上海市奉贤区2022-2023学年高二下册数学期末试卷
一、填空题
1．（2023高二下·奉贤期末）过点的直线的倾斜角为 .（用反三角表示）
2．（2023高二下·奉贤期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 .
3．（2023高二下·奉贤期末）在的展开式中，的系数是 .
4．（2023高二下·奉贤期末）已知，则曲线在处的切线方程为 ．
5．（2023高二下·奉贤期末）若数列中的前n项和（n为正整数），则数列的通项公式 .
6．（2023高二下·奉贤期末）掷一颗骰子并观察出现的点数.已知出现的点数不超过，则出现的点数是奇数的概率是 .
7．（2023高二下·奉贤期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
8．（2023高二下·奉贤期末）若数列的通项公式（n为正整数），的前n项和是，则 .
9．（2023高二下·奉贤期末）设双曲线，以C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2叫做C1的共轭双曲线，通过研究可以得到双曲线C1和它的共轭双曲线C2有很多相同的性质，请写出其中的一个性质： .
10．（2023高二下·奉贤期末）某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为 .
11．（2023高二下·奉贤期末）已知抛物的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为 .
12．（2023高二下·奉贤期末）已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 .
二、单选题
13．（2023高二下·奉贤期末）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（ ）m.
A．1.33 B．1.63 C．1.50 D．1.75
14．（2023高二下·奉贤期末）如果、分别是A、B的对立事件，下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023高二下·奉贤期末）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023高二下·奉贤期末）已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题：
①若数列是“梦想数列”，则常数；
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
三、解答题
17．（2023高二下·奉贤期末）已知在直三棱柱中，是直角.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）设异面直线与所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为.比较和的大小，并说明理由.
18．（2023高二下·奉贤期末）已知数列是严格增的等比数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
19．（2023高二下·奉贤期末）某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
年级名次 是否近视
近视
不近视
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据分布概率表中的数据，能否有的把握认为视力与学习成绩有关系？请说明理由；
（3）在（2）中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望.
附：
.其中.
20．（2023高二下·奉贤期末）已知椭圆，该椭圆与x轴的交点分别是A和B（A在B的左侧），该椭圆的两个焦点分别是F1和F2（F1在F2的左侧），椭圆与y轴的一个交点是P.
（1）若P为椭圆的上顶点，求经过点F1，F2，P三点的圆的方程；
（2）已知点P到过点F2的直线l的距离是1，求直线l的方程；
（3）已知椭圆上有不同的两点M、N，且直线MN不与坐标轴垂直，设直线MA、NB的斜率分别为k1、k2，求证：“”是“直线MN经过定点（1，0）”的充要条件.
21．（2023高二下·奉贤期末）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点”
（1）若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围；
（2）若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值：
（3）若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】.
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由已知可得，，
又因为，所以倾斜角为
故答案为：.
【分析】根据A、B两点坐标求出AB斜率，再根据倾斜角与斜率关系求解即可.
2．【答案】
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：因为点关于平面的对称，
所以对称后的点横坐标与竖坐标不变，纵坐标变为相反数。
即对称点的坐标为（1，2，3）.
故答案为：（1，2，3）.
【分析】点关于面对称问题，需要理解记住“关于谁对称，谁不变，其余变为相反数”即可.
3．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由题可知 的通项公式为
易知当r=3时，有一次项x，其系数为
故答案为：-40.
【分析】本题考查二项式定理，先写出 的通项公式，在根据x项前系数表达式求出系数即可.
4．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由，
所以f(x)在x=0处的斜率为=1
又因为f(x)过（0，0）点，所以 曲线在处的切线方程为
故答案为：y=x.
【分析】本题考查导数几何意义和曲线切线方程，先求出 的导函数，再求出在x=0出的斜率和点，用点斜式求出切线方程即可.
5．【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由已知 数列中的前n项和（n 为正整数） ，S1=a1=-2
所以有
当n=1时代入an=-2=a1，所以
故答案为：.
【分析】(1)根据数列的函数性质写出，再利用，求出an.
(2)注意当n=1时，所求通项公式an是否满足题意.
