黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年九年级（上）九月月考数学试卷 （五四学制）（含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年九年级（上）九月月考数学试卷 （五四学制）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 467.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-19 14:12:23 | ||
图片预览
文档简介
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考数学试卷 （9月份）（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下面关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．2x2﹣＝4
C．2x2﹣3xy+4＝0 D．x2＝1
2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
4．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
5．（3分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．60°
6．（3分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
7．（3分）将二次函数y＝2x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x﹣4）2+32
C．y＝2（x﹣2）2﹣9 D．y＝2（x﹣4）2﹣33
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81
C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝81
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1．下列结论中：①ac＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0；⑤a+b＞am2+bm．上述结论正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是 ．
12．（3分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 ．
13．（3分）若关于x的方程ax2﹣4x+3＝0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．
14．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ．
15．（3分）如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为 ．
16．（3分）一个等腰三角形的两条不相等的边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是 ．
17．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 ．
18．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝ ．
三、解答题（19～24题每题6分，25～27题每题10分，共66分）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x+8＝0；
（2）x2﹣8x+1＝0．
20．（6分）图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是 图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是 （结果保留π）．
21．（6分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求他将铅球推出的水平距离和最大高度．
22．（6分）如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当∠AOC＝105°，∠BOC＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
23．（6分）如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
24．（6分）已知关于x的二次函数y＝mx2﹣（m+2）x+2（m≠0，m≠2）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．
25．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 元．
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？
26．（10分）已知：△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，连接BD，取DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，连接FG、GH、HF．
（1）当点D在AC边上，点E在BC边上时，如图1，判断△FGH的形状为 ；
（2）把图1中△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断△FGH的形状是否改变？请说明理由；
（3）把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若AC＝10，DC＝6，求线段GH的最大值与最小值．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线AC下方的抛物线上，连接PA、PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为s，求s与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作y轴的平行线与AC相交于点Q，当线段PQ的长度最大时，求s的值．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考数学试卷 （9月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下面关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．2x2﹣＝4
C．2x2﹣3xy+4＝0 D．x2＝1
【解答】解：A、ax2+bx+c＝0中，a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、分母中含有字母，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项错误．
故选：D．
2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
3．（3分）已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【解答】解：∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣3．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴其顶点坐标为（2，3）．
故选：B．
5．（3分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．60°
【解答】解：∵根据题意得：AC＝AC′，∠AC′B′＝∠C＝70°，
∴∠AC′C＝∠C＝70°，
∴∠AC′B＝180°﹣∠AC′C＝110°，
∴∠B′C′B＝∠AC′B﹣∠AC′B′＝40°．
故选：B．
6．（3分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
【解答】解：A、这里a＝1，b＝0，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里a＝1，b＝1，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里a＝1，b＝﹣1，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，
∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选：D．
7．（3分）将二次函数y＝2x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x﹣4）2+32
C．y＝2（x﹣2）2﹣9 D．y＝2（x﹣4）2﹣33
【解答】解：y＝2x2﹣8x﹣1，
＝2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，
＝2（x﹣2）2﹣9，
即y＝2（x﹣2）2﹣9．
故选：C．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
9．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81
C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝81
【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2＝81．
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1．下列结论中：①ac＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0；⑤a+b＞am2+bm．上述结论正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点位于y轴正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，
∴ac＜0，所以①错误；②正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＝＜0，所以④错误，⑤∵抛物线开口向下，
∴当x＝1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为一切实数），
∴a+b≥am2+bm，故⑤错误；故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是 x1＝2，x2＝﹣3 ．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣3
