天津市五校联考2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）
1．已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：∵直线经过点，，
∴直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】由直线经过点，，可求出直线的斜率，再根据斜率的定义得到直线的倾斜角.
2．直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．1或 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线平行，
∴，即，
故答案为：D.
【分析】根据直线与直线平行，即可求出.
3．已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：∵，，
∴AB的中点坐标为，
∴由直线的两点式得，即，
故答案为：C.
【分析】先求出AB的中点坐标，即可由两点式求得AB边上的中线所在直线的方程.
4．（2019高二上·邗江期中）“4＜k＜10”是“方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴ ，解得：7＜k＜10，
故“4＜k＜10”是“方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故答案为：B
【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可.
5．已知直线过点和点Q(2，2，0)，则点到的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴点到的距离，
故答案为：C.
【分析】先由点和点求出和，再求出和，即可求出点到的距离.
6．从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设点关于直线的对称点为，则有，解得，
∴，
∵点在反射光线上，而反射光线恰好经过点，
∴，即反射光线所在直线的斜率为-3，
故答案为：A.
【分析】由和直线，可以求出点关于直线的对称点坐标，又因为对称点坐标在反射光线上，而反射光线恰好经过点，即可求出反射光线所在直线的斜率.
7．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：设椭圆C 的标准方程的为，
∵过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，
∴可将带入椭圆方程得，即，
∴，
又∵，
∴，
∴椭圆C 的标准方程的为，
故答案为：B.
【分析】设椭圆C 的标准方程的为，由过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点可求得A，B两点纵坐标，即可求出椭圆方程.
8．已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，则有 ，即，
∵，且，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∵恒成立，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】设，，可以求出的最大值，借助恒成立，则可以得到椭圆C的离心率e的取值范围.
9．若圆上有两个动点A，B，满足，点M在直线2x+y-5=0上动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两向量的和或差的模的最值；轨迹方程
【解析】【解答】解：
记AB中点为N，则有ON⊥AB，
∵，
∴圆心到直线AB的距离d具有如下关系：，即，
∴点N的轨迹方程为 ，即是以为圆心，以为半径的圆，
∴由点到直线的距离公式可知，圆心到直线2x+y-5=0的距离为，
∵点M在直线2x+y-5=0上动 ，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】首先由 ，得到中点的轨迹方程，再将 的最小值问题转换成圆上一点到直线2x+y-5=0距离的最小值问题.
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）
10．设，向量，且，则 .
【答案】3
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】由可算出和，即可求出 和.
11．设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围 .
【答案】
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴如图所示即可得到，直线l的斜率k的取值范围为，
故答案为：.
【分析】首先画出图像，然后计算斜率和，即可由图像观察出直线l的斜率k的取值范围.
12．若过点的直线和圆交于两点，若弦长，则直线的方程为 .
【答案】x=-2或3x+4y+2=0
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的方程为，
∴圆心，半径，
设到直线的距离为d，
∵弦长，
∴，
∴，
①直线的斜率不存在时，直线即为，而，此时直线的方程为；
①直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，即，而，解得，符合题意，此时直线的方程为，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：x=-2或3x+4y+2=0.
【分析】首先根据垂径定理可以求出d，然后就可以利用点到直线的距离公式讨论斜率是否存在，即可得出直线方程.
13．已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为 .
【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：∵圆：和圆：，
∴两圆方程相减得，即，
∵点在两圆的公共弦上，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴点 的坐标为，
∵，
∴点在两圆的公共弦上，符合题意，
故答案为：8.
【分析】首先把两圆方程：和：相减得到公共弦方程，然后代入点的坐标，再利用基本不等式得到最小值，而当等号成立时点即在公共弦上.
14．在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义；余弦定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴由余弦定理可得，
∴，
∵以为焦点的椭圆经过点，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】由，可以求出的三边长度，再根据椭圆的定义，即可求出该椭圆的离心率.
15．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为 .