6．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解： 掷一颗骰子出现的点数不超过的可能情况为1，2，3，4，共4种可能.
其中点数为奇数的情况为1，3，两种可能.
所以出现的点数是奇数的概率为
故答案为：.
【分析】先找出事件包含所有可能情况总数，根据题目找出基本事件所包含可能情况总数，运用古典概型公式求解即可.
7．【答案】0.12
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 已知随机变量服从正态分布 ，根据正态分布函数性质知函数图象关于x=1.5对称.
又因为 ，则.
所以且
则
故答案为：0.12.
【分析】本题考查正态函数图象性质，根据图像关于期望对称特点得函数图象关于x=1.5对称，再结合题目条件 ，利用对称逐步求出P(x<0)的值即可.
8．【答案】
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：根据数列的通项公式 可得数列是以首项公比的等比数列.
则，又因为，所以
故答案为：.
【分析】（1）根据数列的通项公式得出等比数列的前n 项和表达式.
（2）由，求出数列Sn的极限.
9．【答案】和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线性质可得，易知C1的两个焦点坐标分别为.
又因为C2为C1的共轭双曲线，则C2的方程为，.
易知C2的两个焦点坐标分别为.
根据，得四个焦点到原点的距离都相等且为.
所以四个焦点在的圆上.
故答案为： 和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上 .
【分析】（1）根据共轭双曲线的定义写出的方程，分别求出C1，C2的两个焦点坐标.
（2）根据，以及圆的定义即可得到结论.
10．【答案】150
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可将5为同学参加3门课程且每门课程都有人选 选课情况可分为2类；
三门课选修人数为3，1，1类型时，有种
三门课选修人数为2，2，1类型时，有种
则5名同学选课的种数为 60+90=150种
故答案为：150.
【分析】(1)本题考查分类分步计数原理及排列组合，先把完成这件事分为两类，分别为选修人数为3，1，1类型，选修人数为2，2，1类型，再根据排列组合计算即可.
(2)三门课选修人数为2，2，1类型时涉及到平均分配，需要除以A22.
11．【答案】5
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意可作图如下：
易知焦点坐标F（1，0）以及准线方程x=-1
，则有，又因为FO=1，所以PN=4
则P到准线l的距离为 4+1=5
故答案为：5.
【分析】根据抛物线方程 找出焦点坐标（1，0）以及准线方程x=-1，再根据抛物线性质结合题目条件利用三角形相似求解即可.
12．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线(x-e4- 2) +y =1表示圆心为D(e4 +2，0)半径r=1的圆，
则，令f(x) = (x- e4- 2)2+e2x，
则 f'(x)=2(x-e4-2)+2e2x，
令g(x)=f'(x)=2(x-e4-2)+2e2x，
则 g' (x) = 2 + 4e2x > 0，
所以g(x)单调递增，又g (2) = 0，
所以当x < 2时g(x) < 0，即f'(x)< 0，即f(x)在(-∞，2)上单调递减，
当x > 2时g(x) > 0，即f'(x) > 0，即f(x)在(2，+∞)上单调递增，
所以f(x)在x = 2处取得极小值即最小值；
即 f(x)min = f (2) = e8 + e4，所以
≥
所以|PQ|min =|PD|min - r=
故答案为： .
【分析】依题意可得曲线(x -e4-2)2+y =1表示圆心为 D (e4 + 2，0)，半径r =1的圆，由距离公式表示出|PD|，令f(x)=(x-e4-2)2+e2x，利用导数说明函数的最小值，即可求出PD|的最小值，最后由
|PQ|min =|PD|min - r计算可得结果.
13．【答案】B
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：以O为原点，OC为y轴，建立平面直角直角坐标系：
设抛物线的标准方程为，由题意可得B(1，1.5)，代入得1=3p，得p=
故抛物线的标准方程为
设，则 ，
则
所以截面图中水面宽EF的长度约为
0.816x2≈1.63m.
故答案为：B.
【分析】以O为原点，OC为y轴，建立平面直角直角坐标系，利用点B的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果.
