南京市名校2023-2024学年高一上学期12月阶段性检测
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合M=｛x|1A．｛x|-12．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3. 已知，则的值是（ ）
A． B． C．24 D．
4. 函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．已．则点可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设方程，的根分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ）
A． B．弧长
C．扇形的周长为 D．扇形的面积为
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图象恒过定点
B．函数与是相同的函数
C．函数的最小值为6
D. 若不等式的解集为或，则
11．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
12. 若存在实数M，使得在和的定义域的交集上恒成立，则称与具有“近似关系”，下列说法正确的是（ ）
A．，具有“2近似关系”
B．，具有“3近似关系”
C．与具有“1近似关系”
D．与定义域相同，且具有“1近似关系”，则的值域包含于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知幂函数在上是增函数，且满足，请写出一个满足条件的的值 .
14．函数的单调递增区间是 .
15．已知函数，则 .
16. 已知正数满足，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题10分）求下列各式的值：
（1）；
（2）.
18.（本题12分）已知集合，.
（1）求集合、；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
若是成立的 条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
19.（本题12分）已知函数.
（1）求的值；
（2）若是三角形的一个内角，且，求的值.
20.（本题12分）我国生产的3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
21.（本题12分）设函数（，）．
（1）证明函数是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3），求的最大值．
22.（本题12分）已知函数，，其中，.
（1）证明：；
（2）若,求实数的值；
（3）问是否存在实数，使得函数的定义域为时，其值域恰好为
？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.南京市名校2023-2024学年高一上学期12月阶段性检测
数学 教师版
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合M=｛x|-1A．｛x|-1【答案】B
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据全称命题与特称命题的否定关系即可判断求解．
【解答】解：因为命题“，”为全称命题，而全称命题的否定是特称命题
命题“，”的否定是“，”，
故选A．
【点拨】本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
3. 已知，则的值是（ ）
A． B． C．24 D．
【答案】B
4. 函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用函数的单调性求解不等式的问题，属于基础题．
利用函数的单调性求解不等式即可，注意定义域．
【解答】
解：函数在上为增函数，
有
解得：．
不等式的解集为
故选A．
5. 如图角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义结合，即可判断.
【详解】设，则.
因为，所以，所以则ACD错误.
故选：B
6．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
7．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出与的最大值，满足即可.
【详解】，，有，解得，即A正确.
故选：A.
8．设方程，的根分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：题意得是函数的图象和图象的交点的横坐标，
是的图象和函数图象的交点的横坐标，
且，正实数，如图所示：
故有，故，
，即 ，
所以．
故选A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ）
A． B．弧长
C．扇形的周长为 D．扇形的面积为
【答案】BC
【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案.
【详解】，所以A错；
弧长，所以B对；
扇形的周长为，所以C对；
面积为，所以D错；
故选：BC
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图象恒过定点
B． 函数与是相同的函数
C．函数的最小值为6
D.若不等式的解集为或，则
【答案】AB
【分析】根据指数幂的运算性质，结合一元二次不等式的性质、基本不等式、不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数且的图象恒过定点，故正确.
对于，由得，所以的定义域为，
由得，所以的定义域为，
又因为，故函数与是相同的函数，
故B正确；
对于，当且仅当时取等号，
方程无解，等号不成立，故C错误.
对于，关于的不等式的解集为或，故必有
，进而得到，故错误.
【点睛】关键点睛：判断运用基本不等式时要考虑等号成立的条件是解题的关键.
11．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案
【详解】对于A：，定义域为，，
则为奇函数，故A错误；
对于B：，定义域为，
，
则为奇函数，故B正确；
对于C：，，都为奇函数，
则为奇函数，
在区间上的最大值与最小值互为相反数，
必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
对于D：，则在上为减函数，
，则在上为减函数，
则在上为减函数，
若即，
则必有，解得，
即的解集为，故D正确；
故选：BCD
12. 若存在实数M，使得在和的定义域的交集上恒成立，则称与具有“近似关系”，下列说法正确的是（ ）
A．，具有“2近似关系”
B．，具有“3近似关系”
C．与具有“1近似关系”
D．与定义域相同，且具有“1近似关系”，则的值域包含于
【答案】BCD
【分析】作差即可说明A、B项；分别求出的值域，即可说明C项；换元法求出的值域，根据已知结合定义，即可得出D项.
