北京市丰台区2024届高三上学期期中练习数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由已知，得，所以.
故答案为：D.
【分析】化简，根据交集的定义计算即可得解.
2．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】对于选项A，指数函数非奇非偶函数，故A错误；
对于选项B，函数是偶函数，故B错误；
对于选项C，函数既是奇函数又在定义域上单调递增，故C正确 ；
对于选项D，正切函数在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】 根据函数的奇偶性和单调性，逐项判断即可.
3．在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】根据复数的四则运算化简，已知复数所对应的点在第二象限，所以且，解得，结合选项，所以实数的值可以为3.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的四则运算化简，利用复数的几何意义可得到关于的不等式组，计算求解，逐项判断即可.
4．已知平面向量满足，，且，则（ ）
A．12 B．4 C． D．2
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ，，且，所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量数量积与模长关系计算即可.
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】已知，由正弦定理得，因为，所以，所以，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理得，结合三角函数和差公式推得，从而得到.
6．数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】已知数列满足， 所以，，，，所以是以4为周期的周期函数，所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意，得到，，，，所以数列是以4为周期的周期函数，然后根据周期性求得.
7．设定义在上的函数，其导函数为，则“函数在上单调递增”是“时，导函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】函数在上单调递增，则，如，，函数单调递增，故充分性不成立；当时，，可得函数在区间上单调递增，故必要性成立，故函数在上单调递增是时，导函数的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分、必要条件判断即可.
8．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数的最大值为，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意得，则
，，因为，所以，所以，结合选项逐项判断即可.
故答案为：D.
【分析】根据图象的平移变换得到，然后根据三角函数的恒等变换整理得到，最后根据三角函数的性质求最值，即可得.
9．分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（ ）（参考数据：）
A．8.686 B．4.343 C．0.8686 D．0.115
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】已知 ，，，
所以，令，则，
所以.
故答案为：A.
【分析】结合题意得到，再利用换元法令，最后结合换底公式求解即可.
10．如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】连接，因为为的中点，所以，两式平方相减可得，因为为圆的半径，为定值，故当取得最小时，取最小值，
取的中点，则，此时取得最小值，故B正确；因为BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，所以E为AC的中点，故EP是的中位线，故，因为，所以，所以不垂直，故A错误；由中位线可知，所以不平行，故C错误；由中位线可知，所以不平行，故D错误.
故答案为：B.
【分析】连接，，因为为圆的半径，为定值，故当取得最小时，最小，为的中点时，则，此时取得最小值，在结合中位线及圆的性质逐项判断即可.
二、填空题
11．函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得，解得且，所以函数的定义域为.
故答案为：
【分析】要使函数有意义，则满足，计算求解即可.
12．已知平面向量，若与共线，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】 平面向量，可得 ，，由已知与共线可得，解得.
故答案为：-1
【分析】根据向量的线性运算的坐标表示可得，，根据向量共线定理，计算求解即可.
13．能说明命题“对于任意，”为假命题的一组整数的值依次为 ．（表示实数中的最大值）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】，且时，，而，两式不相等，不妨取.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据题意找到反例即可.
14．已知函数其中．
（1）当时，函数的单调递增区间为 ；
（2）若函数的值域为，存在实数，则的取值范围为 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】当时，函数，函数图象如图所示：
由图象可知函数的单调递增区间为；
当时，函数的值域为，若函数的值域为，存在实数，则函数的值域不为，即使函数的值域为的真子集即可，利用二次函数的性质可知当时，函数的值为0，所以根据函数的图象可知，即a的取值范围为.
故答案为：；.
【分析】当时画出函数的图象，由图象可得函数的单调区间；利用但比例函数的性质可知在时的值域为，因此只需函数的值域为的真子集即可满足题意，从而可得实数a的取值范围.
15．已知数列满足，则
① 当时，存在，使得；
② 当时，为递增数列，且恒成立；
③ 存在，使得中既有最大值，又有最小值；
④ 对任意的，存在，当时，恒成立．
其中，正确结论的序号有 ．
【答案】②③④
【知识点】数列的应用；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】由两边同时平方可得，设，即，则，所以，当时，数列是以-3为首项，为公比的等比数列，所以，则，若，无解，故①错误；当时，数列是以-3为首项，为公比的等比数列，所以，则，因为，所以，又因为，所以，故数列为递增数列，且，故②正确；当时，，此时数列的最大值为2，最小值为-2，所以存在，使得中既有最大值，又有最小值，故③正确；由①可知，当时，，满足条件，当时，，当时，，又，所以，故 存在，当时，恒成立，故④正确.
