辽宁省沈阳市第一二0中学2023-2024学年高二上学期第四次质量监测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省沈阳市第一二0中学2023-2024学年高二上学期第四次质量监测数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 724.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-19 07:47:37 | ||
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文档简介
沈阳市第一二0中学2023-2024学年高二上学期第四次质量监测
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，敏小题5分，共40分.每小题只有一个符合要求）
1.与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（ ）
A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.圆上
2在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.丙与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.甲与丁相互独立
4.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
20 23 25 27 30
2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（ ）
A. B. C.8 D.
5.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A.
B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C.记第行的第个数为，则
D.第30行中第12个数与第13个数之比为13:18
7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，（），若以原点为圆心，短轴长为直径作，为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于，两点，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法错误的是（ ）
A.当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B.存在这样的点，使得
C.当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D.当时，点的轨迹长度为
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9.下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A.两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B.设随机变量服从正态分布，若，则
C.在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好
D.某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大
10.设，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.，，，…，中最大的是 D.当时，除以16的余数是1
11.某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是（ ）
A.事件中包括78种情况 B.
C. D.
12.已知是抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（ ）
A.点到直线的距离为定值 B.以为直径的圆与相切
C.的最小值为32 D.当最小时，
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.方程的根为______.
14.某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有______种（用数字作答）.
15.袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则______.
16.已知椭圆：（），的上顶点为，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知二项式（）的展开式中，______给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1:4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项.
在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.
（1）求实数的值和展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的展开式中的常数项.
18.（一）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（1）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（2）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（二）（1）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（2）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
19.某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了市100位退休人员，统计数据如下表所示：
患痴呆症 不患痴呆症 合计
上网 16 32 48
不上网 34 18 52
合计 50 50 100
（1）依据的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？
（2）从该市退休人员中任取一位，记事件为“此人患痴呆症”，为“此人上网”，则为“此人不患痴呆症”，定义事件的强度，在事件发生的条件下的强度.
（1）证明：：
（ii）利用抽样的样本数据，估计的值.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20.如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
21.某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为.甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求甲、乙两名学生恰好答对2个问题的概率；
（2）设甲答对的题数为，乙答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
22.椭圆：（），直线经过椭圆的一个焦点与其相交于点，，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的垂直平分线与轴相交于点，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，说明理由.
参考答案
单项选择题
1. B 2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 7. A 8. B
多项选择题
9. ACD 10. ABD 11. BC 12. BCD
填空题
13.11 14.1259 15. 16.13
解答题
17.【详解】（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使该项为常数，则；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；
该两种组合都会得到，所以，解得；
所以二项式系数最大的项为或，
（2）由（1）可知，，
所以有
所以常数项为
令，，解得，；所以常数项为.
18.一、（1）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种.
（2）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，所以不同的安排方法有种方法.
二、（1）把4名干部按1:3分成两组，有种分组方法，按2:2分成两组，有种分组方法，
所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）.
（2）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，其中中间一列按从下往上有1种，占，
最右一列按从下往上只有1种，占，所以不同取法数是（种）.
19.（1）根据列联表中的数据，得
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2），
所以，，
故
.
（ⅱ）由样本数据可得，，
所以，所以估计的值为2.
20.（1）证明：取的中点，连接，，
因为，分别是棱，的中点，
则，，
四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，平面；
（2）解：在平面中过点作于，连接，
平面平面，平面平面，
平面，又因为，，
所以，，，因为点为的中点，，
故以为原点，、、分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，，，所以取，
设直线与平面所成角为，
则.
21.（1）由题意，知甲恰好答对2个问题的概率为，
乙恰好答对2个问题的概率为.
（2）的可能取值为1，2，，
则；；.
所以，
.
易知，所以，.
因为且，甲的平均水平更好，也比乙更稳定.所以选择学生甲.
22.（1）因为直线经过椭圆的一个焦点，所以为椭圆的焦点，即
因为在椭圆上，所以，又，
联立方程可得，，所以椭圆的方程为
（2）设，，，
当时，联立得，
所以，，中点为.