【详解】对于A项，易知定义域均为R，
因为，
所以，不存在实数M，使得在R上恒成立.故A项错误；
对于B项，易知定义域均为，
因为在上恒成立，
所以，根据定义可知，，具有“2近似关系”.故B正确；
对于C项，因为，
当时，，，所以.
因为在上单调递增，所以.
所以，在上恒成立.
根据定义可知，与具有“1近似关系”.故C正确；
对于D项，令，，则，
设，，
根据二次函数的性质可知，，所以.
因为与定义域相同，且具有“1近似关系”，
根据定义可知，在上恒成立，
所以，.
因为，所以，
所以，的值域包含于.故D项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知幂函数在上是增函数，且满足，请写出一个满足条件的的值 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题设条件以及幂函数的定义、图象与性质，写出一个满足条件的的值即可.
【详解】∵幂函数在上是增函数，
∴根据幂函数的图象与性质可得，
∵，
∴，即，
∴写出一个满足条件的的值：当时，满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
14．函数的单调递增区间是 .
【答案】
【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可.
【详解】 的定义域为，解得，
或,
求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间,
, 可知单调递减区间为,
综上可得, 函数单调递增区间为 .
故答案为:.
15．已知函数，则 .
【答案】
【分析】由已知可得，的周期，然后求出，根据函数的周期性，即可得出答案.
【详解】由题意可知，函数的最小正周期.
又，，，，
所以.
又，所以.
故答案为：.
16．已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值.
【详解】因为，故.
又，
故的最小值为
【点睛】本题考查在二元不等条件下三元目标代数式的最值，注意根据所求的最值的类型和题设中已知条件的不等式的方向进行合理的放缩，本题属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题10分）求下列各式的值：
【答案】解：原式．
原式．
【解析】本题考查分数指数幂的运算法则与对数运算法则，属于基础题型．
利用幂的运算法则计算；
根据对数运算法则计算．
18.（本题12分）已知集合，.
（1）求集合、；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
若是成立的 条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可得答案；
（2）选：①充分不必要条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：②必要不充分条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：③充要条件，则，再根据集合关系求解即可；
【详解】解：（1）不等式，故，
不等式，由于，
故
（2）选：①充分不必要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，
所以实数的取值范围为：
选：②必要不充分条件
由（1）知，，
因为若是成立的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，又因为，故
所以实数的取值范围为：；
选：③充要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充要条件，所以，
所以，方程组无解.
所以不存在实数使得是成立的充要条件；
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是qq的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是qq的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是qq的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是qq的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
19.（本题12分）已知函数.
（1）求的值；
（2）若是三角形的一个内角，且，求的值；
【答案】（1）先化简的表达式
.
（2）由题意知，，平方得，
，，
因为且，所以，
从而得，故，得.
20.（本题12分）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【答案】（1）
（2）封装160万片时，公司可获得最大利润
【解析】
【分析】（1）根据利润=销售额-成本即可得利润的函数解析式；
（2）根据（1）利润的函数解析式，分段求解函数最值，最终比较得最大值即可.
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
综上可知；
【小问2详解】
解：当时，，
∴当时，利润取最大值700万元；
当时，，
∴当且仅当“”，即“”时，利润取最大值730万元，
综上所述，封装160万片时，公司可获得最大利润730万元．
21．（本题12分）设函数（，）．
（1）证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3），求的最大值．
【答案】(1)证明见解析，是减函数；
(2)(－3，5)；
(3)2﹒
【详解】（1）证明：的定义域为，关于原点对称，
且，
∴为奇函数，
∵，∴递增，递增，故是增函数；.........2
（2）由（1）得在上单调递增，
不等式化为，
∴，即恒成立，......4
∴，
解得；...........6
（3）∵，∴，即，
解得或(舍去)，...........7
∴，
令，由(1)可知为增函数，
..................9
令，
...................12
22.（本题12分）已知函数，，其中，.
（1）证明：；
（2）若,求实数的值；
（3）问是否存在实数，使得函数的定义域为时，其值域恰好为
？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】
⑴由得，或，由于，故，所以.2
(2) 若,则，...3
(3)若存在适合题意的实数，则由及知，
因为函数的值域恰好为，....7
所以，必有.
又因为在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递减，从而有：
即所以
这表明是关于的方程的两个相异实根，所以问题转化为关于的方程在区间上有两个相异实根，.......
令，则应有
即10
由知，故.
综上，存在适合题意的实数，其取值范围是........12