故答案为：②③④.
【分析】先将变形可得，求得，令，无解判断①；根据①两式作差即可判断②；通过举例子即可判断③；分和判断④即可.
三、问答题
16．在中，，，．
（1）求的面积；
（2）求及的值．
【答案】（1）因为在中，，，
结合平方关系，可知，
从而由三角形面积公式，可知的面积为.
（2）因为在中，，，，
所以由余弦定理有，
又，所以解得，
由（1）可知，
所以由正弦定理有，即，
解得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由同角三角函数的基本关系，可知，然后根据三角形面积公式，计算求解即可；
（2）在中，由余弦定理算出，然后由正弦定理求得.
17．在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，．
（1）求和；
（2）设，记，求．
【答案】（1）依题意，，设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得（负值舍去），
所以，.
（2）由（1）得，
所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）依题意，，设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式与前项和公式，得，代入公计算求解即可；
（2）由（1）得，从而利用等差数列的前项和公式求解即可.
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求实数的值及函数的单调区间．
【答案】（1）当时，，
所以，.
根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率，
又，
所以，曲线在处的切线方程为.
（2）因为，
又在处取得极值，
所以，，
即，解得.
经检验可得，在处取得极大值，满足题意.
所以，.
因为，所以恒成立.
作出的函数图象
由图象可知，在一个周期上，
当时，有，此时有.
所以，当时，由可得，，
所以，在每个区间上单调递增；
由图象可知，在一个周期上，
当时，有，此时有.
所以，当时，由可得，，
所以，在每个区间上单调递减.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）当时，，，然后根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可得出答案；
（2）因为， 在处取得极值， 所以，求出，所以，根据导函数结合余弦函数的图象，即可得出函数的单调区间.
19．设函数，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知．
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为；
条件③：函数的图象的一条对称轴为．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最小值．
【答案】（1），
若选①，
，即，
所以，解得，
又注意到，
所以只能，此时函数的解析式为；
若选②，
因为函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，
所以函数的半个周期就是，
即，解得，满足题意，
所以此时函数的解析式为；
若选③，
因为函数的图象的一条对称轴为，
所以，解得，
又注意到，
所以只能，此时函数的解析式为；
综上，从条件①、条件②、条件③中随便选取一个作为已知，函数的解析式均为.
（2）由（1）可知，总有，
当时，有，
因为函数在单调递增，在单调递减，
所以在区间上的最小值为.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）先化简函数解析式得，若选择条件①，将点代入解析式即可求得的值，从而得函数的解析式；若选择条件②，由条件可得函数的半个周期为，利用周期计算公式即可求得函数的解析式；选择条件③，根据条件可得，结合可得的值，从而求得函数的解析式；
（2）由（1）函数的解析式为，通过换元法结合正弦函数的单调性求解即可.
20．已知函数，．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的值．
【答案】（1）当时，函数，
易知，，，
当，，当，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故最大值为.
（2）令
则，
当时，由，即，得到，显然不合题意，故，
由，得到，故
当时，时，，时，，
即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
由（1）知当时，恒成立，即恒成立，
当时，时，，时，，
即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
当，恒成立，即在区间上单调递增，
又，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
综上所述，实数的值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）当时，函数，当时，函数的导函数为，利用导数判断函数的单调性，从而求得函数的最值；
（2）令，求导，分，，，分情况讨论，求出相应的单调区间，再结合题设条件即可求出实数k的取值范围.
21．对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，其中，且数表满足以下两个条件：
①；
②，规定．
（1）已知数表中，，．写出，，的值；
（2）若，其中表示数集中最大的数．规定．证明：；
（3）证明：存在，对于任意，有．
【答案】（1），
，
；
（2）令
由题意，
所以一定有，即，
所以，所以；
（3）由题意，对任意均有，且类似于（2），令
，其中，
而时，有
，
有，
所以当时，可推出，
所以，
假设，则有
，即，
所以，
由于，符合的取值，这样的递推存在，
所以，使得任意的均有
，
即，即.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）根据条件直接写答案即可；
（2）令，根据题意可得，得到的不等式即可证明；
（3）由题意，对任意均有，且类似于（2），令
，其中，从数表中的某一行，找满足该行的每一数都小于等于0即可.