14．【答案】A
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A：若 ，
因为，
整理得，
所以 事件A与事件B相互独立 ，故A正确；
对于B：例如 ，则 ，
因为，解得，
不满足，所以事件A与事件B不相互独立，故B错误；
对于C：因为，可得，
不满足，所以事件A与事件B不相互独立，故C错误；
对于D：因为 ，则，
可得，结合选项B可知以事件A与事件B不相互独立，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合概率的性质以及条件概率公式逐项分析判断.
15．【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由条件 ，可得，所以有
故答案为：C.
【分析】根据条件先求出，再代值求出结果即可.
16．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】解：对于①：由题意可得 且，
解得，故①正确；
对于②：因为，
令，可得，即
整理得，即成等差数列，
假设成等比数列，则，解得，
此时公比为1，不合题意，所以不存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”，故②错误；
对于 ③ ：设 数列 的前n项和为，则 ，
令，则，
即，
整理得：，
则，
两式相减得：，
可得，令，
即；
由②可知：成等差数列，即，
所以，
所以“梦想数列”一定是等差数列，故③正确.
故答案为：B.
【分析】对于 ① ：根据题意分析判断；对于 ② ：由，令，分析可得成等差数列，结合等比数列分析判断；对于③：令，，分析可得，结合选项②分析判断.
17．【答案】（1）解：因为平面，平面，，
又因为，，平面，
可得平面，平面，
所以平面⊥平面.
（2）解：因为，且，即为锐角，
.
所以异面直线与所成的角，且，
连接，由（1）可知：，，
且，平面，可得平面，
又因为，则平面，
所以直线A1C与平面BB1C1C所成的角，且，
又因为，则，即，
且在内单调递增，所以.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理结合题目条件得到 平面 后再分析证明.
(2)根据异面直线夹角、线面夹角的定义分别得出 ， 再根据，则，即，且在内单调递增，所以分析求解.
18．【答案】（1）解：设公比为，则，
解得，
又，将代入，解得或，
因为，是严格增的等比数列，所以，
故；
（2）解：因为，所以，
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)设出公比，列出方程组，求出b2=和公比，根据{bn}是严格增的等比数列，舍去不合要求的解，得到通项公式.
(2) 先求出an=5-2n，利用分组求和，等差数列求和公式进行求解.
19．【答案】（1）解：由直方图可知，第一组有人，
第二组有人，
第三组有人，
因为后四组频数成等差数列，设等差数列的公差为，
则，解得，
所以后四组的频数依次为，
所以视力在以下的频率为，
全年级视力在以下的人数为人；
（2）解：由题意，
年级名次 是否近视
近视
不近视
，
因此能有的把握认为视力与学习成绩有关系；
（3）解：由题意，调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取的人，年级年级名次在名和名的学生分别有名和名，可取，
，
，
，
.
的分布列为
的数学期望.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】](1)利用，可求得前3组的人数，由后四组的频数成等差数列，可求后三组的人数，由此得到视力在5.0以下的频率，估计出总体.
(2)将数据代入独立性检验的公式中进行计算，并将结果与3.841比较，可得结论.
(3)利用分层抽样可得年级名次在1~50名和951~1000名的学生的人数，根据超几何分布的概率模型求出分布列和期望.
20．【答案】（1）解：由题意知
因为所求的圆经过点F1，F2，P三点，所以圆心在轴上.设圆心坐标
由得
解得.圆心，此时半径，
所以圆的方程为.
（2）解：当为上顶点时，
若直线的斜率不存在，此时的方程为，满足题意；
若直线的斜率存在，设的方程为，即.
到直线的距离为，解得
此时的方程为.
当为下顶点时，
若直线的斜率不存在，此时的方程为，满足题意；
若直线的斜率存在，设的方程为，即.
到直线的距离为，解得
此时的方程为.
综上所述，当为上顶点时，直线l的方程为或；
当为下顶点时，直线l的方程为或.
（3）证明：充分性
因为直线MN不与坐标轴垂直，设MN的方程为.
设
联立方程组，
整理得
，，
，
将代入上式，整理得
恒成立，
，即直线过定点.充分性得证.
必要性：
因为直线MN不与坐标轴垂直且过点，设MN的方程为.
