19.9勾股定理（第4课时）（教学课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）
文档属性
| 名称 | 19.9勾股定理（第4课时）（教学课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-21 17:19:45 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
沪教版八年级上册
第 19 章 几何证明
19.9勾股定理（第4课时）
学习目标
1.熟练运用勾股定理和逆定理解决问题。
2.通过复习勾股定理和逆定理的相关内容，总结常用的数学思想方法。
a2+b2=c2
数
a2+b2=c2
三角形三边a、b、c
直角三角形
直角边a、b，斜边c
直角三角形
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
勾股定理的逆定理:
a2+ b2=c2
知识梳理
勾股定理:
形
核心内容归纳
基本思想与方法：
数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，（转化）化归思想，由特殊到一般（发现——猜想——证明），整体思想、数学建模思想等.
基本经验：
已知三角形两边求第三边，通常利用勾股定理直接计算或者列方程求解，立体图形中的勾股定理问题通常转化为平面图形来解决.
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，并且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．
勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数．
勾股定理逆定理的应用：
(1)判断三角形的形状；
(2)证明两条线段垂直；
(3)实际应用．
直角
例题7如图19-64,在ABC中,AB=10,BC=24,AC=26，M是AC的中点,求:
(1)B、M两点的距离;
(2)点B到AC的距离.
分析已知△ABC的三边长，可以判断这个三角形是否是直角三角形.常用的方法是运用勾股定理的逆定理.如果它是直角三角形,那么本题就转化为我们熟悉的“求直角三角形斜边上的中线长”和“求直角三角形的直角顶点到斜边的距离”那样的问题.
解：在△ABC中，
∵AB=10,BC=24,AC=26(已知)，
例题7如图19-64,在ABC中,AB=10,BC=24,AC=26，M是AC的中点,求:
(1)B、M两点的距离;
(2)点B到AC的距离.
例题7如图19-64,在ABC中,AB=10,BC=24,AC=26，M是AC的中点,求:
(1)B、M两点的距离;
(2)点B到AC的距离.
分析(1)要证明GB⊥BC，只要证明∠GBD+∠ABC=90°由∠ABC与∠A互余，可知只要证明∠GBD=∠A，
例题8已知:如图19-65(1),△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是边AB 上的中点;点E、F分别在边BC、AC上，DE⊥DF;点G在FD的延长线上,DG=DF.
∴△GDB≌△FDA(S.A.S).
得∠GBD=∠A(全等三角形的对应角相等)
∵∠C=90°(已知)，
∴∠A+∠ABC=90°(直角三角形的两个锐角余).
得∠GBD+∠ABC=90°(等量代换)，
即∠GBC=90°(等量代换)，
∴GB⊥BC
例题8已知:如图19-65(1),△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是边AB 上的中点;点E、F分别在边BC、AC上，DE⊥DF;点G在FD的延长线上,DG=DF.
(2)联结EG(如图19-65(2)).在Rt△GBE中，
例题8已知:如图19-65(1),△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是边AB 上的中点;点E、F分别在边BC、AC上，DE⊥DF;点G在FD的延长线上,DG=DF.
∴EF=EG(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
又由△GDB≌△FDA,得 BG=AF(全等三角形的对应边相等),
1.如图,在△ABC中,D 是边 BC 上的一点,AB=15,AC=13,AD=12,CD=5.
求BC 的长。
课本练习
2如图,公路上 A、B两站相距 25 千米,C、D为两村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为点A、B.已知 DA长 10 千米,CB长 15 千米,现要在公路AB 上建一个日用品大卖场E，使得 C、D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场 E应建在离A 站多远处
1. [2022·河北保定定州市期末]如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D都在格点（小正方形的顶点）上.
（1）求四边形ABCD的周长.
（1）解：由题意可知，AB＝＝3，AD＝＝5，CD＝＝，BC＝＝，
∴四边形ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝3＋＋＋5＝8＋2.
（第1题图）
随堂检测
（第3题答图）
（2）求证：∠BCD＝90°.
（2）证明：如答图，连接BD.
∵BD＝＝2，CD＝，BC＝，
∴BC2＋CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°.
（第1题答图）
2 .如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30 n mile/h的速度向北偏东35°方向匀速航行，乙船以40 n mile/h的速度向另一方向匀速航行，2 h后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C，B两岛相距100 n mile，则乙船航行的角度是南偏东多少度？
（第2题图）
解：在△ABC中，∵AC＝2×30＝60（n mile），AB＝2×40＝80（n mile），
∴AC2＋AB2＝602＋802＝10 000.
∵BC2＝1002＝10 000，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，
∴∠BAD＝180°－35°－90°＝55°.
故乙船航行的角度是南偏东55°.
（第2题图）
3 .[2022·河南信阳期末]如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝12，CD＝13，DA＝4.
（1） （2）
（第3题图）
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）如图（2），以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，点P在y轴上.若＝，求点P的坐标.
解：（1）∵∠A＝90°，AB＝3，DA＝4，
∴BD＝＝＝5.