1 / 1北京市丰台区2024届高三上学期期中练习数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．已知平面向量满足，，且，则（ ）
A．12 B．4 C． D．2
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．设定义在上的函数，其导函数为，则“函数在上单调递增”是“时，导函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数的最大值为，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
9．分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（ ）（参考数据：）
A．8.686 B．4.343 C．0.8686 D．0.115
10．如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数的定义域为 ．
12．已知平面向量，若与共线，则的值为 ．
13．能说明命题“对于任意，”为假命题的一组整数的值依次为 ．（表示实数中的最大值）
14．已知函数其中．
（1）当时，函数的单调递增区间为 ；
（2）若函数的值域为，存在实数，则的取值范围为 ．
15．已知数列满足，则
① 当时，存在，使得；
② 当时，为递增数列，且恒成立；
③ 存在，使得中既有最大值，又有最小值；
④ 对任意的，存在，当时，恒成立．
其中，正确结论的序号有 ．
三、问答题
16．在中，，，．
（1）求的面积；
（2）求及的值．
17．在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，．
（1）求和；
（2）设，记，求．
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求实数的值及函数的单调区间．
19．设函数，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知．
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为；
条件③：函数的图象的一条对称轴为．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最小值．
20．已知函数，．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的值．
21．对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，其中，且数表满足以下两个条件：
①；
②，规定．
（1）已知数表中，，．写出，，的值；
（2）若，其中表示数集中最大的数．规定．证明：；
（3）证明：存在，对于任意，有．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由已知，得，所以.
故答案为：D.
【分析】化简，根据交集的定义计算即可得解.
2．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】对于选项A，指数函数非奇非偶函数，故A错误；
对于选项B，函数是偶函数，故B错误；
对于选项C，函数既是奇函数又在定义域上单调递增，故C正确 ；
对于选项D，正切函数在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】 根据函数的奇偶性和单调性，逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】根据复数的四则运算化简，已知复数所对应的点在第二象限，所以且，解得，结合选项，所以实数的值可以为3.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的四则运算化简，利用复数的几何意义可得到关于的不等式组，计算求解，逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ，，且，所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量数量积与模长关系计算即可.
5．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】已知，由正弦定理得，因为，所以，所以，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理得，结合三角函数和差公式推得，从而得到.
6．【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】已知数列满足， 所以，，，，所以是以4为周期的周期函数，所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意，得到，，，，所以数列是以4为周期的周期函数，然后根据周期性求得.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】函数在上单调递增，则，如，，函数单调递增，故充分性不成立；当时，，可得函数在区间上单调递增，故必要性成立，故函数在上单调递增是时，导函数的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分、必要条件判断即可.
8．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意得，则
，，因为，所以，所以，结合选项逐项判断即可.
故答案为：D.
【分析】根据图象的平移变换得到，然后根据三角函数的恒等变换整理得到，最后根据三角函数的性质求最值，即可得.
9．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】已知 ，，，
所以，令，则，
所以.
故答案为：A.
【分析】结合题意得到，再利用换元法令，最后结合换底公式求解即可.
10．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】连接，因为为的中点，所以，两式平方相减可得，因为为圆的半径，为定值，故当取得最小时，取最小值，
取的中点，则，此时取得最小值，故B正确；因为BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，所以E为AC的中点，故EP是的中位线，故，因为，所以，所以不垂直，故A错误；由中位线可知，所以不平行，故C错误；由中位线可知，所以不平行，故D错误.
故答案为：B.
【分析】连接，，因为为圆的半径，为定值，故当取得最小时，最小，为的中点时，则，此时取得最小值，在结合中位线及圆的性质逐项判断即可.
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得，解得且，所以函数的定义域为.
故答案为：
【分析】要使函数有意义，则满足，计算求解即可.
12．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】 平面向量，可得 ，，由已知与共线可得，解得.
故答案为：-1
【分析】根据向量的线性运算的坐标表示可得，，根据向量共线定理，计算求解即可.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】，且时，，而，两式不相等，不妨取.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据题意找到反例即可.
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】当时，函数，函数图象如图所示：
由图象可知函数的单调递增区间为；
当时，函数的值域为，若函数的值域为，存在实数，则函数的值域不为，即使函数的值域为的真子集即可，利用二次函数的性质可知当时，函数的值为0，所以根据函数的图象可知，即a的取值范围为.
故答案为：；.
