吉林省长春市名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单选题（每题5分）
1．（2023高二上·长春期中）若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·长春期中）直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．2或
3．（2023高二上·长春期中）2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·长春期中）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
5．（2023高二上·齐齐哈尔期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·长春期中）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．4
7．（2023高二上·长春期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·长春期中）在平面直角坐标系中，点，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分）
9．（2023高二上·长春期中）已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆离心率为 B．的最大值为3
C． D．
10．（2023高二上·长春期中）已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高二上·长春期中）平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于原点对称
C．面积的最大值为2 D．的取值范围为
12．（2023高二上·长春期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为
B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2
D．直线恒过定点
三、填空题（每题5分）
13．（2023高二上·长春期中）椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ．
14．（2023高二上·长春期中）点关于直线对称的点的坐标为 ．
15．（2020高二上·大同期中）已知点M（1，0）是圆C: 内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 ．
16．（2023高二上·长春期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为 ．
四、解答题
17．（2023高二上·长春期中）已知双曲线（）的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，求．
18．（2023高二上·长春期中）如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
19．（2023高二上·长春期中）设直线及直线外一点．
（1）写出点到直线的距离公式；
（2）求证点到直线的距离公式．
20．（2023高二上·长春期中）已知两圆和．
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程；
（2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程．
21．（2023高二上·长春期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，底面为棱上的一点．
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
22．（2023高二上·长春期中）已知点在椭圆（）上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且的斜率之积为．
（1）求的方程；
（2）过的两焦点作两条相互平行的直线交于和，求四边形面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；斜率的计算公式；空间直线的向量参数方程
【解析】【解答】解：由题意知直线的斜率又因为所以
故答案为：C.
【分析】由直线的方向向量得到直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的公式，即可求解。
2．【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：由两直线平行可得：解得，
当时，两直线方程均为重合，因此
故答案为：A.
【分析】先由两直线平行可得再验证两直线重合的情况，即可求解。
3．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知即所以
故答案为：D.
【分析】根据题意列出关于a，c的等式，求出a，c的值，代入离心率公式即可求解。
4．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的定义知：因为所以当时，舍去。所以
故答案为：C.
【分析】本题考查双曲线的定义以及双曲线上一点到焦点的距离最小值为c-a，代入公式即可求解。
5．【答案】A
【知识点】空间直线的向量参数方程；异面直线；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，可得直线l的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则.
故选：A.
【分析】根据题意，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设弦的端点则两式相减得所以
故答案为：A.
【分析】设出弦的端点并代入椭圆方程，两式相减，利用中点公式求出的值并代入相减后的式子，结合直线的斜率公式即可求解。
7．【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取B1C1的中点为F，连接EF，FD1，过点P作PG//EF交FD1于点G，连接GC1，则PG//CC1，从而线段GC1的长即为点P到直线CC1的距离。当GC1垂直FD1时，
故答案为：A.
【分析】 求点到直线的距离的最小值 ，利用中点先做辅助线，得到线段GC1的长即为点P到直线CC1的距离。再利用等面积法求出GC1的最小值。
8．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设点因为所以即
要使直线上存在点，使得，则直线与有交点，则
即.
故答案为：B.
【分析】由已知得到点M的轨迹方程为圆，要使直线上存在点，使得，则必须直线与圆有交点，根据点到直线的距离公式即可求解。
9．【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程知：
对于A：A正确；
对于B：的最大值为a+c=3，B正确；
对于C：当点P是短轴的端点时，最大，此时C正确；
对于D：由椭圆定义知D错误。
故答案为：ABC.
【分析】本题考查椭圆的定义，性质，由椭圆标准方程，求出a，b，c代入即可求解。
10．【答案】C,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由已知知，点A在圆外，因此有2条切线，因为圆心为（0，0），半径为2，
点A（2，-1），所以x=2是圆的一条切线；
设切线的斜率为k，则切线方程为：，由得，
则切线方程为：
故答案为：CD.
【分析】根据题意分情况讨论，当切线斜率不存在时x=2，当斜率存在时设出切线方程，根据圆心到切线的距离等于半径，即可求解。
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；与直线关于点、直线对称的直线方程；轨迹方程
【解析】【解答】解：设点P（x，y)，因为 ，所以即，A正确；
将点代入曲线方程得，B正确；
由曲线方程知，即得则当时，当时，D正确；
令当时，所以的面积的最大值为C错误。
故答案为：ABD.
