贵州省遵义市多校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（含解析）

遵义市多校2023-2024学年高二上学期12月联考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册第一章至第二章第四节.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线与直线平行，则（ ）
A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3
2.在空间直角坐标系中，点在平面上的投影的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.圆与圆的位置关系为（ ）
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
4.已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线与圆交于两点，则（ ）
A.2 B. C. D.4
6.如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ）
A.
B.
C.
D.
7.在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.在三棱台中，的重心为的中点为与相交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各组向量中互相平行的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知圆，圆，则（ ）
A.直线与直线垂直
B.与没有公共点
C.与的位置关系为外离
D.若分别为圆与圆上的动点，则的最大值为
11.已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（ ）
A.直线不经过第二象限的充要条件是
B.线段的中点的轨迹方程为
C.当时，的最小值为
D.当时，的最小值为
12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A.若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B.若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C.若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D.若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的倾斜角为__________.
14.已知向量，则在上的投影向量的模为__________.
15.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为__________.
16.已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知直线，直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18.（12分）
如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记.
（1）求的值；
（2）求.
19.（12分）
已知经过点的圆的圆心在轴上，且与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）若，点在圆上，求的取值范围.
20.（12分）
已知直线的方程为.
（1）证明：不论为何值，直线过定点.
（2）过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程.
21.（12分）
如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，且，正三角形的边长为2.
（1）证明：平面.
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
22.（12分）
如图，在三棱锥中，为的中点.
（1）证明：.
（2）若，求二面角的余弦值.
遵义市多校2023-2024学年高二上学期12月联考
数学参考答案
1.B 由，解得或.当时，两直线重合；当时，符合题意.
2.D 点在平面上的投影的坐标为.
3.D 由题意得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含.
4.A 因为向量，所以向量在向量上的投影向量，.
5.B 由题意得圆，则圆心到直线的距离为，所以.
6.B 因为分别为的中点，所以.因为为的重心，所以，
所以.
7.C 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则由得令，得，故点到平面的距离为.
8.D 如图，延长交于点，则为的中点，.易得，则，得，所以
9.BCD 对于，因为，所以不平行；对于，因为，所以；对于，因为，所以；对于，因为零向量与任何向量都平行，所以.
10.BD 由题意可知圆，圆，则，则，不正确.因为-3，所以与的位置关系为内含，正确，不正确.由题易知的最大值为，D正确.
11.BC 显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以不正确；
设的中点为，则因为，
所以，即线段的中点的轨迹方程为，故B正确；
圆心，半径为，当时，直线的方程为，因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确；
设关于直线的对称点为，则解得即，
因为，所以，所以的最小值为，故D不正确.
12.ACD 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.若秒针指向了钟上数字5，则，则，，所以，A正确.，故是平面的一个法向量.因为，所以，所以与不垂直，从而与平面不平行，B不正确.若秒针指向了钟上数字4，则，C正确.由，得.因为，所以外接圆的半径，
则四面体的外接球的半径，则，故四面体的外接球的表面积为，D正确.
13. 由题意得直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为.
14. 因为，所以，所以在方向上的投影向量的模为.
15. 设直线与平面所成的角为，则，所以.
16. 圆的圆心为，所以经过点.由，得，所以的坐标为.因为圆的半径为3，所以.
17.解：（1）因为，所以，
整理得，
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
（2）因为，所以，
解得.
18.解：（1）因为是的中点，，所以
，
又，所以，
则.
（2）因为，所以
由正四面体的棱长为4，可得
，
故.
19.解：（1）设圆，
由题意得解得
所以圆的方程为.
（2）设，由，得，
则
.
当时，取得最小值，最小值为10；
当时，取得最大值，最大值为34.
故的取值范围为.
20.（1）证明：直线的方程可整理为.
由
所以直线过定点.
（2）解：由（1）知，直线过定点，
设过点且与直线垂直的直线方程为，
令，则.
令，则.
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
21.（1）证明：因为四边形为矩形，所以.
又平面平面，
所以平面.
因为平面平面平面，所以.
又平面平面，
所以平面.
（2）解：分别取的中点，连接，
因为平面平面为正三角形，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设，则，
设平面的法向量为，
则由得
令，得.
因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得
或（舍去），
故.
22.（1）证明：连接，
因为为的中点，
所以.
因为，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：由（1）可知，两两垂直，以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
因为，所以.
设平面的法向量为，
因为，
所以令，
得.
取平面的法向量.
设二面角为，则，
故二面角的余弦值为.