∵BC＝12，CD＝13，
∴BD2＋BC2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴BD2＋BC2＝CD2，
∴△BDC是直角三角形，∠DBC＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC
＝AD·AB＋DB·BC＝×4×3＋×5×12＝36，
∴四边形ABCD的面积为36.
（1）
（第3题图）
（2）设点P的坐标为（0，a）.
∵DA＝4，∴D（0，4），
∴PD＝｜a－4｜.
∵S△PBD＝S四边形ABCD，
∴PD·AB＝×36，
即｜a－4｜×3＝9，得｜a－4｜＝6，
∴a－4＝6或a－4＝－6，
（2）
（第3题图）
解得a＝10或a＝－2，
∴点P的坐标为（0，10）或（0，－2）.
4. [2022·四川成都彭州期中]森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600 m和800 m，AB＝1 000 m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响.
（1）着火点C受洒水影响吗？请说明理由.
（第4题图）
解：（1）着火点C受洒水影响.
理由：如答图，过点C作CD⊥AB于点D.
由题意知，AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m.
∵AC2＋BC2＝6002＋8002＝1 0002，AB2＝1 0002，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形.
∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，
∴600×800＝1 000CD，∴CD＝480 m.
∵飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响.
（第10题答图）
（第4题答图）
（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13 s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
解：（2）如答图，当EC＝FC＝500 m时，飞机正好喷到着火点C.
∵在Rt△CDE中，
ED＝＝＝140（m），
∴EF＝280 m.
∵飞机的速度为10 m/s，
∴280÷10＝28（s）.
∵28＞13，
∴着火点C能被扑灭.
（第10题答图）
（第4题答图）
5. 新题型 阅读理解题 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图（1），若∠C＝90°，则a2＋b2＝c2.若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.证明如下：如图（2），过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＝b2－x2.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＝c2－（a－x）2，∴b2－x2＝c2－（a－x）2，∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2，即当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.故小明的猜想是正确的.
（第5题图）
（1）请你猜想，如图（3），当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系；
（2）说明你猜想的结论是否正确〔温馨提示：在图（3）中，作BC边上的高〕.
（2）如答图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，设CD＝x.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＝b2－x2.
在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＝c2－（a＋x）2.
∴b2－x2＝c2－（a＋x）2，∴a2＋b2＝c2－2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＜c2.
故当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.
（第11题答图）
（第5题答图）
解：（1）当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2 的大小关系为a2＋b2＜c2.
方 法
认真审题,画出符合题意的图 形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题。
勾股定理及逆
定理的应用
解决不规则图形面积以及综合性的实际问题.
应 用
三角形的边长，周长，面积及三角形形状问题
思想
数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，（转化）化归思想，由特殊到一般（发现——猜想——证明），整体思想、数学建模思想
课堂小结
沪教版八年级上册
第 19 章 几何证明
19.9勾股定理（第4课时）
学习目标
1.熟练运用勾股定理和逆定理解决问题。
2.通过复习勾股定理和逆定理的相关内容，总结常用的数学思想方法。
a2+b2=c2
数
a2+b2=c2
三角形三边a、b、c
直角三角形
直角边a、b，斜边c
直角三角形
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
勾股定理的逆定理:
a2+ b2=c2
知识梳理
勾股定理:
形
核心内容归纳
基本思想与方法：
数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，（转化）化归思想，由特殊到一般（发现——猜想——证明），整体思想、数学建模思想等.
基本经验：
已知三角形两边求第三边，通常利用勾股定理直接计算或者列方程求解，立体图形中的勾股定理问题通常转化为平面图形来解决.
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，并且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．
勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数．
勾股定理逆定理的应用：
(1)判断三角形的形状；
(2)证明两条线段垂直；
(3)实际应用．
直角
例题7如图19-64,在ABC中,AB=10,BC=24,AC=26，M是AC的中点,求:
(1)B、M两点的距离;
(2)点B到AC的距离.
分析已知△ABC的三边长，可以判断这个三角形是否是直角三角形.常用的方法是运用勾股定理的逆定理.如果它是直角三角形,那么本题就转化为我们熟悉的“求直角三角形斜边上的中线长”和“求直角三角形的直角顶点到斜边的距离”那样的问题.
解：在△ABC中，
∵AB=10,BC=24,AC=26(已知)，
例题7如图19-64,在ABC中,AB=10,BC=24,AC=26，M是AC的中点,求:
(1)B、M两点的距离;
(2)点B到AC的距离.
例题7如图19-64,在ABC中,AB=10,BC=24,AC=26，M是AC的中点,求:
(1)B、M两点的距离;
(2)点B到AC的距离.
分析(1)要证明GB⊥BC，只要证明∠GBD+∠ABC=90°由∠ABC与∠A互余，可知只要证明∠GBD=∠A，
例题8已知:如图19-65(1),△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是边AB 上的中点;点E、F分别在边BC、AC上，DE⊥DF;点G在FD的延长线上,DG=DF.
∴△GDB≌△FDA(S.A.S).
得∠GBD=∠A(全等三角形的对应角相等)
∵∠C=90°(已知)，
∴∠A+∠ABC=90°(直角三角形的两个锐角余).