【分析】设出点P坐标，根据等量关系即可求出曲线方程；将点代入曲线方程，方程不变，B正确；根据曲线方程，求出变量x，y的范围，再结合三角形面积公式，可知C错误，D正确。
12．【答案】A,B,C
【知识点】恒过定点的直线；圆的切线方程；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆心C（2，0），半径为1，所以圆心到直线l的距离为而故A错误；
对于B，由圆的性质，切线长因为所以故B错误；
对于C，四边形ACBP的面积为所以最小值为1，C错误；
对于D，设P(t，-t)，由题意知A，B在以PC为直径的圆上，又C（2，0），所以
即又圆，即故直线AB的方程为
即由解得即直线AB恒过定点，D正确.
故答案为：ABC.
【分析】本题综合考查圆与切线的相关问题。根据圆心和半径的值，根据圆心到直线的距离公式可判定A错误，根据勾股定理与圆的性质可判定B错误，由于切线的特殊性可得四边形ACBP的面积为所以最小值为1，C错误；由题意知A，B在以PC为直径的圆上，求出直线AB方程，即可得解D正确。
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设焦点在x轴的椭圆的上下顶点分别为A，B， 因为一焦点F与短轴两顶点组成等边三角形，
所以即
故答案为：.
【分析】根据题意，结合椭圆a，b，c的几何意义即可求解。
14．【答案】
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设点关于直线对称的点为（a，b)，则得
故答案为：.
【分析】由对称性知，点和点（a，b)的中点在直线上，且两点的连线与已知直线垂直，斜率之积为1，结合这两点即可求解.
15．【答案】x+y-1=0
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】最短的弦与CM垂直，圆C： 的圆心为C（2，1），
，
∴最短弦的方程为y 0＝ 1（x 1），即x＋y 1＝0。
【分析】利用几何法结合最短的弦与CM垂直，再利用圆的一般方程求出圆心坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用点斜式求出过点M的最短弦所在的直线方程。
16．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；圆的标准方程；点与圆的位置关系；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由圆的方程知圆心A为（1，0），半径设
由椭圆方程得
所以
故答案为：.
【分析】由圆的性质知结合椭圆方程和二次函数最值求出，代入即可得解。
17．【答案】（1）解：由已知，又，则，所以双曲线方程为．
（2）解：由，得，
则，
设，则，
所以
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意知，a，c的值，再利用，求出b的值，代入方程即可求解。
（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理和公式即可求解。
18．【答案】（1）解：，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2）解：设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
【知识点】空间点、线、面的位置；平面的法向量；异面直线；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出 的坐标，代入公式为即可得解；
(2)先求出平面BDF的法向量，则点到平面的距离为，代入向量与的坐标，即可求解.
19．【答案】（1）解：平面直角坐标系中，点到直线的距离为；
（2）解：如图，
设是直线上任意一点，则，直线的方向向量为，则可取直线法向量为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线的方向向量；平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式直接得解；
（2）根据直线方程，写出直线方向向量与法向量，则点到直线的距离即为向量在直线法向量上的投影，即。
20．【答案】（1）解：由圆和，
两个圆的方程相减，可得，
即两圆的公共弦所在直线的方程为．
（2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为，
由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上，
由方程组，解得，
又由方程组，解得或，
即两个圆的交点为或，即所求圆的圆心坐标为，
半径，所以所求圆的方程为．
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）两圆方程相减，即可得两圆的公共弦所在直线的方程；
（2）先由两圆方程求得两圆圆心坐标与圆心所在直线方程，再联立所求圆的圆心所在方程即可得出所求圆的圆心坐标，由已知两圆方程解得交点坐标即可求出半径，最后带入圆的标准方程即可求解.
21．【答案】（1）证明：过点作，垂足为，
在等腰梯形中，因为，所以．
在中，，则，则．
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，以．
（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，
，则，
则．
设平面的法向量为，则令，
得．
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
故当二面角的余弦值为时，．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)过点作，垂足为，结合已知与余弦定理可求得，又因为，所以平面，；
（2）建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量，再根据二面角的余弦值为，求出的值，即可得解。
22．【答案】（1）解：由题意得，
设，
则，
故，
又的斜率之积为，故，解得，
所以椭圆；
（2）解：由（1）知，，
故，
当的斜率不存在时，四边形为矩形，
令得，，故，同理可得，
故，
故四边形面积为，
当的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形，
设，联立得，
易得，设，
则，
则
．
设点到直线的距离为，则，
故四边形面积为，
令，则，
则，
因为，所以，
故，，，，
故，
综上：四边形面积的取值范围是．
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设点T（m，n)，由已知写出点A，B坐标，代入椭圆方程，再结合 的斜率之积为 ，即可求得的值与椭圆方程；
(2)分类讨论，当直线斜率不存在时，四边形为矩形，根据c的值即可求出矩形的长与宽，进而求解；当斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，求得直线与曲线交点线段的距离，并求出焦点到直线的距离，得出四边形PQNM的面积式子，最后利用换元法和二次函数的最值，即可得解。
1 / 1吉林省长春市名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单选题（每题5分）
1．（2023高二上·长春期中）若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；斜率的计算公式；空间直线的向量参数方程
【解析】【解答】解：由题意知直线的斜率又因为所以
故答案为：C.
