6.5 垂直 课件（共33张PPT）

6.5 垂直
第6章 平面图形的认识（一）
教学目标
01
理解垂线的概念与性质
02
会画已知直线的垂线，理解垂直公理及其推论
03
理解垂线段的概念与性质，会求点到直线的距离
垂线的概念与性质
平行或相交
O
01
复习引入
在同一平面内，不重合的两条直线有怎样的位置关系？
Q1：图中标记出来的两条相交线之间的夹角是多少度？两条直线的位置关系可以进一步表达为？
90°，即两条直线相互垂直
01
情境引入
Q2：生活中还有哪些垂线的实例？
书本
魔方
红十字
01
情境引入
垂线的概念
如图，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，其中点O是垂足。
A
B
C
D
a
b
O
定义解读：这里的垂直，指的是相交垂直。
02
知识精讲
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
议一议：若两条直线互相垂直，那么两条直线一定相交吗？
不一定！有可能异面垂直
拓展
a
b
O
02
知识精讲
初中阶段只学习相交垂直，即在同一个平面内的垂直
垂线的性质
如图，∵a⊥b或AB⊥CD，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOC=∠BOC=90°。
02
知识精讲
若两条直线互相垂直，那么这两条直线相交所成的四个角中都是直角。
A
B
C
D
a
b
O
例1、如图，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD=25°，则∠AOC=__________。
【分析】
∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠AOC=180°-25°-90°=155°-90°=65°。
65°
03
典例精析
例2、已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，∠AOB=60°，则∠BOC等于____________。
【分析】如图1，
∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°；
如图2，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+60°=150°；
综上，∠BOC的度数为30°或150°。
30°或150°
03
典例精析
垂直公理
Q1：(1)如图，哪些道路与解放路垂直？利用三角尺或量角器加以检验；
(2)经过人民广场，并且与解放路垂直的道路有几条？经过青年广场呢？
(1)和平路、世纪大道、劳动路
(2)经过人民广场，有且只有1条世纪大道；
经过青年广场，有且只有1条劳动路。
01
情境引入
Q2-1：已知直线a与直线a外一点P，过点P作直线a的相交垂线，你能画几条？
a
P
a
P
a
P
b
画完垂线，一定要标垂足符号
有且只有1条
【总结】在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
01
情境引入
Q2-2：过直线a上的一点Q，画直线a的相交垂线，这样的垂线能画几条？
a
Q
a
Q
a
b
Q
【总结】在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
有且只有1条
01
情境引入
垂直公理
公理详解：
(1)“在同一平面内”是前提；
(2)“过一点”可以是过已知直线外一点，也可以是过已知直线上一点。
02
知识精讲
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
议一议：若缺少了“在同一平面内”是前提，会出现怎样的情况呢？
P
a
直线b和c都符合要求，即过一点不止有一条直线与已知直线垂直。
02
知识精讲
如图，过点P作直线a的垂线。
c
b
练一练：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。如图，分别过点A、D画BC的垂线，垂足分别为E、F。
02
知识精讲
知识精讲
例1、如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（　　）
A．线段AB上 B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上 D．直线AB外
03
典例精析
【分析】如图，垂足在线段AB的延长线上。
B
知识精讲
例2、小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：
小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行。
小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直。
对于两个人的说法，正确的是（　　）
A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对
03
典例精析
【分析】∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴小明错，小刚对。
B
垂线段的概念与性质
Q1：怎样测量跳远成绩？
如图，(1)过点P作直线l的垂线交直线l于点Q；
(2)测量PQ之间的长度。
Q
01
情境引入
Q2：如图，从人行横道线上的点P处过马路，怎样走线路最短？你能把最短的线路画出来吗？
如图，过点P作直线l的垂线交直线l于点Q，PQ即最短路线。
l
Q
延垂直于斑马线的方向行走
01
情境引入
垂线段的概念
l
O
P
02
知识精讲
如图，点P在直线l外，PO⊥l，垂足为O，PO叫做点P到直线l的垂线段。
议一议：如图，在直线l上，取点O1、O2、O3……量出线段PO，PO1，PO2，PO3……的长度。在这些线段中，哪一条最短？
l
O
P
O1
O2
O3
通过度量可知：线段PO最短，即垂线段最短。
02
知识精讲
垂线段的性质
如图，垂线段PO的长度就是点P到直线l的距离。
l
O
P
02
知识精讲
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
练一练：如图，P是AOB的边OB上一点。
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C。
分别比较PH与PC、PC与CO、PH与CO的大小，并说明理由。
H
【分析】∵垂线段最短，
∴PH∴PHC
02
知识精讲
知识精讲
例1、如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过两点有且只有一条直线
C
03
典例精析
知识精讲
例2、如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC=8，BC=6，CD=4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE的长为整数值的线段有（　　）
A．3条 B．8条 C．7条 D．5条
【分析】∵CD⊥AB，垂足是点D，AC=8，BC=6，CD=4，
∴CE长的范围是4≤CE≤8，
当点E由A向B运动时，CE的整数值线段长度分别为：8、7、6、5、4、5、6，共7条。
C
03
典例精析
知识精讲
例3、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，线段CD的长度是（　　）
A．点A到BC的距离
B．点B到AC的距离
C．点C到AB的距离
D．点D到AC的距离
C
03
典例精析
知识精讲
例4、点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线m的距离为（　　）
A．4cm B．2cm
C．小于2cm D．不大于2cm
D
03
典例精析
知识精讲
例5、如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，图中能用现有字母表示的线段中，长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有________条。
【分析】如图，线段BC的长是点B到AC的距离，
线段AC的长是点A到BC的距离，
线段CD的长是点C到AB的距离，
线段BD的长是点B到CD的距离，
线段AD的长是点A到CD的距离，
故图中能表示点到直线距离的线段共有5条。
5
03
典例精析
课后总结
垂线的概念与性质：
(1)如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
(2)若两条直线互相垂直，那么这两条直线相交所成的四个角中都是直角。
垂直公理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段的概念与性质：
(1)点P在直线l外，PO⊥l，垂足为O，PO叫做点P到直线l的垂线段。
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
(3)直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。