得∠GBD+∠ABC=90°(等量代换)，
即∠GBC=90°(等量代换)，
∴GB⊥BC
例题8已知:如图19-65(1),△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是边AB 上的中点;点E、F分别在边BC、AC上，DE⊥DF;点G在FD的延长线上,DG=DF.
(2)联结EG(如图19-65(2)).在Rt△GBE中，
例题8已知:如图19-65(1),△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，D是边AB 上的中点;点E、F分别在边BC、AC上，DE⊥DF;点G在FD的延长线上,DG=DF.
∴EF=EG(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
又由△GDB≌△FDA,得 BG=AF(全等三角形的对应边相等),
1.如图,在△ABC中,D 是边 BC 上的一点,AB=15,AC=13,AD=12,CD=5.
求BC 的长。
课本练习
2如图,公路上 A、B两站相距 25 千米,C、D为两村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为点A、B.已知 DA长 10 千米,CB长 15 千米,现要在公路AB 上建一个日用品大卖场E，使得 C、D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场 E应建在离A 站多远处
1. [2022·河北保定定州市期末]如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D都在格点（小正方形的顶点）上.
（1）求四边形ABCD的周长.
（1）解：由题意可知，AB＝＝3，AD＝＝5，CD＝＝，BC＝＝，
∴四边形ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝3＋＋＋5＝8＋2.
（第1题图）
随堂检测
（第3题答图）
（2）求证：∠BCD＝90°.
（2）证明：如答图，连接BD.
∵BD＝＝2，CD＝，BC＝，
∴BC2＋CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°.
（第1题答图）
2 .如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30 n mile/h的速度向北偏东35°方向匀速航行，乙船以40 n mile/h的速度向另一方向匀速航行，2 h后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C，B两岛相距100 n mile，则乙船航行的角度是南偏东多少度？
（第2题图）
解：在△ABC中，∵AC＝2×30＝60（n mile），AB＝2×40＝80（n mile），
∴AC2＋AB2＝602＋802＝10 000.
∵BC2＝1002＝10 000，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，
∴∠BAD＝180°－35°－90°＝55°.
故乙船航行的角度是南偏东55°.
（第2题图）
3 .[2022·河南信阳期末]如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝12，CD＝13，DA＝4.
（1） （2）
（第3题图）
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）如图（2），以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，点P在y轴上.若＝，求点P的坐标.
解：（1）∵∠A＝90°，AB＝3，DA＝4，
∴BD＝＝＝5.
∵BC＝12，CD＝13，
∴BD2＋BC2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴BD2＋BC2＝CD2，
∴△BDC是直角三角形，∠DBC＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC
＝AD·AB＋DB·BC＝×4×3＋×5×12＝36，
∴四边形ABCD的面积为36.
（1）
（第3题图）
（2）设点P的坐标为（0，a）.
∵DA＝4，∴D（0，4），
∴PD＝｜a－4｜.
∵S△PBD＝S四边形ABCD，
∴PD·AB＝×36，
即｜a－4｜×3＝9，得｜a－4｜＝6，
∴a－4＝6或a－4＝－6，
（2）
（第3题图）
解得a＝10或a＝－2，
∴点P的坐标为（0，10）或（0，－2）.
4. [2022·四川成都彭州期中]森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600 m和800 m，AB＝1 000 m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响.
（1）着火点C受洒水影响吗？请说明理由.
（第4题图）
解：（1）着火点C受洒水影响.
理由：如答图，过点C作CD⊥AB于点D.
由题意知，AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m.
∵AC2＋BC2＝6002＋8002＝1 0002，AB2＝1 0002，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形.
∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，
∴600×800＝1 000CD，∴CD＝480 m.
∵飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响.
（第10题答图）
（第4题答图）
（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13 s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
解：（2）如答图，当EC＝FC＝500 m时，飞机正好喷到着火点C.
∵在Rt△CDE中，
ED＝＝＝140（m），
∴EF＝280 m.
∵飞机的速度为10 m/s，
∴280÷10＝28（s）.
∵28＞13，
∴着火点C能被扑灭.
（第10题答图）
（第4题答图）
5. 新题型 阅读理解题 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图（1），若∠C＝90°，则a2＋b2＝c2.若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.证明如下：如图（2），过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＝b2－x2.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＝c2－（a－x）2，∴b2－x2＝c2－（a－x）2，∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2，即当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.故小明的猜想是正确的.
（第5题图）
（1）请你猜想，如图（3），当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系；
（2）说明你猜想的结论是否正确〔温馨提示：在图（3）中，作BC边上的高〕.
（2）如答图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，设CD＝x.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＝b2－x2.
在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＝c2－（a＋x）2.
∴b2－x2＝c2－（a＋x）2，∴a2＋b2＝c2－2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＜c2.
故当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.
（第11题答图）
（第5题答图）
解：（1）当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2 的大小关系为a2＋b2＜c2.
方 法
认真审题,画出符合题意的图 形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题。
勾股定理及逆
定理的应用
解决不规则图形面积以及综合性的实际问题.
应 用
三角形的边长，周长，面积及三角形形状问题
思想
数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，（转化）化归思想，由特殊到一般（发现——猜想——证明），整体思想、数学建模思想
课堂小结