【分析】由直线的方向向量得到直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的公式，即可求解。
2．（2023高二上·长春期中）直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．2或
【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：由两直线平行可得：解得，
当时，两直线方程均为重合，因此
故答案为：A.
【分析】先由两直线平行可得再验证两直线重合的情况，即可求解。
3．（2023高二上·长春期中）2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知即所以
故答案为：D.
【分析】根据题意列出关于a，c的等式，求出a，c的值，代入离心率公式即可求解。
4．（2023高二上·长春期中）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的定义知：因为所以当时，舍去。所以
故答案为：C.
【分析】本题考查双曲线的定义以及双曲线上一点到焦点的距离最小值为c-a，代入公式即可求解。
5．（2023高二上·齐齐哈尔期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间直线的向量参数方程；异面直线；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，可得直线l的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则.
故选：A.
【分析】根据题意，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
6．（2023高二上·长春期中）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设弦的端点则两式相减得所以
故答案为：A.
【分析】设出弦的端点并代入椭圆方程，两式相减，利用中点公式求出的值并代入相减后的式子，结合直线的斜率公式即可求解。
7．（2023高二上·长春期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取B1C1的中点为F，连接EF，FD1，过点P作PG//EF交FD1于点G，连接GC1，则PG//CC1，从而线段GC1的长即为点P到直线CC1的距离。当GC1垂直FD1时，
故答案为：A.
【分析】 求点到直线的距离的最小值 ，利用中点先做辅助线，得到线段GC1的长即为点P到直线CC1的距离。再利用等面积法求出GC1的最小值。
8．（2023高二上·长春期中）在平面直角坐标系中，点，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设点因为所以即
要使直线上存在点，使得，则直线与有交点，则
即.
故答案为：B.
【分析】由已知得到点M的轨迹方程为圆，要使直线上存在点，使得，则必须直线与圆有交点，根据点到直线的距离公式即可求解。
二、多选题（每题5分）
9．（2023高二上·长春期中）已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆离心率为 B．的最大值为3
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程知：
对于A：A正确；
对于B：的最大值为a+c=3，B正确；
对于C：当点P是短轴的端点时，最大，此时C正确；
对于D：由椭圆定义知D错误。
故答案为：ABC.
【分析】本题考查椭圆的定义，性质，由椭圆标准方程，求出a，b，c代入即可求解。
10．（2023高二上·长春期中）已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由已知知，点A在圆外，因此有2条切线，因为圆心为（0，0），半径为2，
点A（2，-1），所以x=2是圆的一条切线；
设切线的斜率为k，则切线方程为：，由得，
则切线方程为：
故答案为：CD.
【分析】根据题意分情况讨论，当切线斜率不存在时x=2，当斜率存在时设出切线方程，根据圆心到切线的距离等于半径，即可求解。
11．（2023高二上·长春期中）平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于原点对称
C．面积的最大值为2 D．的取值范围为
【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；与直线关于点、直线对称的直线方程；轨迹方程
【解析】【解答】解：设点P（x，y)，因为 ，所以即，A正确；
将点代入曲线方程得，B正确；
由曲线方程知，即得则当时，当时，D正确；
令当时，所以的面积的最大值为C错误。
故答案为：ABD.
【分析】设出点P坐标，根据等量关系即可求出曲线方程；将点代入曲线方程，方程不变，B正确；根据曲线方程，求出变量x，y的范围，再结合三角形面积公式，可知C错误，D正确。
12．（2023高二上·长春期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为
B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2
D．直线恒过定点
【答案】A,B,C
【知识点】恒过定点的直线；圆的切线方程；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆心C（2，0），半径为1，所以圆心到直线l的距离为而故A错误；
对于B，由圆的性质，切线长因为所以故B错误；
对于C，四边形ACBP的面积为所以最小值为1，C错误；
对于D，设P(t，-t)，由题意知A，B在以PC为直径的圆上，又C（2，0），所以
即又圆，即故直线AB的方程为
即由解得即直线AB恒过定点，D正确.
故答案为：ABC.
【分析】本题综合考查圆与切线的相关问题。根据圆心和半径的值，根据圆心到直线的距离公式可判定A错误，根据勾股定理与圆的性质可判定B错误，由于切线的特殊性可得四边形ACBP的面积为所以最小值为1，C错误；由题意知A，B在以PC为直径的圆上，求出直线AB方程，即可得解D正确。
三、填空题（每题5分）
13．（2023高二上·长春期中）椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设焦点在x轴的椭圆的上下顶点分别为A，B， 因为一焦点F与短轴两顶点组成等边三角形，
所以即
故答案为：.
