河溪中学 2023-2024学年度第一学期学月考试
高一数学科试卷
一．单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四
个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上。）
1.已知集合M {x∣x 3},N x∣x2 8x 7 0 ，则M N （ ）
A． 3,8 B． 3,7 C． 1,3 D． 1,7
2．命题“ x R， x2 2x 4 0”的否定为（ ）
A． x R， x2 2x 4 0 B． x R， x2 2x 4 0
C． x R ， x2 2x 4 0 D． x R， x2 2x 4 0
1 5
3．已知正数 a，b 满足 1，则 a 5b的最小值为（ ）
a b
A．25 B．42 C．36 D．56
x2 1 x 0
4．已知函数 y ，若
f a 10，则 a的值是（ ）
2x x 0
A．3 或 3 B．3 或 3或 5 C． 3 D． 3或 5
2 1
5．已知幂函数 y f x 的图象过点 , ，则 f 3 的值为（ ）
2 2
1
A．9 B．3 C． 3 D． 3
6．若 a log 3 13 ，b ln ，2 2 c 0.6
0.2 ，则 a，b，c的大小关系为（ ）
A． c b a B． c a b C．b a c D． a c b
7．已知函数 f x lnx 2x 6，则 f x 的零点所在的区间是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3, 4
8．已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，在区间[0, )上单调递增，且 f (2) 0，则不等式
f (log2x) 0的解集为
A． ,
1 1
4
(4, ) B． ,2 (2,4)
4
1
C． ,1 (4, )
1
D． 0, (4, ) 4 4
1
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二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9．设 A {x | x2 8x 15 0}，B {x | ax 1 0}，若 A B B ，则实数 a的值可以为（ ）
1 1
A． B． 0 C．3 D．
5 3
10．已知函数 f (x) log x 2 2 log 22 x 3 ，则下列说法正确的是（ ）
A． f (4) 3 B．函数 y f (x)的图象与 x轴有两个交点
C．函数的 y f (x)最小值为-4 D．函数的 y f (x) 最大值为 4
x2 ax 5, x 1
f (x1) f (x2 )
11．已知函数 f (x) a 满足对任意 x1 x2 ，都有 0成立，
, x 1 x1 x x 2
则实数 a的取值可以是（ ）
A． 2 B．1 C．2 D．3
12．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函
数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 y f x ，如果对于其定
义域 D 中任意给定的实数 x，都有 x D，并且 f x f x 1，就称函数 y f x 为倒函数，
则下列函数是倒函数的为（ ）
x, x 0
A． f x ln x f x exB． C． f x 1 x= D． f x 1
1 x , x 0 x
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．)
1
13．13．函数 f (x) ln(2 3x) 的定义域为 ．
x
1 1
14．已知 2a 5b 10，则 ．a b
15．已知函数 f x ax2 b 3 x 3， x a 2,a 是偶函数，则 a b ．
16．若命题“ x R,ax2 2ax 12 0”是真命题，则 a的取值范围为 ．
2
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四、解答题(本大题共 6小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10 分）计算题：
1 2
(1) 2 3 2
1 0 3 2
4
( 9.6) 3 (1.5) ；
8
log5 2
(2) log1 3 log2 4 5
3
(3)已知 log13 7 a，13b 4，用 a、b表示 log28 52﹒
18.（12分）
已知 A x | 2a 1 x a 1 ,B x | 1 x 3 ．
1
(1)若 a ，求 A B， A RB ；2
(2)在①“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件；② A B B；③ A B ；这三个条件
中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
问题：若___________________________，求实数 a的取值范围构成的集合 P .
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分．
19.（12分）
已知定义在R 上的奇函数 f (x) ,当 x 0时, f (x) x(x 4) .
(1)求函数 f (x)在R 上的解析式；
(2)在坐标系中作出函数 f (x)的图象；
(3)若关于 x的方程 f (x) a恰好有三个不同的解,求实数
a的取值范围.
3
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20．（12分）
已知函数 f x lg x 2 lg 2 x .
(1)求 f x 的定义域；
(2)判断 f x 的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式 f x 1的解集.
21．（12分）
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小
镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料 x（单位：千克）满足
5 x2 3 ,0 x 2
如下关系：W x 50x ，肥料成本投入为10x元，其他成本投入（如培育管理
,2 x 5
1 x
施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约 15 元/千克，且销售畅通供不应求，记
该水果单株利润为 f x （单位：元）．
(1)求单株利润 f x （元）关于施用肥料 x（千克）的关系式；
(2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
22.（12分）
1
指数函数 y g(x)的图像经过点 , 2 ，且 f (x)
g(x) 1
2g(x) 2． 2
(1)求 y g(x)的解析式；
(2)判断 f (x)的单调性，并用定义法证明；
x 0 f 3x2 x 3(3)解关于 的不等式 ．
10
4
{#{QQABKYCUggiAQBIAABhCQQlICAEQkACAAIoGRAAEIAAAQAFABAA=}#}河溪中学2023-2024学年度第一学期第四学月考试
高一数学试卷答案
1-8：BACD ABCD
9.ABD 10.ABC 11.CD 12.BD
13. 14. 1
15. 4 16.