设，
联立方程组，
整理得
，，
.必要性得证.
所以“”是“直线经过定点”的充要条件.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.
(1)求经过已知三点的圆的方程可以用待定系数法，先所求圆的方程为x2+y +Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，然后代入已知点，解方程组可求解.
(2)求直线的方程，需要讨论直线的斜率是否存在.设直线的方程，利用点到直线的距离公式进行求解.注意点P的位置不确定，解题过程中需要讨论.
(3)证明充要条件，需要分充分性和必要性进行证明.定点定值问题常用设而不求、韦达定理、消元法解决.
21．【答案】（1）解：函数的导函数为，
若函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
又因为，故，即.
（2）解：因为，所以，
若该函数是“2跃点”函数，则方程①有解，
即有解，
由因式分解可得，
当时上述方程成立，因此是方程的一个实数根；
当时，②，
当即时，方程②为，即方程②有两个相等的实数根，
此时方程①的根为，则函数有两个不同的“2跃点”；
当即时，方程②无解，此时方程①的根为，则函数有一个“2跃点”；
当即时，方程②有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“2跃点”，
则其中一个是实数根为，则，解得：.
综上：的值为或.
（3）解：函数，，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，
则方程，即恰有一个实数根，
即，，
令，解得：；令，解得：且，
故函数在和是严格的减函数，在上是严格的增函数.
且，
当趋近于负无穷，趋近于，当趋近于正无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图：
故当时，恰有一个实数根，
即时，恰有一个实数根，
所以b的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，仔细计算，注意解题严谨性.
(1)函数y=sinx-m的导函数y'=cosx，若函数y=sinx-m是“一跃“函数，则方程sin(x0+) -m=(+1)cosx0有解，即-m=cosx0有解，进而可得答案.
(2) 函数y=x3-2x2+ax-12的导函数y'=3x2-4x+a.若该函数是“2跃点“函数，则方程(x+2)3-2 (x+2) +a ( x+2) -12=3 (3x2-4x+a)①有解，进而可得答案.
(3)函数y=ex+bx的导函数为y'=ex+b，若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，即 -b=有一个不同的实数根，即可得出答案.
1 / 1上海市奉贤区2022-2023学年高二下册数学期末试卷
一、填空题
1．（2023高二下·奉贤期末）过点的直线的倾斜角为 .（用反三角表示）
【答案】.
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由已知可得，，
又因为，所以倾斜角为
故答案为：.
【分析】根据A、B两点坐标求出AB斜率，再根据倾斜角与斜率关系求解即可.
2．（2023高二下·奉贤期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 .
【答案】
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：因为点关于平面的对称，
所以对称后的点横坐标与竖坐标不变，纵坐标变为相反数。
即对称点的坐标为（1，2，3）.
故答案为：（1，2，3）.
【分析】点关于面对称问题，需要理解记住“关于谁对称，谁不变，其余变为相反数”即可.
3．（2023高二下·奉贤期末）在的展开式中，的系数是 .
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由题可知 的通项公式为
易知当r=3时，有一次项x，其系数为
故答案为：-40.
【分析】本题考查二项式定理，先写出 的通项公式，在根据x项前系数表达式求出系数即可.
4．（2023高二下·奉贤期末）已知，则曲线在处的切线方程为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由，
所以f(x)在x=0处的斜率为=1
又因为f(x)过（0，0）点，所以 曲线在处的切线方程为
故答案为：y=x.
【分析】本题考查导数几何意义和曲线切线方程，先求出 的导函数，再求出在x=0出的斜率和点，用点斜式求出切线方程即可.
5．（2023高二下·奉贤期末）若数列中的前n项和（n为正整数），则数列的通项公式 .
【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由已知 数列中的前n项和（n 为正整数） ，S1=a1=-2
所以有
当n=1时代入an=-2=a1，所以
故答案为：.
【分析】(1)根据数列的函数性质写出，再利用，求出an.
(2)注意当n=1时，所求通项公式an是否满足题意.
6．（2023高二下·奉贤期末）掷一颗骰子并观察出现的点数.已知出现的点数不超过，则出现的点数是奇数的概率是 .
