1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定 课件(共22张PPT) 北师大版八年级数学下册

(共22张PPT)
第1章 三角形的证明
1.3 直角三角形
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
1.经过探索、猜测、证明，学习推理证明的意识和能力
2.能够证明线段垂直平分线的性质定理
1.掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理
2.线段垂直平分线的性质定理、判定定理的证明
教学目标
重难点
提出问题，导入新课
观察： 已知点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，如果线段 AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ ___，
AD ____ A′D， ∠1 ____∠2 ____ 90°，
即直线 l 既____线段 AA′，又____线段 AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
重合
=
=
=
平分
垂直
知识要点
我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
探究新知
作线段 AB 的中垂线 MN，垂足为 C；在 MN上任取一点 P，连结 PA、PB；
量一量 PA、PB 的长，你能发现什么？
A
B
M
N
C
P
相等
你能证明这个结论吗？
验证结论
已知：如图所示，直线MN⊥ AB，垂足是C，并且AC=BC，P是MN上任一点.
求证：PA=PB.
A
B
C
N
P
M
证明：∵ MN⊥ AB ，
∴ ∠PCA= ∠PCB=90°.
又∵ AC=BC， PC=PC，
∴ △PCA≌ △PCB（SAS）.
∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A
B
C
N
P
M
几何语言：
∵ MN⊥ AB ， AC=BC
∴ PA=PB
知识要点
典型例题
例 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
典型例题
提出问题，探索新知
你还记得上节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识吗？
逆命题定义：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
逆定理定义：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
探究新知
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 你能说出它的逆命题吗？
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？
验证结论
已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA = PB．
求证：P 点在 AB 的垂直平分线上．
A
B
C
P
验证结论
证明：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC，
∵ PA = PB， PC = PC，
∴Rt△PAC ≌Rt△PBC（HL）．
∴AC = BC，
即 P 点在 AB 的垂直平分线上．
A
B
C
P
你还有其他的证明方法吗？
验证结论
证明：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线.
∵AP = BP，PC = PC. AC = CB，
∴△APC ≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PCA +∠PCB = 180°，
∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB.
∴ P 点在 AB 的垂直平分线上.
A
B
C
P
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
归纳总结
例 已知：如图 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
典型例题
B
C
O
A
巩固练习，提高能力
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是
　 (　　)
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使
DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有
　　　种.
无数
巩固练习，提高能力
3.已知：如图，D 是 BC 延长线上的一点，BD = BC + AC.
求证：点 C 在 AD 的垂直平分线上.
A
B
C
D
证明：因为点 D 在 BC 延长线上，
所以 BD = BC + CD，
又因为 BD = BC + AC，
∴ AC = DC，
所以点 C 在 AD 的垂直平分线上.
巩固练习，提高能力
4. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
证明：∵ AC = BC，AD = BD，
∴
点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O，
∴
AO = BO.
课堂小结
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
课后作业
教材习题1.7第1，2 ，3题.
这节课你学到了什么？谈谈你的收获，
小结与反思