12．（3分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 y＝（x+2）2+1 ．
【解答】解：依题意，得y＝（x+2）2﹣3+4＝（x+2）2+1，
故答案为：y＝（x+2）2+1．
13．（3分）若关于x的方程ax2﹣4x+3＝0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4a×3＝0，
解得a＝．
故答案为．
14．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ﹣6 ．
【解答】解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，
∴2+x1＝﹣4，
∴x1＝﹣6，
∴该方程的另一个根是﹣6．
15．（3分）如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为 （，﹣1） ．
【解答】解：如图，设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC＝60°﹣30°＝30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC＝×2＝，
A1C＝×2＝1，
又∵A1在第四象限，
∴点A1的坐标为（，﹣1）．
故答案为（，﹣1）．
16．（3分）一个等腰三角形的两条不相等的边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是 10或11 ．
【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0，x﹣4＝0，
x1＝3，x2＝4，
①等腰三角形的三边是3，3，4，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长是3+3+4＝10；
②等腰三角形的三边是3，4，4，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+4+4＝11；
即等腰三角形的周长是10或11．
故答案为10或11．
17．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 8 ．
【解答】解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
故点D的横坐标最大值为8；
故答案为：8．
18．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝ 2 ．
【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．
∴C13与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），
当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．
故答案为：2．
三、解答题（19～24题每题6分，25～27题每题10分，共66分）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x+8＝0；
（2）x2﹣8x+1＝0．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4；
（2）x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+42＝﹣1+16
（x﹣4）2＝15，
，
∴，．
20．（6分）图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是 轴对称 图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是 4π （结果保留π）．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）所画图形是轴对称图形；
旋转的度数之和为270°+90°×2+270°＝720°，
所画图形的周长＝＝4π．
故答案为：4π．
21．（6分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求他将铅球推出的水平距离和最大高度．
【解答】解：∵
＝﹣（x2﹣8x+16﹣16）+＝
﹣（x2﹣8x+16）++
＝﹣（x﹣4）2+3，
∴他将铅球推出的最大高度为3m．
∵，
解得x1＝﹣2（舍）x2＝10
他将铅球推出的水平距离为10m．
22．（6分）如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当∠AOC＝105°，∠BOC＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC
∴△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：△AOD是等腰直角三角形，理由如下：
∵△COD是等边三角形∠COD＝∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°
∵∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝105°﹣60°＝45°，
∴∠OAD＝45°，
∴∠OAD＝∠AOD，
∴OD＝AD，
∴△AOD是等腰直角三角形．
23．（6分）如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入得a （﹣1﹣1）2﹣4＝0，解得a＝1，
所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
则点A（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点D的坐标为（3，0），
所以△ODC的面积＝×3×4＝6．
24．（6分）已知关于x的二次函数y＝mx2﹣（m+2）x+2（m≠0，m≠2）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴△＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2+4m+4﹣8m
＝（m﹣2）2．
∵m≠0，m≠2，
∴（m﹣2）2＞0，
∴Δ＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：令y＝0，则（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
所以 x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
解得 x1＝1，x2＝，
当m为正整数1时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，
所以 正整数m的值为1．
25．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 2000 元．
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？
【解答】解：（1）（100﹣80）×100＝2000（元）；
故答案为：2000．
（2）①依题意得：
（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160
即x2﹣10x+16＝0
解得：x1＝2，x2＝8
经检验：x1＝2，x2＝8都是方程的解，且符合题意．
答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元．
②依题意得：y＝（100﹣80﹣x）（100+10x），
∴y＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝5时，商店所获利润最大．
26．（10分）已知：△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，连接BD，取DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，连接FG、GH、HF．
（1）当点D在AC边上，点E在BC边上时，如图1，判断△FGH的形状为 等腰直角三角形 ；
（2）把图1中△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断△FGH的形状是否改变？请说明理由；
（3）把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若AC＝10，DC＝6，求线段GH的最大值与最小值．
【解答】解：（1）∵G、F是DE、BD的中点，
∴GF∥BC，GF＝BE，
∴∠DFG＝∠CBD，
∵H是AB的中点，
∴FH∥AD，FH＝AD，
∴∠DFH＝∠CDB，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∴GF＝HF，
∵∠CDB+∠CBD＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）△FGH的形状不改变，理由如下：
连接AD、BE，
∵∠ACD＝90°﹣∠BCD，∠BCE＝90°﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，
∴，FH∥AD，，FG∥BE，
∴FH＝FG，
延长AD交FG于点N，交BC于点M，交BE于点Q，
∴∠AMC＝∠BMQ，
∵∠AMC+∠CAD＝90°，
∴∠BMQ+∠CBE＝90°，
∴∠AQB＝90°，
∵FG∥BE，
∴∠ANF＝∠AQB＝90°，
∵FH∥AD，
∴∠ANF+∠GFH＝180°，
∴∠GFH＝90°，
∴△FGH是等腰直角三角形，形状不改变；
（3）由（2）可知△FGH是等腰直角三角形，
由勾股定理可得，，
∴，
在△ADC中，AC﹣CD＜AD＜AC+CD，
当点D在AC边上时，AC﹣CD＝AD；
当点D在AC延长线上时，AC+CD＝AD；
由此得AC﹣CD≤AD≤AC+CD，
∴4≤AD≤16，
当AD最大时GH最大，当AD最小时GH最小，
∴GH最大为，GH最小为．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线AC下方的抛物线上，连接PA、PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为s，求s与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作y轴的平行线与AC相交于点Q，当线段PQ的长度最大时，求s的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∴，
解得，
即抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∵点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OA＝3，OC＝3，
连接PO，如图1，
∵点P的横坐标为t，点P在直线AC下方的抛物线上，
∴P（t，t2+2t﹣3），