【答案】6
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵△ 的外接圆面积为 ，
∴由圆的面积公式可以得到△ 的外接圆半径为，
设，显然，
∵△是以为底边的等腰三角形 ，
∴，
∴，
∴，
不妨设点P位于x轴的下方，
∴或，
由点差法有：，
∴或(舍去），
∵为椭圆的右焦点 ，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即 椭圆的长轴长为 2.
故答案为：6.
【分析】由 △ 的外接圆面积，可以求出外接圆半径，设，利用正弦定理可以求出的取值，进而可以求出和，最后再根据点差法即可得到椭圆方程.
三、解答题
16．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
（1）求圆心为的圆的标准方程；
（2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
（3）若过点作圆的切线，求该切线方程．
【答案】（1）解：设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以解得：-
所以圆的标准方程为.
（2）解：因为圆到直线的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
（3）解：当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为5
根据点到直线的距离公式得：，解得.-
所以直线方程为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)设出圆的标准方程，代入两点坐标和，并利用圆心在直线上，即可得到圆的标准方程；
(2)利用点到直线的距离判断出直线与圆的位置关系，从而求出 的最小值 ；
(3)利用点到直线的距离公式即可求出直线方程.
17．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）解：证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
易知平面的一个法向量为，故，
则，
又平面，故平面．
（2）解：易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
且，，
则，令，则，，，-
设平面与平面夹角为，易知为锐角，
所以，即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：设平面的法向量为，且，
则，令，则，，故，
设点到平面距离为，．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
(1)写出以及平面法向量的坐标表达式，即可通过向量运算证明 平面 ；
(2)写出平面与平面法向量的坐标表达式，即可通过法向量夹角的余弦值判断出两平面夹角的余弦值；
(3)写出平面法向量的坐标表达式，即可利用点到平面的距离公式求出点到平面的距离.
18．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心 椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求实数的值及的面积.
【答案】（1）解：由题意知离心率，所以，即.
以原点为圆心 椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有，
所以，故椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为
由，消去得，
∴，-
-
，解得.
∴，-
所以，
点到直线的距离，
所以的面积
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)由离心率为可以求出和，即可得到椭圆方程；
(2)设出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，再结合，即可求出k，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式可以得到的底和高，进而求得的面积.
19．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．
【答案】（1）解：证明：平面平面，平面平面，平面，，
直线平面，
由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
依题意易得是平面的一个法向量，
又，，
又直线平面，平面 ；
（2）解：，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令可得，
设为平面的一个法向量，
则，即，令可得，
，二面角的正弦值为；
（3）解：设，则，又，
，即，
，解得或（舍去）．
故所求线段的长为．
【知识点】直线与平面平行的性质；异面直线；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)首先证明直线平面，然后以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，找到平面的一个法向量，即可由证明平面；
(2)分别求出平面和平面的法向量和，即可由得到二面角的正弦值；
(3)设，则由即可求得h.
20．如图，已知椭圆G：的左、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围．
【答案】（1）解：令椭圆G的半焦距为c，因，且正的周长为6，则，解得，，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：显然直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：，点、，则，
由消去x并整理得：，
则，，
由（1）知，，假定存在实数k使，则直线的斜率满足，
而
，
解得，与矛盾，
所以不存在实数k使成立.
（3）解：显然直线MN不垂直于y轴，由（2）得直线MN：，，
由（2）得，设，
有，于是得
因此有，，
，
显然，当且仅当时取等号，
因此，解得，
则，
所以的取值范围是.1
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由 为正三角形且周长为6，则可根据椭圆的性质求出，进而得到椭圆方程；
(2)设直线方程MN：，联立方程组，根据韦达定理得到和，先假设存在实数k使成立，再由，即可求出m的值并推导出矛盾；
(3)设，先由(2)先求出的取值范围，再借助、与、的关系即可求出的取值范围．
1 / 1天津市五校联考2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）
1．已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
2．直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．1或 B． C．1 D．
3．已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高二上·邗江期中）“4＜k＜10”是“方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知直线过点和点Q(2，2，0)，则点到的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
6．从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若圆上有两个动点A，B，满足，点M在直线2x+y-5=0上动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）
10．设，向量，且，则 .
