“童子功”，学好解析几何，要过好运算关。而过好这个关，不只是大量题目的重复训练，而在于
面对问题时，注意分析，才能达到减少运算量，提升解题效率。）
y 2 y 2 k
y
2
y1 8
（2）设 B( 1 , y )，C( 21 , y2 )，故直线BC的斜率为
BC y 2 y 2 y y
8 8 2 1 2 18 8
法一：由题可知直线 AB与 AC的斜率均存在，设直线 AB的斜率为 k0，则直线 AC的斜率为 - k0，
设则直线 AB的方程为 y 4 k0 (x 2)，
y 4 k0 (x 2) y2
x x k y2联立 2 ，因为 ，故消去 得 0 8y 16k0 32 0，（类似第（1）的法一，无需重复运算）
y 8x 8
8 8
该方程有两个根为 y1与 4，由韦达定理 y1 4 y 4k ，得 1 k ；0 0
y 8同理可得 2 4k ，所以 y2 y1 8，0
8
所以直线BC的斜率为 kBC 1y y …………………………………………………………………12分2 1
法二：由题可设 AB：m y 4 x 2，即 x my 4m 2，
y2代入抛物线的方程得 8 my 4m 2 ，即 y2 8my 32m 16 0，
则 y1 4 8m，故 y1 8m 4，
所以 x1 my
2 2
1 4m 2 m 8m 4 4m 2 8m 8m 2，即 B 8m 8m 2,8m 4 ，
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{#{QQABDQQUggAgABBAARgCQQlKCEMQkBGCAIoOhFAIoAAAARNABAA=}#}
设 AC： m y 4 x 2，即 x my 4m 2，
同理可得 y2 8m 4，则 x2 my2 4m 2 m 8m 4 4m 2 8m2 8m 2，即C 8m2 8m 2, 8m 4
BC k
y
1
y2 16m
直线 的斜率 BC 1x x ，1 2 16m
所以直线 BC的斜率为定值．……………………………………………………………………………………12分
e c 2＝ ＝ ，
a 2
a＝ 6，
22．（12分）解：(1)由题意得 4 1＋ ＝1， ∴
a2 b2 b＝ 3，
a2＝b2＋c2，
x2 y2
∴椭圆 C的方程为 ＋ ＝1．…………………………………………………………………………………4分
6 3
(2)设直线 AB的方程为 y＝－x＋m，
y＝－x＋m，
x2联立 y
2
＋ ＝1， 得 3x2－4mx＋2m2－6＝0，
6 3
Δ>0，
x1＋x 4m2＝ ，
∴ 3 ……………………………………………………………………………………………………6分
x 2m
2－6
1x2＝ ，
3
∴|AB|＝ 1 4＋（－1）2|x1－x2|＝ 9－m2，…………………………………………………………………………7分
3
|m|
原点到直线的距离 d＝ ．………………………………………………………………………………………………8分
2
S 1 4 |m|∴ △OAB＝ × 9－m2·2 3 2
2 2 9－m2＋m29 m2 m2≤ · 3 2＝ （ － ） ＝ ．…………………………………………………………………………10分
3 3 2 2
3 2
当且仅当 m＝± 时，等号成立，……………………………………………………………………………………11分
2
3 2
∴△AOB面积的最大值为 ．………………………………………………………………………………………12分
2
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{#{QQABDQQUggAgABBAARgCQQlKCEMQkBGCAIoOhFAIoAAAARNABAA=}#}德化县2023-2024学年高二（上）第二次质量检测卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1．两平行直线的距离等于
A． B． C． D．
2．当点在圆上运动时，它与定点的线段的中点的轨迹方程是
A． B． C． D．
3．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为
A． B． C． D．
4．已知向量，且，那么
A． B． C． D．
5．若直线与圆相切，则实数的值为
A．或 B．1或 C．或3 D．或
6．两直线，，则直线关于直线对称的直线方程为
A． B． C． D．
7．已知是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为
A． B． C． D．
8．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为
A．1 B．2 C．4 D．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．直线的倾斜角为120°
B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
C．直线恒过定点
D．直线，，则或0
10．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是
A．的最大值为 B．的最小值为0
C．的最大值为 D．的最大值为
11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
下列说法中不正确的是
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，且的最小值为1，是线段的
中点，是平面内一定点，则
A．
B．若，则到轴距离为3
C．若，则
D．的最小值为4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共
线，则实数k的值为 ．
14．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则
的最小值为 ．
15．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ．
16．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（满分10分）
若直线的方程为．
（1）若直线与直线垂直，求的值；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求该直线的方程．
（满分12分）
已知圆经过点，且 圆心在直线上。
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程．
（满分12分）
设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切．
求圆心的轨迹方程；
（2）问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
（满分12分）
如图，在多面体中，平面，平面平面，，，.
(1)若点在上，且，求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
（满分12分）
已知抛物线：及该抛物线上一点.
过点作抛物线的切线，求该切线的方程；
(2)过点分别作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．
（满分12分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，求面积的最大值．