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解： 掷一颗骰子出现的点数不超过的可能情况为1，2，3，4，共4种可能.
其中点数为奇数的情况为1，3，两种可能.
所以出现的点数是奇数的概率为
故答案为：.
【分析】先找出事件包含所有可能情况总数，根据题目找出基本事件所包含可能情况总数，运用古典概型公式求解即可.
7．（2023高二下·奉贤期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
【答案】0.12
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 已知随机变量服从正态分布 ，根据正态分布函数性质知函数图象关于x=1.5对称.
又因为 ，则.
所以且
则
故答案为：0.12.
【分析】本题考查正态函数图象性质，根据图像关于期望对称特点得函数图象关于x=1.5对称，再结合题目条件 ，利用对称逐步求出P(x<0)的值即可.
8．（2023高二下·奉贤期末）若数列的通项公式（n为正整数），的前n项和是，则 .
【答案】
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：根据数列的通项公式 可得数列是以首项公比的等比数列.
则，又因为，所以
故答案为：.
【分析】（1）根据数列的通项公式得出等比数列的前n 项和表达式.
（2）由，求出数列Sn的极限.
9．（2023高二下·奉贤期末）设双曲线，以C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2叫做C1的共轭双曲线，通过研究可以得到双曲线C1和它的共轭双曲线C2有很多相同的性质，请写出其中的一个性质： .
【答案】和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线性质可得，易知C1的两个焦点坐标分别为.
又因为C2为C1的共轭双曲线，则C2的方程为，.
易知C2的两个焦点坐标分别为.
根据，得四个焦点到原点的距离都相等且为.
所以四个焦点在的圆上.
故答案为： 和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上 .
【分析】（1）根据共轭双曲线的定义写出的方程，分别求出C1，C2的两个焦点坐标.
（2）根据，以及圆的定义即可得到结论.
10．（2023高二下·奉贤期末）某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为 .
【答案】150
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可将5为同学参加3门课程且每门课程都有人选 选课情况可分为2类；
三门课选修人数为3，1，1类型时，有种
三门课选修人数为2，2，1类型时，有种
则5名同学选课的种数为 60+90=150种
故答案为：150.
【分析】(1)本题考查分类分步计数原理及排列组合，先把完成这件事分为两类，分别为选修人数为3，1，1类型，选修人数为2，2，1类型，再根据排列组合计算即可.
(2)三门课选修人数为2，2，1类型时涉及到平均分配，需要除以A22.
11．（2023高二下·奉贤期末）已知抛物的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为 .
【答案】5
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意可作图如下：
易知焦点坐标F（1，0）以及准线方程x=-1
，则有，又因为FO=1，所以PN=4
则P到准线l的距离为 4+1=5
故答案为：5.
【分析】根据抛物线方程 找出焦点坐标（1，0）以及准线方程x=-1，再根据抛物线性质结合题目条件利用三角形相似求解即可.
12．（2023高二下·奉贤期末）已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 .
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线(x-e4- 2) +y =1表示圆心为D(e4 +2，0)半径r=1的圆，
则，令f(x) = (x- e4- 2)2+e2x，
则 f'(x)=2(x-e4-2)+2e2x，
令g(x)=f'(x)=2(x-e4-2)+2e2x，
则 g' (x) = 2 + 4e2x > 0，
所以g(x)单调递增，又g (2) = 0，
所以当x < 2时g(x) < 0，即f'(x)< 0，即f(x)在(-∞，2)上单调递减，
当x > 2时g(x) > 0，即f'(x) > 0，即f(x)在(2，+∞)上单调递增，
所以f(x)在x = 2处取得极小值即最小值；
即 f(x)min = f (2) = e8 + e4，所以
≥
所以|PQ|min =|PD|min - r=
故答案为： .
【分析】依题意可得曲线(x -e4-2)2+y =1表示圆心为 D (e4 + 2，0)，半径r =1的圆，由距离公式表示出|PD|，令f(x)=(x-e4-2)2+e2x，利用导数说明函数的最小值，即可求出PD|的最小值，最后由
|PQ|min =|PD|min - r计算可得结果.