11．设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围 .
12．若过点的直线和圆交于两点，若弦长，则直线的方程为 .
13．已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为 .
14．在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 .
15．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为 .
三、解答题
16．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
（1）求圆心为的圆的标准方程；
（2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
（3）若过点作圆的切线，求该切线方程．
17．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心 椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求实数的值及的面积.
19．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．
20．如图，已知椭圆G：的左、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：∵直线经过点，，
∴直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】由直线经过点，，可求出直线的斜率，再根据斜率的定义得到直线的倾斜角.
2．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线平行，
∴，即，
故答案为：D.
【分析】根据直线与直线平行，即可求出.
3．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：∵，，
∴AB的中点坐标为，
∴由直线的两点式得，即，
故答案为：C.
【分析】先求出AB的中点坐标，即可由两点式求得AB边上的中线所在直线的方程.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴ ，解得：7＜k＜10，
故“4＜k＜10”是“方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故答案为：B
【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴点到的距离，
故答案为：C.
【分析】先由点和点求出和，再求出和，即可求出点到的距离.
6．【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设点关于直线的对称点为，则有，解得，
∴，
∵点在反射光线上，而反射光线恰好经过点，
∴，即反射光线所在直线的斜率为-3，
故答案为：A.
【分析】由和直线，可以求出点关于直线的对称点坐标，又因为对称点坐标在反射光线上，而反射光线恰好经过点，即可求出反射光线所在直线的斜率.
7．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：设椭圆C 的标准方程的为，
∵过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，
∴可将带入椭圆方程得，即，
∴，
又∵，
∴，
∴椭圆C 的标准方程的为，
故答案为：B.
【分析】设椭圆C 的标准方程的为，由过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点可求得A，B两点纵坐标，即可求出椭圆方程.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，则有 ，即，
∵，且，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∵恒成立，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】设，，可以求出的最大值，借助恒成立，则可以得到椭圆C的离心率e的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】两向量的和或差的模的最值；轨迹方程
【解析】【解答】解：
记AB中点为N，则有ON⊥AB，
∵，
∴圆心到直线AB的距离d具有如下关系：，即，
∴点N的轨迹方程为 ，即是以为圆心，以为半径的圆，
∴由点到直线的距离公式可知，圆心到直线2x+y-5=0的距离为，
∵点M在直线2x+y-5=0上动 ，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】首先由 ，得到中点的轨迹方程，再将 的最小值问题转换成圆上一点到直线2x+y-5=0距离的最小值问题.
10．【答案】3
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】由可算出和，即可求出 和.
11．【答案】
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴如图所示即可得到，直线l的斜率k的取值范围为，
故答案为：.
【分析】首先画出图像，然后计算斜率和，即可由图像观察出直线l的斜率k的取值范围.
12．【答案】x=-2或3x+4y+2=0
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的方程为，
∴圆心，半径，
设到直线的距离为d，
∵弦长，
∴，
∴，
①直线的斜率不存在时，直线即为，而，此时直线的方程为；
①直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，即，而，解得，符合题意，此时直线的方程为，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：x=-2或3x+4y+2=0.
【分析】首先根据垂径定理可以求出d，然后就可以利用点到直线的距离公式讨论斜率是否存在，即可得出直线方程.
13．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：∵圆：和圆：，
∴两圆方程相减得，即，
∵点在两圆的公共弦上，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴点 的坐标为，
∵，
∴点在两圆的公共弦上，符合题意，
故答案为：8.
【分析】首先把两圆方程：和：相减得到公共弦方程，然后代入点的坐标，再利用基本不等式得到最小值，而当等号成立时点即在公共弦上.