17.（10分）
17.【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；
利用对数的运算法则求解即可;
（3）由指数与对数的互化可得出，再利用换底公式以及对数的运算性质可得出关于、的表达式；
【详解】（1）；
； ………………………………………………6分
（3）因为，则， ………………………………………………………7分
又因为，则.…10分
18.（12分）
18.【答案】(1),;(2)选择见解析，答案见解析.
【分析】（1）利用两个集合的交集、并集和补集的概念求解即可；
（2）利用充要条件与集合间的关系转化，根据集合间的包含关系分情况讨论即可.
【详解】（1）当时，，又,…………………1分
所以，或，………………………………4分
. ……………………………………………………………6分
（2）选①“”是“”的充分不必要条件，则 ……………………………7分
若，此时，解得； ……………………………………………8分
若，此时，只需（且等号不同时成立）……………………10分
解得，…………………………………………………………………………11分
所以满足条件的实数构成的集.………………………………………12分
选②，则；…………………………………………………………………7分
若，此时，解得；……………………………………………8分
若，此时，只需，解得；…………………………11分
综上所述，满足条件的实数构成的集合． …………………………12分
选③，………………………………………………………………………………7分
若，此时，解得；……………………………………………8分
若，此时，只需或，…………………………………10分
显然即无解，解得；…………………………………11分
综上满足条件的实数构成的集合或．…………………………12分
19.（12分）
19.【分析】（1）利用函数的奇偶性求出和的解析式，用分段函数的形式写出的解析式；（2）结合二次函数的图象的画法及奇函数的图象关于原点对称，画关键点，用光滑曲线连接；（3）问题可转化为函数与的图象仅有三个公共点，由图象求得的取值范围.
【详解】(1)当时,,因为是奇函数, ………………………………………1分
所以, ……………………………………4分
又是上的奇函数,所以,满足.……………………………5分
所以………………………………………………………………6分
(2)根据函数的解析式,作出函数的图象,
……………………………9分
(3)依题意，函数与的图象仅有三个公共点，……………………………10分
由(2)数形结合可以得到,所以实数的取值范围为 …………………12分
注：本题是教材P86页第11题简单改编.
20．(12分)
20.【答案】(1)；(2)奇函数，证明见解析；(3).
【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．
【详解】（1）要使函数有意义,则， ………………………………………2分
解得，故所求函数的定义域为； …………………………………3分
（2）证明：由（1）知的定义域为，
设，则， ………………………………………………………………4分
且，故为奇函数；……………………………7分
（3）因为，所以，即， …………………………9分
可得，解得,又，
所以，………………………………………………………………………………11分
所以不等式的解集是． ……………………………………………………12分
21．(12分)
21.【答案】(1)
(2)当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.
【分析】（1）根据题意列出分段函数即可；
（2）根据分段函数分别讨论最值，再得出两者最大的为函数的最大值即可求解.
【详解】（1）依题意可得，，
所以. ……………………………………………………4分
（2）当时，图象开口向上，对称轴为，
所以函数在单调递减，单调递增，…………………6分
所以；……………………………………………………………………7分
当时，，…10分
当且仅当，即时取得等号， ………………………………………………11分
因为，所以当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.………12分
22．(12分)
22.【答案】(1);(2)在内单调递增，证明见解析;(3).
【分析】（1）求幂函数解析式采用待定系数法，设函数解析式，代入点求解值，得到解析式；（2）证明单调性利用定义法，定义域上任取，计算的正负，从而确定单调性；（3）将不等式转化为，借助于单调性得到关于的不等式，进而求得解集.
【详解】（1）设，由，得，
所以. ………………………………………………………………2分
（2）因为，所以，…………………………3分
在上单调递增，证明如下：
任取，，且， ………………………………………………………………4分
，……………5分
因为，所以，又因为，，
所以，所以，………………………………………………6分
所以是定义在上的增函数． …………………………………………………………7分
（3）由是定义在上的增函数，
令，解得：，令，解得：，…………9分
所以原不等式等价于，……………………10分
所以，即，则……………………………………11分
所以的取值范围是． ……………………………………………………12分