【分析】当时画出函数的图象，由图象可得函数的单调区间；利用但比例函数的性质可知在时的值域为，因此只需函数的值域为的真子集即可满足题意，从而可得实数a的取值范围.
15．【答案】②③④
【知识点】数列的应用；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】由两边同时平方可得，设，即，则，所以，当时，数列是以-3为首项，为公比的等比数列，所以，则，若，无解，故①错误；当时，数列是以-3为首项，为公比的等比数列，所以，则，因为，所以，又因为，所以，故数列为递增数列，且，故②正确；当时，，此时数列的最大值为2，最小值为-2，所以存在，使得中既有最大值，又有最小值，故③正确；由①可知，当时，，满足条件，当时，，当时，，又，所以，故 存在，当时，恒成立，故④正确.
故答案为：②③④.
【分析】先将变形可得，求得，令，无解判断①；根据①两式作差即可判断②；通过举例子即可判断③；分和判断④即可.
16．【答案】（1）因为在中，，，
结合平方关系，可知，
从而由三角形面积公式，可知的面积为.
（2）因为在中，，，，
所以由余弦定理有，
又，所以解得，
由（1）可知，
所以由正弦定理有，即，
解得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由同角三角函数的基本关系，可知，然后根据三角形面积公式，计算求解即可；
（2）在中，由余弦定理算出，然后由正弦定理求得.
17．【答案】（1）依题意，，设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得（负值舍去），
所以，.
（2）由（1）得，
所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）依题意，，设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式与前项和公式，得，代入公计算求解即可；
（2）由（1）得，从而利用等差数列的前项和公式求解即可.
18．【答案】（1）当时，，
所以，.
根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率，
又，
所以，曲线在处的切线方程为.
（2）因为，
又在处取得极值，
所以，，
即，解得.
经检验可得，在处取得极大值，满足题意.
所以，.
因为，所以恒成立.
作出的函数图象
由图象可知，在一个周期上，
当时，有，此时有.
所以，当时，由可得，，
所以，在每个区间上单调递增；
由图象可知，在一个周期上，
当时，有，此时有.
所以，当时，由可得，，
所以，在每个区间上单调递减.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）当时，，，然后根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可得出答案；
（2）因为， 在处取得极值， 所以，求出，所以，根据导函数结合余弦函数的图象，即可得出函数的单调区间.
19．【答案】（1），
若选①，
，即，
所以，解得，
又注意到，
所以只能，此时函数的解析式为；
若选②，
因为函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，
所以函数的半个周期就是，
即，解得，满足题意，
所以此时函数的解析式为；
若选③，
因为函数的图象的一条对称轴为，
所以，解得，
又注意到，
所以只能，此时函数的解析式为；
综上，从条件①、条件②、条件③中随便选取一个作为已知，函数的解析式均为.
（2）由（1）可知，总有，
当时，有，
因为函数在单调递增，在单调递减，
所以在区间上的最小值为.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）先化简函数解析式得，若选择条件①，将点代入解析式即可求得的值，从而得函数的解析式；若选择条件②，由条件可得函数的半个周期为，利用周期计算公式即可求得函数的解析式；选择条件③，根据条件可得，结合可得的值，从而求得函数的解析式；
（2）由（1）函数的解析式为，通过换元法结合正弦函数的单调性求解即可.
20．【答案】（1）当时，函数，
易知，，，
当，，当，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故最大值为.
（2）令
则，
当时，由，即，得到，显然不合题意，故，
由，得到，故
当时，时，，时，，
即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
由（1）知当时，恒成立，即恒成立，
当时，时，，时，，
即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
当，恒成立，即在区间上单调递增，
又，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
综上所述，实数的值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）当时，函数，当时，函数的导函数为，利用导数判断函数的单调性，从而求得函数的最值；
（2）令，求导，分，，，分情况讨论，求出相应的单调区间，再结合题设条件即可求出实数k的取值范围.
21．【答案】（1），
，
；
（2）令
由题意，
所以一定有，即，
所以，所以；
（3）由题意，对任意均有，且类似于（2），令
，其中，
而时，有
，
有，
所以当时，可推出，
所以，
假设，则有
，即，
所以，
由于，符合的取值，这样的递推存在，
所以，使得任意的均有
，
即，即.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）根据条件直接写答案即可；
（2）令，根据题意可得，得到的不等式即可证明；
（3）由题意，对任意均有，且类似于（2），令
，其中，从数表中的某一行，找满足该行的每一数都小于等于0即可.
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