14．【答案】
【知识点】椭圆的定义；余弦定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴由余弦定理可得，
∴，
∵以为焦点的椭圆经过点，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】由，可以求出的三边长度，再根据椭圆的定义，即可求出该椭圆的离心率.
15．【答案】6
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵△ 的外接圆面积为 ，
∴由圆的面积公式可以得到△ 的外接圆半径为，
设，显然，
∵△是以为底边的等腰三角形 ，
∴，
∴，
∴，
不妨设点P位于x轴的下方，
∴或，
由点差法有：，
∴或(舍去），
∵为椭圆的右焦点 ，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即 椭圆的长轴长为 2.
故答案为：6.
【分析】由 △ 的外接圆面积，可以求出外接圆半径，设，利用正弦定理可以求出的取值，进而可以求出和，最后再根据点差法即可得到椭圆方程.
16．【答案】（1）解：设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以解得：-
所以圆的标准方程为.
（2）解：因为圆到直线的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
（3）解：当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为5
根据点到直线的距离公式得：，解得.-
所以直线方程为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)设出圆的标准方程，代入两点坐标和，并利用圆心在直线上，即可得到圆的标准方程；
(2)利用点到直线的距离判断出直线与圆的位置关系，从而求出 的最小值 ；
(3)利用点到直线的距离公式即可求出直线方程.
17．【答案】（1）解：证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
易知平面的一个法向量为，故，
则，
又平面，故平面．
（2）解：易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
且，，
则，令，则，，，-
设平面与平面夹角为，易知为锐角，
所以，即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：设平面的法向量为，且，
则，令，则，，故，
设点到平面距离为，．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
(1)写出以及平面法向量的坐标表达式，即可通过向量运算证明 平面 ；
(2)写出平面与平面法向量的坐标表达式，即可通过法向量夹角的余弦值判断出两平面夹角的余弦值；
(3)写出平面法向量的坐标表达式，即可利用点到平面的距离公式求出点到平面的距离.
18．【答案】（1）解：由题意知离心率，所以，即.
以原点为圆心 椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有，
所以，故椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为
由，消去得，
∴，-
-
，解得.
∴，-
所以，
点到直线的距离，
所以的面积
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)由离心率为可以求出和，即可得到椭圆方程；
(2)设出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，再结合，即可求出k，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式可以得到的底和高，进而求得的面积.
19．【答案】（1）解：证明：平面平面，平面平面，平面，，
直线平面，
由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
依题意易得是平面的一个法向量，
又，，
又直线平面，平面 ；
（2）解：，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令可得，
设为平面的一个法向量，
则，即，令可得，
，二面角的正弦值为；
（3）解：设，则，又，
，即，
，解得或（舍去）．
故所求线段的长为．
【知识点】直线与平面平行的性质；异面直线；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)首先证明直线平面，然后以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，找到平面的一个法向量，即可由证明平面；
(2)分别求出平面和平面的法向量和，即可由得到二面角的正弦值；
(3)设，则由即可求得h.
20．【答案】（1）解：令椭圆G的半焦距为c，因，且正的周长为6，则，解得，，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：显然直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：，点、，则，
由消去x并整理得：，
则，，
由（1）知，，假定存在实数k使，则直线的斜率满足，
而
，
解得，与矛盾，
所以不存在实数k使成立.
（3）解：显然直线MN不垂直于y轴，由（2）得直线MN：，，
由（2）得，设，
有，于是得
因此有，，
，
显然，当且仅当时取等号，
因此，解得，
则，
所以的取值范围是.1
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由 为正三角形且周长为6，则可根据椭圆的性质求出，进而得到椭圆方程；
(2)设直线方程MN：，联立方程组，根据韦达定理得到和，先假设存在实数k使成立，再由，即可求出m的值并推导出矛盾；
(3)设，先由(2)先求出的取值范围，再借助、与、的关系即可求出的取值范围．
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