线段得中垂线方程为，
令，解得，所以，所以，
令，解得，此时；
当，时，联立得，所以，，，
此时，所以在轴上存在定点，使得为定值，定值为.
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，敏小题5分，共40分.每小题只有一个符合要求）
1.与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（ ）
A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.圆上
2在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.丙与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.甲与丁相互独立
4.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
20 23 25 27 30
2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（ ）
A. B. C.8 D.
5.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A.
B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C.记第行的第个数为，则
D.第30行中第12个数与第13个数之比为13:18
7.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，（），若以原点为圆心，短轴长为直径作，为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于，两点，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法错误的是（ ）
A.当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B.存在这样的点，使得
C.当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D.当时，点的轨迹长度为
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9.下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A.两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B.设随机变量服从正态分布，若，则
C.在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好
D.某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大
10.设，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.，，，…，中最大的是 D.当时，除以16的余数是1
11.某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是（ ）
A.事件中包括78种情况 B.
C. D.
12.已知是抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（ ）
A.点到直线的距离为定值 B.以为直径的圆与相切
C.的最小值为32 D.当最小时，
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.方程的根为______.
14.某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有______种（用数字作答）.
15.袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则______.
16.已知椭圆：（），的上顶点为，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知二项式（）的展开式中，______给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1:4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项.
在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.
（1）求实数的值和展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的展开式中的常数项.
18.（一）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（1）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（2）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（二）（1）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（2）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
19.某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了市100位退休人员，统计数据如下表所示：
患痴呆症 不患痴呆症 合计
上网 16 32 48
不上网 34 18 52
合计 50 50 100
（1）依据的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？
（2）从该市退休人员中任取一位，记事件为“此人患痴呆症”，为“此人上网”，则为“此人不患痴呆症”，定义事件的强度，在事件发生的条件下的强度.
（1）证明：：
（ii）利用抽样的样本数据，估计的值.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20.如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
21.某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为.甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求甲、乙两名学生恰好答对2个问题的概率；
（2）设甲答对的题数为，乙答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
22.椭圆：（），直线经过椭圆的一个焦点与其相交于点，，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的垂直平分线与轴相交于点，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，说明理由.
参考答案
单项选择题
1. B 2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 7. A 8. B
多项选择题
9. ACD 10. ABD 11. BC 12. BCD
填空题
13.11 14.1259 15. 16.13
解答题
17.【详解】（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使该项为常数，则；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；
该两种组合都会得到，所以，解得；
所以二项式系数最大的项为或，
（2）由（1）可知，，
所以有
所以常数项为
令，，解得，；所以常数项为.
18.一、（1）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种.
（2）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，所以不同的安排方法有种方法.
二、（1）把4名干部按1:3分成两组，有种分组方法，按2:2分成两组，有种分组方法，
所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）.
（2）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，其中中间一列按从下往上有1种，占，
最右一列按从下往上只有1种，占，所以不同取法数是（种）.
19.（1）根据列联表中的数据，得
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2），
所以，，
故
.
（ⅱ）由样本数据可得，，
所以，所以估计的值为2.
20.（1）证明：取的中点，连接，，
因为，分别是棱，的中点，
则，，
四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，平面；
（2）解：在平面中过点作于，连接，
平面平面，平面平面，
平面，又因为，，
所以，，，因为点为的中点，，
故以为原点，、、分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，，，所以取，
设直线与平面所成角为，
则.
21.（1）由题意，知甲恰好答对2个问题的概率为，
乙恰好答对2个问题的概率为.
（2）的可能取值为1，2，，
则；；.
所以，
.
易知，所以，.
因为且，甲的平均水平更好，也比乙更稳定.所以选择学生甲.
22.（1）因为直线经过椭圆的一个焦点，所以为椭圆的焦点，即
因为在椭圆上，所以，又，
联立方程可得，，所以椭圆的方程为
（2）设，，，
当时，联立得，
所以，，中点为.
线段得中垂线方程为，
令，解得，所以，所以，
令，解得，此时；
当，时，联立得，所以，，，
此时，所以在轴上存在定点，使得为定值，定值为.
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