武汉市武昌区2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试卷
命题教师： 考试时间：2023年12月13日下午14:00—16:00
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
2．设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（）
A．15 B．1 C． D．
3.设椭圆C:的两个焦点分别为F1,F2，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为（）
A． B． C． D．
4．已知O为坐标原点，F为双曲线的左焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线右支交于点P，线段PF上存在不同的两点A，B满足，且，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
5．对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（）
A．55 B．76 C．110 D．113
6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（）
A．6 B．8 C．12 D．16
7．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列满足：，记，，则数列的前项和是（）
A． B． C． D．
8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为（）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知曲线的方程为（），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，曲线表示椭圆
B．“”是“曲线表示焦点在y轴上的双曲线”的充分必要条件
C．存在实数，使得曲线的离心率为
D．存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线
11．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（）
A．若，则，；
B．若，则使的最大的n为15；
C．若，，则中最大；
D．若，则.
12．已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF
B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为升．
14．若双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是.
已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点（A在轴上方），延长交抛物线的准线于点C，若，则抛物线的方程为.
16．已知圆锥曲线的方程：.当m、n为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点、满足，写出满足题意的所有有序实数对：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本大题10分）数列中，，，
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和．
18．（本大题12分）已知点，圆C：.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)设直线与圆C交于A，B两点，过点的直线垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
19．（本大题12分）设各项均为正数的数列满足（为常数），其中为数列的前n项和.
(1)若，求证：是等差数列；
(2)若，求数列的通项公式.
20．（本大题12分）.设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值．
21．（本大题12分）．如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.
（ⅰ）求证：不可能是钝角；
（ⅱ）是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.
22．（本大题12分）.已知椭圆的右焦点的坐标为，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点、为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足，为的中点，线段的垂直平分线分别交轴、轴于、两点．
（ⅰ）求证：为的中点；
（ⅱ）若（为三角形的面积），求直线的方程．武汉市武昌区2023-2024学年高二上学期12月月考
数学参考答案
一、二选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D D C C C A AC BC ABD AC
三、填空题
13． 14． 15． 16．，，
四、解答题
17．【详解】（1）因为，即，所以数列是等差数列，
所以，.
（2）令得，；
当时，；
当时，
.
综上可得，
18．【详解】（1）∵点，直线l过点P，
∴设直线l的斜率为k（k存在），则方程为.
又题C的圆心为，半径，
由弦长为，故弦心距，由，解得.
所以直线方程为，即.
当l的斜率不存在时，l的方程为，经验证也满足条件.
故l的方程为或.
（2）把直线，即.代入圆C的方程，
消去y，整理得.
由于直线交圆C于A，B两点，
故，即，解得.
设符合条件的实数a存在，由于垂直平分弦AB，故圆心必在上.
所以的斜率，而，所以.
由于，
故不存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦AB.
19．【详解】（1）当时，，当时，，
两式相减，得，整理得，
所以是等差数列.
（2）当时，，令，而，得，解得，
于是，当时，，
两式相减，得，整理得，即，
因此，数列是常数列，从而，，显然满足上式，
所以数列的通项公式是.
20.【详解】
(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
∴解得0
又双曲线的离心率e＝，∴e>且e≠.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．有P(0,1)．
∵，∴(x1，y1－1)＝ (x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，因此由根与系数的关系，得x2＝－， ＝－.
消去x2，得－＝.由a>0，得a＝.
21．【详解】（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，
则，而，
因为动圆过定点且与轴相切，则，
即，化简得，
所以曲线的方程为.
（2）①若直线与轴重合，则直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、、，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
所以，
，
故不可能为钝角；
②假设存在这样的点满足条件，
因为，则线段的中点为，
若，则轴，此时，直线的方程为，联立可得，
则，此时，位于轴上，则，
所以， △ABC为直角三角形，不合乎题意，
所以，，则，可得，
则，
则，
而，
由，可得，解得，
所以，存在点满足条件.
22.（Ⅰ）椭圆的右焦点的坐标为，
，又离心率，
椭圆的方程为；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线方程为，
联立，消去，得，
，
设，，则，
设中点，则，
，即点坐标为），
线段的垂直平分线方程为，
令，得，令，得，
，为中点；
（ⅱ）由（ⅰ）得为中点，
，
，
整理得，即，
又，
整理得，解得或（舍去），
，此时，
直线方程为.
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