即xP＝t＜0，，
∵，，，
∴，
即：；
（3）如图2，
∵PQ∥y轴，点P的横坐标为t，
∴点Q的横坐标为t，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝﹣x﹣3．
∵点P（t，t2+2t﹣3），
∴，点Q（t，﹣t﹣3），
∴，
∴当时，PQ最大，
∴．
第1页（共1页）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下面关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．2x2﹣＝4
C．2x2﹣3xy+4＝0 D．x2＝1
2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
4．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
5．（3分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．60°
6．（3分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
7．（3分）将二次函数y＝2x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x﹣4）2+32
C．y＝2（x﹣2）2﹣9 D．y＝2（x﹣4）2﹣33
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81
C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝81
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1．下列结论中：①ac＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0；⑤a+b＞am2+bm．上述结论正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是 ．
12．（3分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 ．
13．（3分）若关于x的方程ax2﹣4x+3＝0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．
14．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ．
15．（3分）如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为 ．
16．（3分）一个等腰三角形的两条不相等的边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是 ．
17．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 ．
18．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝ ．
三、解答题（19～24题每题6分，25～27题每题10分，共66分）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x+8＝0；
（2）x2﹣8x+1＝0．
20．（6分）图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是 图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是 （结果保留π）．
21．（6分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求他将铅球推出的水平距离和最大高度．
22．（6分）如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当∠AOC＝105°，∠BOC＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
23．（6分）如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
24．（6分）已知关于x的二次函数y＝mx2﹣（m+2）x+2（m≠0，m≠2）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．
25．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 元．
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？
26．（10分）已知：△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，连接BD，取DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，连接FG、GH、HF．
（1）当点D在AC边上，点E在BC边上时，如图1，判断△FGH的形状为 ；
（2）把图1中△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断△FGH的形状是否改变？请说明理由；
（3）把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若AC＝10，DC＝6，求线段GH的最大值与最小值．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线AC下方的抛物线上，连接PA、PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为s，求s与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作y轴的平行线与AC相交于点Q，当线段PQ的长度最大时，求s的值．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考数学试卷 （9月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下面关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．2x2﹣＝4
C．2x2﹣3xy+4＝0 D．x2＝1
【解答】解：A、ax2+bx+c＝0中，a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、分母中含有字母，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项错误．
故选：D．
2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
3．（3分）已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【解答】解：∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣3．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴其顶点坐标为（2，3）．
故选：B．
5．（3分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．60°
【解答】解：∵根据题意得：AC＝AC′，∠AC′B′＝∠C＝70°，
∴∠AC′C＝∠C＝70°，
∴∠AC′B＝180°﹣∠AC′C＝110°，
∴∠B′C′B＝∠AC′B﹣∠AC′B′＝40°．
故选：B．
6．（3分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
【解答】解：A、这里a＝1，b＝0，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里a＝1，b＝1，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里a＝1，b＝﹣1，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，
∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选：D．
7．（3分）将二次函数y＝2x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x﹣4）2+32
C．y＝2（x﹣2）2﹣9 D．y＝2（x﹣4）2﹣33
【解答】解：y＝2x2﹣8x﹣1，
＝2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，
＝2（x﹣2）2﹣9，
即y＝2（x﹣2）2﹣9．
故选：C．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
9．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81
C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝81
【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2＝81．
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1．下列结论中：①ac＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0；⑤a+b＞am2+bm．上述结论正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点位于y轴正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，
∴ac＜0，所以①错误；②正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＝＜0，所以④错误，⑤∵抛物线开口向下，
∴当x＝1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为一切实数），
∴a+b≥am2+bm，故⑤错误；故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是 x1＝2，x2＝﹣3 ．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣3
12．（3分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 y＝（x+2）2+1 ．
【解答】解：依题意，得y＝（x+2）2﹣3+4＝（x+2）2+1，
故答案为：y＝（x+2）2+1．
13．（3分）若关于x的方程ax2﹣4x+3＝0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4a×3＝0，
解得a＝．