二、单选题
13．（2023高二下·奉贤期末）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（ ）m.
A．1.33 B．1.63 C．1.50 D．1.75
【答案】B
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：以O为原点，OC为y轴，建立平面直角直角坐标系：
设抛物线的标准方程为，由题意可得B(1，1.5)，代入得1=3p，得p=
故抛物线的标准方程为
设，则 ，
则
所以截面图中水面宽EF的长度约为
0.816x2≈1.63m.
故答案为：B.
【分析】以O为原点，OC为y轴，建立平面直角直角坐标系，利用点B的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果.
14．（2023高二下·奉贤期末）如果、分别是A、B的对立事件，下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A：若 ，
因为，
整理得，
所以 事件A与事件B相互独立 ，故A正确；
对于B：例如 ，则 ，
因为，解得，
不满足，所以事件A与事件B不相互独立，故B错误；
对于C：因为，可得，
不满足，所以事件A与事件B不相互独立，故C错误；
对于D：因为 ，则，
可得，结合选项B可知以事件A与事件B不相互独立，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合概率的性质以及条件概率公式逐项分析判断.
15．（2023高二下·奉贤期末）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由条件 ，可得，所以有
故答案为：C.
【分析】根据条件先求出，再代值求出结果即可.
16．（2023高二下·奉贤期末）已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题：
①若数列是“梦想数列”，则常数；
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】解：对于①：由题意可得 且，
解得，故①正确；
对于②：因为，
令，可得，即
整理得，即成等差数列，
假设成等比数列，则，解得，
此时公比为1，不合题意，所以不存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”，故②错误；
对于 ③ ：设 数列 的前n项和为，则 ，
令，则，
即，
整理得：，
则，
两式相减得：，
可得，令，
即；
由②可知：成等差数列，即，
所以，
所以“梦想数列”一定是等差数列，故③正确.
故答案为：B.
【分析】对于 ① ：根据题意分析判断；对于 ② ：由，令，分析可得成等差数列，结合等比数列分析判断；对于③：令，，分析可得，结合选项②分析判断.
三、解答题
17．（2023高二下·奉贤期末）已知在直三棱柱中，是直角.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）设异面直线与所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为.比较和的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：因为平面，平面，，
又因为，，平面，
可得平面，平面，
所以平面⊥平面.
（2）解：因为，且，即为锐角，
.
所以异面直线与所成的角，且，
连接，由（1）可知：，，
且，平面，可得平面，
又因为，则平面，
所以直线A1C与平面BB1C1C所成的角，且，
又因为，则，即，
且在内单调递增，所以.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理结合题目条件得到 平面 后再分析证明.
(2)根据异面直线夹角、线面夹角的定义分别得出 ， 再根据，则，即，且在内单调递增，所以分析求解.
18．（2023高二下·奉贤期末）已知数列是严格增的等比数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）解：设公比为，则，
解得，
又，将代入，解得或，
因为，是严格增的等比数列，所以，
故；
（2）解：因为，所以，
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)设出公比，列出方程组，求出b2=和公比，根据{bn}是严格增的等比数列，舍去不合要求的解，得到通项公式.
(2) 先求出an=5-2n，利用分组求和，等差数列求和公式进行求解.
19．（2023高二下·奉贤期末）某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
年级名次 是否近视
近视
不近视
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据分布概率表中的数据，能否有的把握认为视力与学习成绩有关系？请说明理由；
（3）在（2）中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望.
附：
.其中.
【答案】（1）解：由直方图可知，第一组有人，
第二组有人，
第三组有人，
因为后四组频数成等差数列，设等差数列的公差为，
则，解得，
所以后四组的频数依次为，
所以视力在以下的频率为，
全年级视力在以下的人数为人；
（2）解：由题意，
年级名次 是否近视
近视
不近视
，
因此能有的把握认为视力与学习成绩有关系；
（3）解：由题意，调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取的人，年级年级名次在名和名的学生分别有名和名，可取，
，
，
，
.
的分布列为
的数学期望.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】](1)利用，可求得前3组的人数，由后四组的频数成等差数列，可求后三组的人数，由此得到视力在5.0以下的频率，估计出总体.