【分析】根据题意，结合椭圆a，b，c的几何意义即可求解。
14．（2023高二上·长春期中）点关于直线对称的点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设点关于直线对称的点为（a，b)，则得
故答案为：.
【分析】由对称性知，点和点（a，b)的中点在直线上，且两点的连线与已知直线垂直，斜率之积为1，结合这两点即可求解.
15．（2020高二上·大同期中）已知点M（1，0）是圆C: 内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 ．
【答案】x+y-1=0
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】最短的弦与CM垂直，圆C： 的圆心为C（2，1），
，
∴最短弦的方程为y 0＝ 1（x 1），即x＋y 1＝0。
【分析】利用几何法结合最短的弦与CM垂直，再利用圆的一般方程求出圆心坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用点斜式求出过点M的最短弦所在的直线方程。
16．（2023高二上·长春期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；圆的标准方程；点与圆的位置关系；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由圆的方程知圆心A为（1，0），半径设
由椭圆方程得
所以
故答案为：.
【分析】由圆的性质知结合椭圆方程和二次函数最值求出，代入即可得解。
四、解答题
17．（2023高二上·长春期中）已知双曲线（）的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，求．
【答案】（1）解：由已知，又，则，所以双曲线方程为．
（2）解：由，得，
则，
设，则，
所以
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意知，a，c的值，再利用，求出b的值，代入方程即可求解。
（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理和公式即可求解。
18．（2023高二上·长春期中）如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）解：，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2）解：设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
【知识点】空间点、线、面的位置；平面的法向量；异面直线；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出 的坐标，代入公式为即可得解；
(2)先求出平面BDF的法向量，则点到平面的距离为，代入向量与的坐标，即可求解.
19．（2023高二上·长春期中）设直线及直线外一点．
（1）写出点到直线的距离公式；
（2）求证点到直线的距离公式．
【答案】（1）解：平面直角坐标系中，点到直线的距离为；
（2）解：如图，
设是直线上任意一点，则，直线的方向向量为，则可取直线法向量为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线的方向向量；平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式直接得解；
（2）根据直线方程，写出直线方向向量与法向量，则点到直线的距离即为向量在直线法向量上的投影，即。
20．（2023高二上·长春期中）已知两圆和．
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程；
（2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】（1）解：由圆和，
两个圆的方程相减，可得，
即两圆的公共弦所在直线的方程为．
（2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为，
由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上，
由方程组，解得，
又由方程组，解得或，
即两个圆的交点为或，即所求圆的圆心坐标为，
半径，所以所求圆的方程为．
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）两圆方程相减，即可得两圆的公共弦所在直线的方程；
（2）先由两圆方程求得两圆圆心坐标与圆心所在直线方程，再联立所求圆的圆心所在方程即可得出所求圆的圆心坐标，由已知两圆方程解得交点坐标即可求出半径，最后带入圆的标准方程即可求解.
21．（2023高二上·长春期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，底面为棱上的一点．
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明：过点作，垂足为，
在等腰梯形中，因为，所以．
在中，，则，则．
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，以．
（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，
，则，
则．
设平面的法向量为，则令，
得．
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
故当二面角的余弦值为时，．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)过点作，垂足为，结合已知与余弦定理可求得，又因为，所以平面，；
（2）建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量，再根据二面角的余弦值为，求出的值，即可得解。
22．（2023高二上·长春期中）已知点在椭圆（）上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且的斜率之积为．
（1）求的方程；
（2）过的两焦点作两条相互平行的直线交于和，求四边形面积的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，
设，
则，
故，
又的斜率之积为，故，解得，
所以椭圆；
（2）解：由（1）知，，
故，
当的斜率不存在时，四边形为矩形，
令得，，故，同理可得，
故，
故四边形面积为，
当的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形，
设，联立得，
易得，设，
则，
则
．
设点到直线的距离为，则，
故四边形面积为，
令，则，
则，
因为，所以，
故，，，，
故，
综上：四边形面积的取值范围是．
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设点T（m，n)，由已知写出点A，B坐标，代入椭圆方程，再结合 的斜率之积为 ，即可求得的值与椭圆方程；
(2)分类讨论，当直线斜率不存在时，四边形为矩形，根据c的值即可求出矩形的长与宽，进而求解；当斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，求得直线与曲线交点线段的距离，并求出焦点到直线的距离，得出四边形PQNM的面积式子，最后利用换元法和二次函数的最值，即可得解。
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