故答案为．
14．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ﹣6 ．
【解答】解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一个根，
∴2+x1＝﹣4，
∴x1＝﹣6，
∴该方程的另一个根是﹣6．
15．（3分）如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为 （，﹣1） ．
【解答】解：如图，设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC＝60°﹣30°＝30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC＝×2＝，
A1C＝×2＝1，
又∵A1在第四象限，
∴点A1的坐标为（，﹣1）．
故答案为（，﹣1）．
16．（3分）一个等腰三角形的两条不相等的边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是 10或11 ．
【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0，x﹣4＝0，
x1＝3，x2＝4，
①等腰三角形的三边是3，3，4，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长是3+3+4＝10；
②等腰三角形的三边是3，4，4，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+4+4＝11；
即等腰三角形的周长是10或11．
故答案为10或11．
17．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 8 ．
【解答】解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
故点D的横坐标最大值为8；
故答案为：8．
18．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝ 2 ．
【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．
∴C13与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），
当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．
故答案为：2．
三、解答题（19～24题每题6分，25～27题每题10分，共66分）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x+8＝0；
（2）x2﹣8x+1＝0．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4；
（2）x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+42＝﹣1+16
（x﹣4）2＝15，
，
∴，．
20．（6分）图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是 轴对称 图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是 4π （结果保留π）．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）所画图形是轴对称图形；
旋转的度数之和为270°+90°×2+270°＝720°，
所画图形的周长＝＝4π．
故答案为：4π．
21．（6分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求他将铅球推出的水平距离和最大高度．
【解答】解：∵
＝﹣（x2﹣8x+16﹣16）+＝
﹣（x2﹣8x+16）++
＝﹣（x﹣4）2+3，
∴他将铅球推出的最大高度为3m．
∵，
解得x1＝﹣2（舍）x2＝10
他将铅球推出的水平距离为10m．
22．（6分）如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当∠AOC＝105°，∠BOC＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC
∴△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：△AOD是等腰直角三角形，理由如下：
∵△COD是等边三角形∠COD＝∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°
∵∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝105°﹣60°＝45°，
∴∠OAD＝45°，
∴∠OAD＝∠AOD，
∴OD＝AD，
∴△AOD是等腰直角三角形．
23．（6分）如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入得a （﹣1﹣1）2﹣4＝0，解得a＝1，
所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
则点A（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点D的坐标为（3，0），
所以△ODC的面积＝×3×4＝6．
24．（6分）已知关于x的二次函数y＝mx2﹣（m+2）x+2（m≠0，m≠2）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴△＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2+4m+4﹣8m
＝（m﹣2）2．
∵m≠0，m≠2，
∴（m﹣2）2＞0，
∴Δ＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：令y＝0，则（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
所以 x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
解得 x1＝1，x2＝，
当m为正整数1时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，
所以 正整数m的值为1．
25．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 2000 元．
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？
【解答】解：（1）（100﹣80）×100＝2000（元）；
故答案为：2000．
（2）①依题意得：
（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160
即x2﹣10x+16＝0
解得：x1＝2，x2＝8
经检验：x1＝2，x2＝8都是方程的解，且符合题意．
答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元．
②依题意得：y＝（100﹣80﹣x）（100+10x），
∴y＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝5时，商店所获利润最大．
26．（10分）已知：△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，连接BD，取DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，连接FG、GH、HF．
（1）当点D在AC边上，点E在BC边上时，如图1，判断△FGH的形状为 等腰直角三角形 ；
（2）把图1中△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断△FGH的形状是否改变？请说明理由；
（3）把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若AC＝10，DC＝6，求线段GH的最大值与最小值．
【解答】解：（1）∵G、F是DE、BD的中点，
∴GF∥BC，GF＝BE，
∴∠DFG＝∠CBD，
∵H是AB的中点，
∴FH∥AD，FH＝AD，
∴∠DFH＝∠CDB，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∴GF＝HF，
∵∠CDB+∠CBD＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）△FGH的形状不改变，理由如下：
连接AD、BE，
∵∠ACD＝90°﹣∠BCD，∠BCE＝90°﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，
∴，FH∥AD，，FG∥BE，
∴FH＝FG，
延长AD交FG于点N，交BC于点M，交BE于点Q，
∴∠AMC＝∠BMQ，
∵∠AMC+∠CAD＝90°，
∴∠BMQ+∠CBE＝90°，
∴∠AQB＝90°，
∵FG∥BE，
∴∠ANF＝∠AQB＝90°，
∵FH∥AD，
∴∠ANF+∠GFH＝180°，
∴∠GFH＝90°，
∴△FGH是等腰直角三角形，形状不改变；
（3）由（2）可知△FGH是等腰直角三角形，
由勾股定理可得，，
∴，
在△ADC中，AC﹣CD＜AD＜AC+CD，
当点D在AC边上时，AC﹣CD＝AD；
当点D在AC延长线上时，AC+CD＝AD；
由此得AC﹣CD≤AD≤AC+CD，
∴4≤AD≤16，
当AD最大时GH最大，当AD最小时GH最小，
∴GH最大为，GH最小为．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线AC下方的抛物线上，连接PA、PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为s，求s与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作y轴的平行线与AC相交于点Q，当线段PQ的长度最大时，求s的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∴，
解得，
即抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∵点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OA＝3，OC＝3，
连接PO，如图1，
∵点P的横坐标为t，点P在直线AC下方的抛物线上，
∴P（t，t2+2t﹣3），
即xP＝t＜0，，
∵，，，
∴，
即：；
（3）如图2，
∵PQ∥y轴，点P的横坐标为t，
∴点Q的横坐标为t，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝﹣x﹣3．
∵点P（t，t2+2t﹣3），
∴，点Q（t，﹣t﹣3），
∴，
∴当时，PQ最大，
∴．
第1页（共1页）
同课章节目录