江苏省苏州市常熟重点中学2023-2024学年高二上学期12月学业水平调研数学试卷（含答案）

2023～2024年度第一学期高二年级十二月阶段性学业水平调研
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等比数列中，，，则（ ）
A.4或 B. C.4 D.8
2.已知直线与双曲线无公共点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆的公共弦（ ）
A. B. C. D.2
4.已知抛物线经过点，点M到抛物线C的焦点F的距离为3，则抛物线C的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点O为圆心，短轴长为直径作，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
7.设已知数列的前n项和为，，当时，，则等于（ ）
A.1008 B.1009 C.1010 D.1011
8.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（ ）
A.1 B.3 C.2 D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.以下四个命题为真命题的是（ ）
A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B.直线的倾斜角的范围是
C.直线与直线之间的距离是
D.直线过定点
10.设，是抛物线上两点，O是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）
A.为定值 B.直线过抛物线的焦点
C.最小值为16 D.O到直线的距离最大值为4
11.已知等比数列的公比为q，其前n项的积为，且满足，，，则（ ）
A. B.
C.的值是中最大的 D.使成立的最大正整数n的值为198
12.已知P为双曲线右支上的一个动点（异于顶点），、分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为I，过作，垂足为A，下列结论正确的是（ ）
A.I在定直线上 B.为定值
C.为定值 D.到为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线与垂直，则实数m的值为_______.
14.在中，，，，则顶点C的轨迹方程是_______.
15.若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点F且交椭圆于A，B两点，若，则椭圆的离心率为_______.
16.过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的取值范围为_______.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围；
（1）曲线C是椭圆；
（2）曲线C是双曲线.
18.（12分）已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，且的中点坐标为，求直线l的斜率.
19.（12分）已知点及圆.
（1）若直线过点P且与圆心C的距离为1，求直线的方程.
（2）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
20.（12分）已知数列满足，数列的首项为2，且满足.
（l）求和的通项公式；
（2）记集合，若集合M的元素个数为2，求实数的取值范围；
（3）设，证明：.
21.（12分）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，M在第一象限，直线与交于点Q.求证：点Q在定直线上.
22.（12分）在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P，Q.
（1）若点M在第一象限且直线，互相垂直，求圆M的方程；
（2）若直线，的斜率都存在，且分别记为，，求证：为定值；
（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
2023～2024年度第一学期高二年级十二月阶段性学业水平调研
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5 CDBAA 6-8 ADA
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BD 10.ACD 11.ABD 12.AC
三、填空题：本大题共4小题。每小题5分，共20分.
13.0或 14. 15. 16.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解答】（1）曲线C的方程为，，又曲线C椭圆，
，解得且，实数m的取值范围为；
（2）∵曲线C是双曲线，，解得或，
故实数m的取值范围为.
18.【解答】（1）由的焦点坐标为，.由双曲线与有相同的焦点.所以双曲线的焦点坐标为，，故，在双曲线中：①，又双曲线C经过点，所以②
解得：，所以双曲线C的方程为：.
（2）由题知直线斜率存在且不为0，设直线l的方程为：由直线l与双曲线C交于A，B两点，
设，，所以消去y整理得：
所以，
，所以由的中点坐标为
所以，所以.
19.【解答】（1）设直线l的斜率为k（k存在），则方程为，即.
又圆C的圆心为，半径，由，解得.
所以直线方程为，即.
当l的斜率不存在时，l的方程为，经验证也满足条件
（2）把直线代入圆C的方程，消去y，整理得.
由于直线交圆C于A，B两点，故，解得.
则实数a的取值范围是．设符合条件的实数a存在.由于垂直平分弦，故圆心必在上.所以的斜率.而，所以.由于，故不存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦.
20.【解答】（1）由可得：时，，相减可得，故，当时，符合上式，故，，
由可得，所以数列为公差为0的等差数列，且首项为2，
所以，则，.
（2）由，和可得，
记，则，所以，
当时，，当时，，此时单调递减，
而，，，，由于集合M的元素个数为2，所以，故.
（3）由得，，
由于，
因此
.
21.【解答】（1）由题意知，，解得，所以双曲线C的方程为.
（2）
证明：，，由题知过点T的直线l的斜率必不为0，设直线l的方程为，，，
联立，
，
则，，
又因为过点T的直线l与双曲线C的右支交于M、N，M在第一象限内，
所以，，，，所以，即，解得，
设直线方程为，直线方程为，
联立，
即，又，
所以，点Q在直线上.
22.
【解答】（1）解：由题意可知，且，故，
所以①，因为点是椭圆上一点，
则有②，由①②可得，，，故，
所以圆M的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，直线的方程为，
因为与均与圆M相切，
联立方程，可得，
同理可得，，
由，可得，是方程的两个不相等的实数根，
所以（*），又点是椭圆上一点，
则有，代入（*），可得，故为定值；
(3）解：（i）当直线，不落在坐标轴上时，设，，
由（2）可知，，则，
因为点P，Q在椭圆C上，则有，整理可得，，所以，故；
（ii）当直线落在坐标轴上时，则有.
综上所述，，则，当且仅当时取等号，
故为定值，的最大值为.