(2)将数据代入独立性检验的公式中进行计算，并将结果与3.841比较，可得结论.
(3)利用分层抽样可得年级名次在1~50名和951~1000名的学生的人数，根据超几何分布的概率模型求出分布列和期望.
20．（2023高二下·奉贤期末）已知椭圆，该椭圆与x轴的交点分别是A和B（A在B的左侧），该椭圆的两个焦点分别是F1和F2（F1在F2的左侧），椭圆与y轴的一个交点是P.
（1）若P为椭圆的上顶点，求经过点F1，F2，P三点的圆的方程；
（2）已知点P到过点F2的直线l的距离是1，求直线l的方程；
（3）已知椭圆上有不同的两点M、N，且直线MN不与坐标轴垂直，设直线MA、NB的斜率分别为k1、k2，求证：“”是“直线MN经过定点（1，0）”的充要条件.
【答案】（1）解：由题意知
因为所求的圆经过点F1，F2，P三点，所以圆心在轴上.设圆心坐标
由得
解得.圆心，此时半径，
所以圆的方程为.
（2）解：当为上顶点时，
若直线的斜率不存在，此时的方程为，满足题意；
若直线的斜率存在，设的方程为，即.
到直线的距离为，解得
此时的方程为.
当为下顶点时，
若直线的斜率不存在，此时的方程为，满足题意；
若直线的斜率存在，设的方程为，即.
到直线的距离为，解得
此时的方程为.
综上所述，当为上顶点时，直线l的方程为或；
当为下顶点时，直线l的方程为或.
（3）证明：充分性
因为直线MN不与坐标轴垂直，设MN的方程为.
设
联立方程组，
整理得
，，
，
将代入上式，整理得
恒成立，
，即直线过定点.充分性得证.
必要性：
因为直线MN不与坐标轴垂直且过点，设MN的方程为.
设，
联立方程组，
整理得
，，
.必要性得证.
所以“”是“直线经过定点”的充要条件.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.
(1)求经过已知三点的圆的方程可以用待定系数法，先所求圆的方程为x2+y +Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，然后代入已知点，解方程组可求解.
(2)求直线的方程，需要讨论直线的斜率是否存在.设直线的方程，利用点到直线的距离公式进行求解.注意点P的位置不确定，解题过程中需要讨论.
(3)证明充要条件，需要分充分性和必要性进行证明.定点定值问题常用设而不求、韦达定理、消元法解决.
21．（2023高二下·奉贤期末）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点”
（1）若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围；
（2）若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值：
（3）若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.
【答案】（1）解：函数的导函数为，
若函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
又因为，故，即.
（2）解：因为，所以，
若该函数是“2跃点”函数，则方程①有解，
即有解，
由因式分解可得，
当时上述方程成立，因此是方程的一个实数根；
当时，②，
当即时，方程②为，即方程②有两个相等的实数根，
此时方程①的根为，则函数有两个不同的“2跃点”；
当即时，方程②无解，此时方程①的根为，则函数有一个“2跃点”；
当即时，方程②有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“2跃点”，
则其中一个是实数根为，则，解得：.
综上：的值为或.
（3）解：函数，，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，
则方程，即恰有一个实数根，
即，，
令，解得：；令，解得：且，
故函数在和是严格的减函数，在上是严格的增函数.
且，
当趋近于负无穷，趋近于，当趋近于正无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图：
故当时，恰有一个实数根，
即时，恰有一个实数根，
所以b的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，仔细计算，注意解题严谨性.
(1)函数y=sinx-m的导函数y'=cosx，若函数y=sinx-m是“一跃“函数，则方程sin(x0+) -m=(+1)cosx0有解，即-m=cosx0有解，进而可得答案.
(2) 函数y=x3-2x2+ax-12的导函数y'=3x2-4x+a.若该函数是“2跃点“函数，则方程(x+2)3-2 (x+2) +a ( x+2) -12=3 (3x2-4x+a)①有解，进而可得答案.
(3)函数y=ex+bx的导函数为y'=ex+b，若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，即 -b=有一个不同的实数根，即可得出答案.
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